【同步辅导】2021高中数学北师大版必修四导学案：《周期现象与角的概念的推广》.docx

第1课时　周期现象与角的概念的推广

1.通过实例使同学感受自然界存在着丰富的周期现象,使同学经受数据分析以及观看散点图特征的学习过程,领悟、思考周期现象.
2.观看实例,理解角的概念推广的必要性,理解并把握正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念及表示方法.通过类比正、负数的规定,生疏正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用.

今日是星期一,7天后是星期几?21天后是星期几?86天后是星期几?

问题1:在现实生活中,具有周期现象的实例:海水的潮汐、候鸟的迁徙、四季变化、钟摆运动、一星期的往复、物理中的简谐振动、地球绕太阳公转等.
问题2:什么是角?角有哪些元素?怎样区分不同旋转方向所成的角?
平面内一条射线围着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫作角;旋转开头时的射线叫作角的　　　边,旋转终止时的射线叫作角的　　　边,射线的端点叫作角的顶点. 
为了表示不同旋转方向所形成的角,可以把按逆时针方向旋转所形成的角叫作　　　　,按顺时针方向旋转所形成的角叫作　　　　,把没有旋转的射线也看成一个角,叫作　　　　. 
问题3:什么是象限角?各象限角怎么表示?轴线角怎么表示?
当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是　　　　　　　　. 
第一象限角的集合为　　　　　　　　　　　　　　; 
其次象限角的集合为　　　　　　　　　　　　　　; 
第三象限角的集合为　　　　　　　　　　　　　　; 
第四象限角的集合为　　　　　　　　　　　　　　. 
终边落在x轴上,角的集合为{x|x=k·180°,k∈Z},终边落在y轴上,角的集合为{x|x=k·180°+90°,k∈Z},所以终边落在坐标轴上,角的集合为　　　　　　　　　　　　. 
问题4:终边相同的角
一般地,全部与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=　　　　　　　　,即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与　　　　　　　　的和. 
(1)终边相同角的前提条件:角的顶点在坐标原点,角的始边与x轴的　　　　　　重合. 
　　(2)对于终边相同的角应留意以下两点:
①k是　　　　　;②α是　　　　　. 
(3)k·360°与α之间是“+”号,如k·360°-30°可看成　　　　　　.(k∈Z) 
(4)终边相同的角　　　　　相等,但相等的角的终边　　　　相同,终边相同的角有很多多个,它们相差360°的　　　　倍. 
(5)一般地,终边相同的角的表达形式　　　　　. 

1.经过一个小时,手表上的时针旋转了(　　).
A.30°　　　　　　　　B.-30°　　　　　　　　C.15°　　　　　　　　D.-15°
2.下列自然现象:月亮东升西落,气候的冷暖,昼夜变化,火山爆发.其中是周期现象的有(　　).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.角-950°12'的终边(除端点外)在第　　　　象限. 
4.写出与70°角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.

周期现象的简洁应用
假如今日是星期一,那么从明天算起,第100天是星期(　　).
A.二　　　 B.三　　　 C.四　　　 D.五

终边相同的角
在0°~360°之间,求出与下列各角终边相同的角,并推断下列各角是第几象限角.
(1)825°17';(2)-1046°.

依据已知角的范围求等分角的范围
若α是第一象限角,则α3可能是第几象限角?

游乐场中的摩天轮有10个座舱,每个座舱最多乘4人,每30 min转一圈,请估算16 h内最多有多少人乘坐.

(1)写出与25°角终边相同的角的集合;
(2)在(1)的集合中,将适合不等式-1080°<α<360°的元素α求出.

已知角α∈(0°,360°),且6α与240°角的终边相同,求α的全部可能取值.

1.下列哪个不是周期现象(　　).
A.挂在弹簧下方作上下振动的小球 B.钟表秒针的运动
C.每七天消灭一个星期一 D.抛一枚骰子,向上的数字是奇数
2.在直角坐标系中,终边在∠xOy及其对顶角的平分线上的角的集合为　　　　. 
3.若将时钟拨慢5分钟,则分针转了　　　　度;时针转了　　　　度. 
4.写出与-75°角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.

如图,点A在半径为1且圆心在原点的圆上,且∠AOx=45°,点P从A点动身,按逆时针方向等速地沿单位圆旋转.已知P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2 s到达第三象限,经过14 s后又回到动身点A,求θ的值.

　　考题变式(我来改编):

第一章　解 三 角 形
第1课时　周期现象与角的概念的推广

学问体系梳理
问题2:始　终　正角　负角　零角
问题3:第几象限角　{x|k·360°<x<k·360°+90°,k∈Z}　{x|k·360°+90°<x<k·360°+180°,k∈Z}　{x|k·360°+180°<x<k·360°+270°,k∈Z}　{x|k·360°+270°<x<k·360°+360°,k∈Z}　{x|x=k·90°,k∈Z}
问题4:{β|β=α+k·360°,k∈Z}　周角的整数倍　(1)非负半轴　(2)①任意整数　②任意角　(3)k·360°+(-30°)
(4)不肯定　肯定　整数　(5)不唯一
基础学习沟通
1.B　由于手表一圈所成的角度是360°,表盘上有十二个刻度,故相邻两个刻度之间是360°12=30°,又规定顺时针方向的角为负角,故旋转了-30°.
2.B　月亮东升西落、昼夜变化是周期现象,气候的冷暖、火山爆发不是周期现象.
3.二　∵-950°12'=-3×360°+129°48',∴129°48'的角的终边和-950°12'的角的终边相同,它是其次象限角.
4.解:S={β|β=70°+k·360°,k∈Z},S中适合-360°≤β<270°的元素有:70°-1×360°=-290°,70°+0×360°=70°,70°+1×360°=430°.
重点难点探究
探究一:【解析】由于每周有七天,从星期一到星期日,周而复始,故这是一个周期现象,周期为7.今日是星期一,明天是星期二,因此从明天算起,第7k(k∈N+)天是星期一,由于100=7×14+2,因此第100天是星期三.
【答案】B
【小结】星期的往复是周期现象,计算时关键看经受了几个周期,且是一个周期后的第几天.
　　探究二:【解析】(1)825°17'=2×360°+105°17',由于105°17'是其次象限角,且105°17'与825°17'角是终边相同的角,故825°17'是其次象限角.
(2)-1046°=-3×360°+34°,由于34°是第一象限角,且34°与-1046°角是终边相同的角,故-1046°是第一象限角.
【小结】终边相同的角所在的象限是相同的,故在推断各角是第几象限角时,先应用终边相同的角的公式将角表示为k·360°+α(k∈Z),α∈[0°,360°),再推断.
　　探究三:【解析】(法一)∵α是第一象限角,∴k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z,∴k3·360°<α3<k3·360°+30°,k∈Z.
当k=3n时,有n·360°<α3<n·360°+30°,k∈Z,∴α3为第一象限角;
当k=3n+1时,n·360°+120°<α3<n·360°+150°,k∈Z,∴α3为其次象限角;
当k=3n+2时,n·360°+240°<α3<n·360°+270°,k∈Z,∴α3为第三象限角.
综上可知,α3可能是第一、二、三象限角.

(法二)如图,将平面坐标系的各个象限都三等分,从x轴正半轴逆时针方向依次沿每个区域循环标上数字1,2,3,4,则数字1所在的区域就是α3角所在的区域,所以α3可能是第一、二、三象限角.
【小结】将k分为3n,3n+1,3n+2三种状况分别推断之.
思维拓展应用
应用一:每一周期最多乘坐4×10=40(人),16 h共有32个周期,因而16 h内最多有40×32=1280(人)乘坐.
　　应用二:(1)与25°角终边相同的角的集合是A={α|α=k·360°+25°,k∈Z}.
(2)在A中适合-1080°<α<360°的元素:
取k=-3,-3×360°+25°=-1055°;
取k=-2,-2×360°+25°=-695°;
取k=-1,-1×360°+25°=-335°;
取k=0,0×360°+25°=25°.
故A中满足不等式-1080°<α<360°的元素有-1055°,-695°,-335°,25°.
　　应用三:由于6α与240°角的终边相同,所以6α=k·360°+240°(k∈Z),
所以α=k·60°+40°(k∈Z),又由于α∈(0°,360°),
所以0°<k·60°+40°<360°,解得-23<k<163.
所以k的可能取值为0,1,2,3,4,5,
所以对应的角α的全部可能取值为40°,100°,160°,220°,280°,340°.
基础智能检测
1.D　A、B、C所述都是周期现象,而D中“向上的数字是奇数”不是周期现象.
2.α|α=45°+k·180°,k∈Z　终边落在∠xOy平分线上的角的集合为α|α=45°+k·360°,k∈Z,终边落在其对顶角的平分线上的角的集合为{α|α=45°+180°+k·360°,k∈Z},并在一起得答案.
3.30　2.5　将时钟拨慢了5分钟,分针、时针都是按逆时针方向转动,转过的是正角.这时,分针转过的角度是360°12=30°;时针转过的角度是30°12=2.5°.
4.解:S={β|β=-75°+k·360°,k∈Z},S中适合-360°≤β<720°的元素有:-75°+0×360°=-75°,-75°+1×360°=285°,-75°+2×360°=645°.
全新视角拓展
由题意有14θ+45°=k·360°+45°(k∈Z),
∴θ=k·180°7(k∈Z).
又180°<2θ+45°<270°,即67.5°<θ<112.5°,
∴67.5°<k·180°7<112.5°.又k∈Z,∴k=3或k=4.
故所求的θ值为θ=540°7或θ=720°7.
思维导图构建
逆时针　顺时针　没有作任何