2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第九章第6课时.docx

[基础达标]
1．(2022·福建三明质量检测)已知集合M＝{x|－2≤x≤8}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，在集合M中任取一个元素x，则“x∈M∩N”的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A．由于N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝[1，2]，所以M∩N＝[1，2]，所以所求的概率为＝.
2．(2022·河南郑州市质量猜想)一数学爱好小组利用几何概型的相关学问做试验计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5 120颗，正方形的内切圆区域有豆4 009颗，则他们所测得的圆周率为(保留三位有效数字)(　　)
A．3.13 B．3.14
C．3.15 D．3.16
解析：选A．依据几何概型的定义有＝，得π≈3.13.
3．(2022·高考辽宁卷)在长为12 cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．设|AC|＝x cm，0<x<12，则|CB|＝(12－x) cm，要使矩形面积大于20 cm2，只要x(12－x)>20，则x2－12x＋20<0，2<x<10，所以所求概率为P＝＝.
4．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为(　　)
A． B．
C． D．π
解析：选C．

满足|PA|<1的点P位于以A为圆心，半径为1的圆在正方形ABCD内部(如图)，又S扇形ABD＝，
故P(|PA|<1)＝＝.
5．在区间[0，1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．

要使该函数无零点，只需a2－4b2<0，即(a＋2b)(a－2b)<0.
∵a，b∈[0，1]，a＋2b>0，
∴a－2b<0.
作出的可行域，易得该函数无零点的概率为
P＝＝.
6．点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．
解析：设大事M为“劣弧的长度小于1”，则满足大事M的点B可以在定点A的两侧与定点A构成的弧长小于1的弧上随机取一点，由几何概型的概率公式，得P(M)＝.
答案：
7．若不等式组表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．
解析：∵y＝x与y＝－x相互垂直，
∴M的面积为3，而N中满足条件的扇形面积为，所以概率为＝.
答案：
8．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M­ABCD的体积小于的概率为________．
解析：正方体ABCD­A1B1C1D1中，设M­ABCD的高为h，则×S四边形ABCD×h＝.
又S四边形ABCD＝1，∴h＝.
若体积小于，则h<，
即点M在正方体的下半部分，
∴P＝＝.
答案：
9．在铸铁过程中，经常毁灭铸件里面混入气泡的状况，但是假如在加工过程中气泡不暴露在表面，对产品就不会造成影响，否则产品就会不合格．在一个棱长为4 cm的正方体铸件中不当心混入一个半径为0.1 cm的球形气泡，在加工这个铸件的过程中，假如将铸件去掉0.5 cm的厚度后产品外皮没有麻眼(即没有露出气泡)，产品就合格，问产品合格的概率是多少？
解：记产品合格为大事A，试验的全部结果所构成的区域是棱长为4 cm的正方体．由条件可以发觉要使产品合格，球心距离正方体表面要大于0.6 cm，所以球心必需在正方体内的一个棱长为2.8 cm的正方体内部才符合题意，所以构成大事A的区域是棱长为2.8 cm的正方体，这样产品合格的概率P(A)＝＝0.343.
10．设x∈[0，3]，y∈[0，4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．
解：依条件可知，点M均匀地分布在平面区域内，

属于几何概型，该平面区域的图形为如图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.而所求大事构成的平面区域为，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3，0)、D(0，)，则三角形OAD的面积为S1＝×3×＝.
故所求大事的概率为P＝＝＝.
[力气提升]
1.在区间[0，π]上随机取一个数x，则大事“sin x＋cos x≤1”发生的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．由sin x＋cos x≤1得2sin≤1，
即sin≤.
由于x∈[0，π]，故x＋∈，
因此当sin≤时，x＋∈，于是x∈.
由几何概型公式知大事“sin x＋cos x≤1”发生的概率为P＝＝.
2．(2022·河北石家庄质检)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．如图，设圆的半径为r，圆心为O，AB为圆的一条直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为M，若CD为圆内接正三角形的一条边，则O到CD的距离为.

设EF为与CD平行且到圆心O距离为的弦，交直径AB于点N，所以当过AB上的点且垂直于AB的弦的长度超过CD时，该点在线段MN上移动，所以所求概率P＝＝.
3．在区间[0，1]上任凭选择两个实数x，y，则使≤1成立的概率为________．
解析：设D为直线x＝0，x＝1，y＝0，y＝1围成的正方形区域，而由 ≤1，即x2＋y2≤1(x≥0，y≥0)知d为单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆)，故所求概率为＝.
答案：
4．小波通过做玩耍的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为________．
解析：∵去看电影的概率
P1＝＝，
去打篮球的概率P2＝＝，
∴不在家看书的概率为P＝＋＝.
答案：
5．已知集合A＝[－2，2]，B＝[－1，1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．
(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；
(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于的概率．
解：(1)集合M内的点形成的区域面积S＝8.
因x2＋y2＝1的面积S1＝π，
故所求概率为P1＝＝.
(2)由题意≤，即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积S2＝4，所求概率为P＝＝.

6．(选做题)设AB＝6，在线段AB上任取两点(端点A、B除外)，将线段AB分成了三条线段．
(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；
(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．
解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度全部可能状况是1，1，4；1，2，3；2，2，2，共3种状况，其中只有三条线段长为2，2，2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P＝.
(2)设其中两条线段长度分别为x，y，则第三条线段长度为6－x－y，故全部试验结果所构成的区域为

，即，
所表示的平面区域为△OAB．
若三条线段x，y，6－x－y能构成三角形，
则还要满足，
即，
所表示的平面区域为△DEF，
由几何概型知，所求概率为P＝＝.