《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第四章-第1讲-平面向量的概念及线性运算.docx

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平面对量的实际
背景及基本概念
1.了解向量的实际背景．
2．理解平面对量的概念及向量的几何表示，理解两个向量相等的含义．

向量的线性运算
1.把握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
2．把握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．

平面对量的基本定理及坐标表示
1.了解平面对量的基本定理及其意义．
2．把握平面对量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面对量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面对量共线的条件．

平面对量的数量积
及向量的应用
1.理解平面对量数量积的含义及其物理意义．
2．了解平面对量的数量积与向量投影的关系．
3．把握数量积的坐标表达式，会进行平面对量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积推断两个平面对量的垂直关系．
5．会用向量方法解决某些简洁的实际问题．

复数
1.理解复数的基本概念及相等的充要条件．
2．了解复数的代数表示法及其几何意义．
3．会进行复数代数形式的四则运算.

第1讲　平面对量的概念及线性运算

1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与 a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
[做一做]
1．推断下列四个命题：
①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
答案：A
2．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2 ＋＝0，则等于(　　)
A．2－ B．－＋2
C.－ D．－＋
答案：A

1．辨明两个易误点
(1)作两个向量的差时，要留意向量的方向是指向被减向量的终点．
(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有很多个．
2．三点共线的等价关系
A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
[做一做]
3．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.
答案：2
4．已知a与－b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ的值为________．
解析：∵a＋λb与－(b－3a)共线，
∴存在实数μ，使a＋λb＝μ(3a－b)，
即∴.
答案：－
,[同学用书P77～P78])

__平面对量的有关概念__________________

　①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；
④假如a∥b，b∥c，那么a∥c.
以上命题中正确的个数为(　　)
A．1　　　　　　　 B．2
C．3 D．0
[解析]　①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；
②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不愿定相同或相反；
③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；
④不正确，假如b＝0时，则a与c不愿定平行．
[答案]　D
[规律方法]　对于向量的概念应留意以下几条：
(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；
(2)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量确定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；
(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．
　　　1.设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不愿定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种状况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
__平面对量的线性运算(高频考点)_______

平面对量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式毁灭．
高考对平面对量的线性运算的考查主要有以下三个命题角度：
(1)求已知向量的和；
(2)用已知向量表示未知向量；
(3)求参数的值．
　(2022·高考课标全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　 如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝·2＝.

[答案]　C
[规律方法]　(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系，能娴熟地找出图形中的相等向量，并能娴熟运用相反向量将加减法相互转化．
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是：①观看各向量的位置；②查找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
　　　2.(1)(2021·福建福州质量检测)在△ABC中，＝2 ，＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　)
A．c＝2b－a B．c＝2a－b
C．c＝－ D．c＝－
(2)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2 ，＝＋λ，则λ等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：(1)选D.由于在△ABC中，＝＋＝＋＝＋(－)＝－，所以c＝b－a
(2)选A.如图所示，过点D分别作AC，BC的平行线，分别交BC，AC于点F，E，
∴＝＋.

∵＝2 ，∴＝，＝，故＝＋，∴λ＝.
__平面对量共线定理的应用____________

　已知非零向量e1，e2不共线．
(1)假如＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
[解]　(1)证明：∵＝e1＋e2，
＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2
＝5(e1＋e2)＝5，
∴与共线，且有公共点B，
∴A、B、D三点共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于e1与e2不共线，
只能有
∴k＝±1.
[规律方法]　(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应留意向量共线与三点共线的区分与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，否则向量a、b不共线．
　　　3.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
解：∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
即得λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．

考题溯源——平面对量的线性运算

　　　(2022·高考福建卷)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)
A.　　　　　　 B．2
C．3 D．4
[解析]　由于点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知＋＝2，＋＝2，故＋＋＋＝4.
[答案]　D
[考题溯源]　本考题是由教材人教A必修4 P92第11题“已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，用向量a、b分别表示向量，，，.”改编而成．
　1.(2021·高考四川卷改编)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
解析：选B.由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.
又O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴＝2，
∴＋＝2.
又＋＝λ，∴λ＝2.
2．P是△ABC内的一点，＝(＋)，则△ABC的面积与△ABP的面积之比为(　　)
A．2 B．3
C. D．6
解析：选B.由＝(＋)，得3＝＋，
＋(－)＋(－)＝0.
所以＋＋＝0，P是△ABC的重心．
所以△ABC的面积与△ABP的面积之比为3.

1．给出下列命题：
(1)两个具有公共终点的向量，确定是共线向量；
(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
(3)λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
(4)λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.(1)错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；
(2)正确，由于向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；
(3)错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；
(4)错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．
2．(2021·福建四地六校联考)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2 ＝2 ＋，则(　　)
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
解析：选B.由于2 ＝2 ＋，所以2 ＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.
3. 如图，已知＝a，＝b，＝3 ，用a，b表示，则＝(　　)

A．a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选B.∵＝－＝a－b，
又＝3 ，
∴＝＝(a－b)，
∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.
4．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：
①＋＝＋；②＋＝＋；③－＝＋.其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.①式的等价式是－＝－，左边＝＋，右边＝＋，不愿定相等；②式的等价式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等价式是－＝＋，＝成立．
5. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为(　　)

A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B. 由于B，D，C三点共线，所以有＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，
则＝，＝，
经计算得AN＝AM＝3，AD＝3.

6．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的外形为________．
解析：∵＋＝＋，
∴－＝－，
∴＝，BA綊CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
答案：平行四边形
7．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3 ，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
解析：由＝3 ，得4＝3＝3(a＋b)，
＝a＋b，
所以＝(a＋b)－＝－a＋b.
答案：－a＋b
8．(2021·高考江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解析：由题意＝－＝－＝(－)＋＝－＋，
所以λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝.
答案：
9. 在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.

解：＝(＋)＝a＋b.
＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋(－)
＝＋
＝a＋b.
10．设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)假如＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；
(2)假如＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值．
解：(1)证明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，
＝－8e1－2e2，
∴＝＋＝4e1＋e2
＝－(－8e1－2e2)＝－，
∴与共线．
又∵与有公共点C，
∴A、C、D三点共线．
(2)＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，
∵A、C、D三点共线，
∴与共线，从而存在实数λ使得＝λ，
即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，
得
解得λ＝，k＝.