2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破:第3篇-第3讲-三角函数的图象与性质.docx
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1、第3讲三角函数的图象与性质最新考纲1能画出ysin x,ycos x,ytan x的图象,了解三角函数的周期性2借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2,正切函数在上的性质.知 识 梳 理正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ).函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k,2k递减区间2k,2k无对称中心(k,0)对称轴xkxk无辨 析 感 悟1周期性的推断(1)(教材习题改编)由sin(30120)sin 30知,120是正弦函数ysin x(xR)的一个周期 ()(2)函数ytan的最小正周期为. ()2推断奇
2、偶性与对称性(3)函数ysin是奇函数 ()(4)函数ysin x的对称轴方程为x2k(kZ)()3求三角函数的单调区间(5)函数f(x)sin(2x)与f(x)sin 2x的单调增区间都是(kZ)()(6)函数ytan x在整个定义域上是增函数()4求三角函数的最值(7)存在xR,使得2sin x3. ()(8)(教材习题改编)函数f(x)sin在区间上的最小值为. ()感悟提升1一点提示求函数yAsin(x)的单调区间时,应留意的符号,只有当0时,才能把x看作一个整体,代入ysin t的相应单调区间求解2三个防范一是函数ysin x与ycos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平
3、行于y轴的直线,如ycos x的对称轴为xk,而不是x2k(kZ)二是对于ytan x不能认为其在定义域上为增函数,应在每个区间(kZ)内为增函数,如(6)三是函数ysin x与ycos x的最大值为1,最小值为1,不存在一个值使sin x,如(7).同学用书第54页考点一三角函数的定义域、值域问题【例1】 (1)函数y的定义域为_(2)当x时,函数y3sin x2cos2x的最小值是_,最大值是_解析(1)法一要使函数有意义,必需使sin xcos x0.利用图象,在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象,如图所示在0,2内,满足sin xcos x的x为,再结合正弦、余弦
4、函数的周期是2,所以原函数的定义域为.法二利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)定义域为.法三sin xcos xsin0,将x视为一个整体,由正弦函数ysin x的图象和性质可知2kx2k,kZ,解得2kx2k,kZ.所以定义域为.(2)y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)2sin2 xsin x1,令sin xt,y2t2t122,t,ymin,ymax2.答案(1)(2)2规律方法 (1)求三角函数定义域实际上是构造简洁的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)三角函数值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求把形如y
5、asin xbcos x的三角函数化为yAsin(x)的形式求值域利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域【训练1】 (2022广州模拟)已知函数f(x),求f(x)的定义域和值域解由cos 2x0得2xk,kZ,解得x,kZ,所以f(x)的定义域为.f(x)3cos2x1.所以f(x)的值域为.考点二三角函数的奇偶性、周期性和对称性【例2】 (1)已知函数f(x)sin(xR),下面结论错误的是()A函数f(x)的最小正周期为B函数f(x)是偶函数C函数f(x)的图象关于直线x对称D函数f(x)在区间上是增函数(2)假如函数y3cos(2x)的图象关于点中心对
6、称,那么|的最小值为()A. B. C. D.解析(1)f(x)sincos 2x,故其最小正周期为,A正确;易知函数f(x)是偶函数,B正确;由函数f(x)cos 2x的图象可知,函数f(x)的图象不关于直线x对称,C错误;由函数f(x)的图象易知,函数f(x)在上是增函数,D正确,故选C.(2)由题意得3cos3cos3cos0,k,kZ,k,kZ,取k0,得|的最小值为.答案(1)C(2)A规律方法 (1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为yAsin(x)或yAcos( x)的形式,则最小正周期为T;奇偶性的推断关键是解析式是否为yAsin x或yAcos xb的形式(2)求f(x)
7、Asin(x)(0)的对称轴,只需令xk(kZ),求x;求f(x)的对称中心的横坐标,只需令xk(kZ)即可【训练2】 (1)函数y2cos21是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数(2)函数y2sin(3x)的一条对称轴为x,则_.解析(1)y2cos21cossin 2x为奇函数,T.(2)由ysin x的对称轴为xk(kZ),所以3k(kZ),得k(kZ),又|,k0,故.答案(1)A(2)考点三三角函数的单调性【例3】 (2022临沂月考)设函数f(x)sin(2x)(0),yf(x)图象的一条对称轴是直线x.(1)求;(2)求函
8、数yf(x)的单调区间审题路线令(2)k,kZ解得?又0得出值把f(x)sin(2x),化为f(x)sin(2x)令g(x)sin(2x)求出g(x)的单调区间利用f(x)与g(x)的关系求f(x)的单调区间解(1)令(2)k,kZ,k,kZ,又0,.(2)由(1)得f(x)sinsin,令g(x)sin,由2k2x2k,kZ,得kxk,kZ,即g(x)的单调增区间为,kZ;由2k2x2k,kZ,得kxk,kZ,即g(x)的单调减区间为(kZ),故f(x)的单调增区间为(kZ);单调减区间为(kZ).同学用书第55页规律方法 求较为简单的三角函数的单调区间时,首先化简成yAsin(x)形式,再
9、求yAsin(x)的单调区间,只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可,留意要先把化为正数【训练3】 (2021安徽卷)已知函数f(x)4cos xsin(0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)争辩f(x)在区间0,上的单调性解(1)f(x)4cos xsin(x)2sin xcos x2cos2x(sin 2xcos 2x)2sin(2x).由于f(x)的最小正周期为,且0,从而有,故1.(2)由(1)知,f(x)2sin(2x).若0x,则2x.当2x,即0x时,f(x)单调递增;当2x,即x时,f(x)单调递减综上可知,f(x)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减
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