【同步辅导】2021高中数学北师大版必修二导学案：《垂直关系的性质》.docx

第11课时　垂直关系的性质

1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.
2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理证明一些空间位置关系的简洁问题.

装修工人在安装门窗时,经常使用铅垂线对比门窗,测量门窗是否安装得竖直,这是应用了什么原理?装修工人推断的依据是什么?

问题1:(1)上述情境中,装修工人应用了直线与平面垂直的性质定理,由于铅垂线受重力影响始终是与地面　　的,当装修工人把铅垂线与门的边线靠近时,观看上下铅垂线与门线间的间隔是否全都,当线上间隔不同时,说明门线与铅垂线　不平行　,也就说明门安装得　不竖直　. 
(2)直线与平面垂直的性质定理及表示:
垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号表示:　 a⊥α,b⊥α⇒a∥b　. 

问题2:叙述平面与平面垂直的性质定理,并依据图形用符号语言写出这个定理.
性质定理:假如两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
符号表示:　α⊥β,α∩β=l,AB⊂β,且AB⊥l于B⇒AB⊥α　. 
问题3:空间中垂直关系是如何转化的?
由线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理可知,线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化关系可用下图表示:

由上图可以看出,几种垂直关系的转化就是线面和面面垂直的判定定理和性质定理的反复交替运用的结果.
在线线垂直和线面垂直的转化中,平面在其中起到了至关重要的作用,应考虑线和线所在平面的特征,以找出需要证明的转化.如证线线垂直,可先证线面垂直,进而由性质定理得到线线垂直.因此,　线面垂直　关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽. 
问题4:关于线面垂直、面面垂直,还有其他重要结论吗?
直线和平面垂直的两个重要结论:
①过一点有且　只有一个　平面和已知直线垂直. 
②过一点有且　只有一条　直线和已知平面垂直. 
平面和平面垂直的两个重要结论:
①若两个平面垂直,则过第一个平面内的点作其次个平面的垂线必在　第一个　平面内. 
②两个相交平面同时垂直第三个平面,则它们的交线　垂直　于第三个平面. 

1.已知a、b为异面直线,b与c垂直,则(　　).
A.a⊥c　　　　 B.b∥c C.b与c相交 D.不确定
2.下列说法中正确的个数为(　　).
①假如一条直线垂直于一个平面内的很多条直线,那么这条直线和这个平面垂直;②过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直;③一条直线和一个平面不垂直,那么这条直线和平面内的全部直线都不垂直;④垂直于同一平面的两条直线平行.
A.1　　　　 B.2　　　　 C.3　　　　 D.4
3.已知l,m是直线,α,β,γ是平面,给出下列说法:
①若α⊥β,且β⊥γ,则α∥γ;②若α∩β=l,且l⊥γ,则α⊥γ且β⊥γ;③若l⊥α,α⊥β,则l∥β.其中正确的是　　　　. 
4.如图,四边形ABCD是平行四边形,直线SC⊥平面ABCD,E是SA的中点,求证:平面EDB⊥平面ABCD.

线面垂直的性质定理的应用
如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,EF与异面直线AC、A1D都垂直相交,求证:EF∥BD1.

线面垂直的判定与性质的综合应用
如图,已知α∩β=AB,EC⊥平面α,C为垂足,ED⊥平面β,D为垂足.求证:CD⊥AB.

面面垂直的性质定理的应用
如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD=4,M是AE的中点.
求证:平面BDM⊥平面ECA.

已知a、b为异面直线,AB与a、b都垂直相交,若a⊥α,b⊥β,且α∩β=c.求证:AB∥c.

已知底面为正方形的四棱锥P—ABCD的侧棱PA⊥底面ABCD,过点A在侧面PAB内作AE⊥PB于E,过E作EF⊥PC于F.那么图中AF与PC的位置关系如何?

如图,在△ABC中,∠BAC=60°,线段AD⊥平面ABC,E为CD上一点,且平面ABE⊥平面DBC.求证:点A在平面DBC内的射影不行能是△BCD的垂心.

1.设a,b是两条异面直线,下列说法中正确的是(　　).
A.有一平面与a,b都垂直
B.有且仅有一条直线与a,b都垂直
C.过直线a有且仅有一平面与b平行
D.过空间中任一点必可以作始终线与a,b都相交
2.已知直线l⊥平面α:①若直线m⊥l,则m∥α;②若m⊥α,则m∥l;③若m∥α,则m⊥l;④若m∥l,则m⊥α,上述推断正确的是(　　).
A.①②③　　　 B.②③④ C.①③④ D.②④
3.把Rt△ABC斜边上的高CD折成直二面角A-CD-B后,相互垂直的面有　　　　对. 
4.三棱锥P—ABC中,PB=PC,AB=AC,点D为BC中点,AH⊥PD于点H,连接BH,求证:平面ABH⊥平面PBC.

(2021年·天津卷改编)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.

证明:B1C1⊥CE.

　　考题变式(我来改编):

第11课时　垂直关系的性质

学问体系梳理
问题1:(1)垂直　不平行　不竖直
(2) a⊥α,b⊥α⇒a∥b
问题2:α⊥β,α∩β=l, AB⊂β,且AB⊥l于B⇒AB⊥α
问题3:线面垂直
问题4:①只有一个　②只有一条　①第一个　②垂直
基础学习沟通
1.D　由于b与c垂直,故b与c可能相交,也可能异面,于是,a与c的关系不确定.
2.B　①错误,很多条直线可能是平行直线,不能推断直线和平面垂直;②正确;③错误,与该直线在平面内的正投影垂直的全部直线,都与该直线垂直;④正确.
3.②　①错误,反例是墙角处三个平面两两垂直.
②正确,由于假如一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直.
③错误,还可能l⊂β.
4.解:连接AC交BD于点O,连接EO,
由于四边形ABCD是平行四边形,
所以O是AC的中点,且E是SA的中点,
所以EO∥SC.
由于SC⊥平面ABCD,
所以EO⊥平面ABCD,且EO⊂平面EDB,
所以平面EDB⊥平面ABCD.
重点难点探究
探究一:【解析】连接AB1,B1C,BD,
∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴DD1⊥AC.
又∵AC⊥BD,∴AC⊥平面BDD1B1,∴AC⊥BD1.
同理BD1⊥B1C,∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D,且A1D ∥B1C,∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC,∴EF⊥平面AB1C,
∴EF∥BD1.
【小结】当题目所给的条件垂直关系较多,但又需要证明平行关系时,往往要考虑垂直的性质定理,从而完成由垂直关系向平行关系的转化.
　　探究二:【解析】∵EC⊥α,AB⊂α,∴EC⊥AB,同理ED⊥AB,
即AB⊥EC,AB⊥ED,
又EC∩ED=E,∴AB⊥面ECD,
而CD⊂面ECD,∴AB⊥CD.
【小结】本题是线线垂直、线面垂直的循环.证明线线垂直、则要先证明线面垂直,关键就是面的选择,选择过哪条直线的平面与另一条直线垂直.
　　探究三:

【解析】(1)取AC的中点F,连接MF、BF,则MF∥CE且MF=12CE.
又∵BD∥CE,BD=12CE,∴MF∥BD,MF=BD,
∴四边形MFBD是平行四边形,∴DM∥BF.
∵EC⊥平面ABC,EC⊂平面ACE,∴平面ACE⊥平面ABC.
又∵BF⊥AC,∴BF⊥平面ACE.
又∵DM∥BF,∴DM⊥平面ACE.
又∵DM⊂平面BDM,∴平面BDM⊥平面ECA.
【小结】证明面面垂直的关键点和难点,就是在一个平面内确定另一个平面的垂线,一旦找错垂线,将给问题的解决带来很大麻烦,也是不行证明的.确定这条垂线的基本方法就是依据平面与平面垂直的性质,要着眼于平面内交线的垂线,若图形中没有现成的垂线,需要依据条件作出交线的垂线,再证明此直线垂直于另一个平面.
思维拓展应用
应用一:

如图,过点B作BB1⊥α,则BB1∥a,
∴AB⊥BB1.又∵AB⊥b,
∴AB垂直于由b和BB1确定的平面.
∵b⊥β,∴b⊥c,同理,BB1⊥c,
∴c也垂直于由b和BB1确定的平面,
∴AB∥c.
　　应用二:∵F∈PC,∴AF与PC相交,只要进一步考察是否垂直.
假如有AF⊥PC,由已知EF⊥PC,EF∩AF=F,得PC⊥面AEF,∴PC⊥AE.
又已知AE⊥PB,PC∩PB=P,得AE⊥面PBC,
∴AE⊥BC.
而由PA⊥BC,AB⊥BC,知BC⊥面PAB,
可知BC⊥AE成立.
∴AF⊥PC成立.于是,图中AF与PC垂直相交.
　　应用三:

过点A作AH⊥BE,H为垂足.
∵平面ABE⊥平面DBC,AH⊂平面ABE,平面ABE∩平面DBC=BE,
∴AH⊥平面DBC,∴点H即为点A在平面DBC内的射影.
假设H是△BCD的垂心,则BE⊥CD.
∵AH⊥平面BCD,DC⊂平面DBC,
∴AH⊥DC.
又∵AH∩BE=H,
∴CD⊥平面ABE.
又∵AB⊂平面ABE,∴CD⊥AB.
∵AD⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,∴AD⊥AB,
又∵AD∩CD=D,∴AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC,
这与已知中∠BAC=60°相冲突,
∴假设不成立,
∴点A在平面DBC内的射影不行能是△BCD的垂心.
基础智能检测
1.C　A中若有一平面与a,b都垂直,则a∥b,冲突;B中将a,b平移到一个平面内,则与该平面垂直的直线与a,b都垂直;C正确;D中设过直线a且与b平行的平面为α,则在平面α内过直线a之外的点,不行能作始终线与a,b都相交.
2.B　 ①错,还有可能m⊂α;②正确;③正确;④正确.
3.3　平面BCD⊥平面ACD,平面ADB⊥平面BCD,平面ABD⊥平面ADC.
4.解:∵PB=PC,AB=AC,BD=DC,
∴BC⊥PD且BC⊥AD,
∴BC⊥面PAD,
∴面PAD⊥面PBC.
∵AH⊥PD,面PAD∩面PBC=PD,
∴AH⊥面PBC.
又AH⊂面ABH,
于是面AHB⊥面PBC.
全新视角拓展
由于侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E=5,B1C1=2,EC1=3,从而B1E2=B1C12+EC12,所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,又CC1,C1E⊂平面CC1E,CC1∩C1E=C1,所以B1C1⊥平面CC1E,又CE⊂平面CC1E,故B1C1⊥CE.
思维导图构建
　　α∥β　b⊥α　l⊥β