【同步备课】高中数学(北师大版)必修四教案：2.2-向量的加法-参考教案.docx

§2 从位移的合成到向量的加法
2.1 向量的加法
一、教学目标
学问目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；
把握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．
力量目标：经受向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培育同学发觉问题、分析问题、解决问题的力量．
情感目标：经受运用数学描述和刻画现实世界的过程，体验探究的乐趣，激发同学的学习热忱．培育同学勇于探究、创新的共性品质．
二．重点难点
重点：向量加法运算的意义和法则．
难点：向量加法法则的理解．
三．教学方法
接受“启发探究”式教学方法，结合多媒体帮助教学．
四．教学过程
Ⅰ．创设情境 直观感知
A
O
B

斜拉索
塔柱
斜拉桥示意图
梁
O
F
1
F
2
F
斜拉索
塔柱
斜拉桥示意图
斜拉索
塔柱
斜拉桥示意图
O
F
1
F
2
F

以杭州湾大桥为整体背景，设计两个问题情境如下：
问题１：建桥之前如何从嘉兴到达宁波？建桥之后可以从嘉兴直达宁波，此时的位移与前面两次位移的结果有何关系？两次位移的结果可称为两次位移的和，如何用等式来刻画这三个位移的关系？
问题2：这是大桥南端的A型独塔斜拉桥，其中两根拉索对塔柱的拉力分别为、，则它们对塔柱的共同作用效果如何？合力可称为力与的和，如何用等式来刻画这三个力的关系？
力与位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它们的物理属性，就是数学中的向量．它们的和也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——向量的加法（引出课题）
Ⅱ．抽象概括 形成定义
（一）建立数学模型
若记则向量叫做向量与的和，记为 ．
问题3：如图所示的三个向量，你们能给出它们所满足的等式吗？—— ，即向量为向量与的和

（二）抽象数学概念
问题4：由此，你们能概括出一般的两个向量与和的定义吗？
同学活动：在平面内任取一点O，平移使其起点为点O，平移使其起点与向量的终点重合，再连接向量的起点与向量的终点．
（1）平移的目的是什么？——平移后使得两个向量能在同一个三角形中；
（2）平移后两个向量的终点与起点有何关系？——使得其次个向量的终点与第一个向量的起点重合；
（3）和向量又是什么？——连接向量的起点与向量的终点，并指向的终点，得到的向量即为向量与的和；
（4）借助于几何直观，用自然简洁的语言给出两个向量和的定义 ．
和的定义：已知向量，在平面内任取一点O，作，则向量叫做向量的和．记作：．即．
向量的加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．
向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
问题5：用三角形法则求向量和的过程中要留意什么？——平移两个向量使它们首尾顺次相连．
问题6：还可以用什么方法求两个向量的和呢？——向量加法的平行四边形法则．
问题7：平行四边形法则有何特点？——平移两个向量至共起点．
两种方法求和的结果是一样的，可见，向量加法的三角形法则与平行四边形法则在本质上是全都的．在具体求和时，应依据状况机敏地选择．
（三）尝试运用法则
试一试：如图，已知、，作出
a
b
a
b
b
a
a
b

向量加法的三角形法则对共线向量的求和仍旧是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性．
Ⅲ．类比猜想 探究性质
问题8：加法其实我们并不生疏，从小就开头学习数、字母、式的加法，实数的加法有哪些运算性质？向量的加法是否也满足类似的性质？假如满足，具体形式是什么？

实数的加法
向量的加法
性
质

交换律的验证让同学通过画图自己验证，结合律的验证师生借助于多媒体共同完成．
争辩结果表明：向量的加法也满足交换律和结合律，这与数的加法是全都的．有了交换律与结合律，向量的加法就可以按任意的组合与任意的次序进行，从而丰富了向量加法的内涵．
Ⅳ．数学运用 深化生疏
例1．如图，O为正六边形A1A2A3A4A5A6的中心，作出下列向量：
（1） （2） （3）
（4） （5）
推广1：
推广2：
并以北京08奥运圣火的传递供应了现实原型．
最终我们再回到这座宏伟壮丽的大桥来解决这样一个实际问题：
例2．已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以12.5km/h的速度向东流，现有一艘工作艇，在海面上航行检查桥墩的状况，已知艇的速度是25km/h，若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，则艇的航向如何确定？
分析：首先将实际问题数学化，把三个速度分别用向量来表示：如图，设表示水流速度，表示游艇的速度，那谁是游艇的实际速度？，三个向量应满足什么关系？．
解：如图，设表示水流速度，表示游艇的速度，表示游艇的实际速度，由于，所以四边形为平行四边形．
在中，

， ，
所以
答 若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，其航向应为北偏西．
Ⅴ．回顾反思 拓展延长
一、课时小结：
1、同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？
学问内容：向量加法的定义、二个运算法则以及二个运算律．
留给你印象最深的是什么？作为课堂的延长，你课后还想作些什么探究？
本节课我们从物理原型抽象出数学模型，在此基础上去争辩数学模型，最终应用到生活实践中去．再一次告知我们，数学源于生活，又服务于生活．
2、马克思说过：一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步． 我们今日所学习的向量的加法为争辩物理的相关问题供应了一种数学工具，随着对向量争辩的逐步深化，向量作为一种新的数学工具被越来越广泛的应用．
二、拓展延长：
（1）作业：P79 习题2．2的1，2，3
（2）拓展探究：请同学们课后完成下面的拓展探究题：向量和的模与模的和之间有什么关系？（是任意两个向量，则与之间有什么关系？ 并依据自己感爱好的话题进行拓展探究．