福建省福州一中2021届高三5月质量检测试卷数学(文)-Word版含答案.docx

福州一中2021届高考模拟考试卷
数 学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一. 选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只
有一项符合题目要求的.
1．复数等于( )
A． B． C． D．
2．若集合，，则等于( )
否
开头
输出
结束束束束

是

A. B. C. D.
3. 阅读右面的程序框图，若输出的，则输入的的值可能为 ( )
A．　 B． C． 　 D．
4. 给出两个命题:命题不等式成立是不等式成立
的必要不充分条件；命题：函数是奇函数.
则下列命题是真命题的是( )
A. B. C. D.
5. 已知抛物线的焦点为 ，为抛物线上一点，过作轴的垂线，
垂足为，若 则的面积为（ ）
A. B. C. D.
6．等比数列中，公比，记（即表示数列 的前n项之积），则中值最大的是（ ）
A． B． C． D．
7．在同一个坐标系中画出函数，的部分图象，其中且，则下
列所给图象中可能正确的是 ( )

A B C D
8．已知a＞0，x，y满足约束条件，且的最小值为1，则a＝( )
A．1 B．2 C． D．
9. 已知外接圆的半径为，圆心为，且，则
的值是 ( )
A． B． C． D．
10. 已知，则函数在点处的切线与坐标轴围成的三角
形面积为 ( )
A． B． C． 1 D． 2
11. 已知的最大值为，若存在实数,使得
对任意实数总有成立，则的最小值为 ( )
A． B． C． D．
12．对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 ( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二.填空题:本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中的横线上.
2
2
主视图
2
2
左视图

俯视图
13．已知实数满足则的最大值

为 ．
14. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为的
四分之一个圆弧，则该几何体的体积为 ．
15．对大于的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：
仿此，若的“分裂”数中有一个是， 则的值为 ________ .
16. 巳知函数分别是二次函数和三次函数的导函数，
它们在同一坐标系内的图象如右图所示.
①若，则 .
②设函数，则的大小关系为 ．(用“” 连接）
三.解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
年“五一”期间，高速大路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽
车中按进服务区的先后每间隔辆就抽取一辆的抽样方法抽
取名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速大路的车速
（km/t）分成六段：
后得到如图的频率分布直方图．
（Ⅰ）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估量值.
（Ⅱ）若从车速在的车辆中任抽取2辆，求车速在
的车辆恰有一辆的概率.

18.（本小题满分12分）
已知长方体，点为的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，试问在线段上是否存在点,
使得，若存在求出，若不存在，说明理由.
19. （本小题满分12分）
已知数列满足
其中
（Ⅰ）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；
（Ⅱ）设集合 若
求证：

O
A
B
C
X
X
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C的方程为，如图所示， 在平面直角
坐标系中，的三个顶点的坐标分别为
（Ⅰ）当椭圆C与直线相切时，求的值；
（Ⅱ）若椭圆C与三边无公共点，求的取值范围；
（Ⅲ）若椭圆C与三边相交于不同的两点M,N，求的面积的最大值．

21.（本小题满分12分）
如图，摩天轮的半径为，它的最低点距地面的高度忽视不计．地面上有一长
度为的景观带，它与摩天轮在同一竖直平面内，且．点从最低
点处按逆时针方向转动到最高点处，记

A
M
N
B
O
P
Q
q
（Ⅰ）当 时，求点距地面的高度；
（Ⅱ）设写出用表示的函数
关系式，并求的最大值．

22.（本小题满分14分）
已知函数的图象在其与轴的交点处
的切线为的图象在其与轴的交点处的切线为且,斜率相等.
（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）已知实数求函数的最小值；
（Ⅲ）令给定对于两个大于的正数
存在实数满足：并且使得不等式
恒成立，求实数的取值范围.

福州一中2021届高考模拟考答案
数 学（文科）
1~12 ABCC ABDD DABB 13. 14． 15． 16. ①1； ②
17.解：（Ⅰ）众数的估量值为最高的矩形的中点，即众数的估量值等于
设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估量值为：
，解得
即中位数的估量值为
（Ⅱ）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆），
车速在的车辆数为：（辆）
设车速在的车辆设为，车速在的车辆设为，则全部基本
大事有：
共15种
其中车速在的车辆恰有一辆的大事有：
共8种
所以，车速在的车辆恰有一辆的概率为.
18. 解：（Ⅰ）证明：连结交于点，所以为的中点，连结
在中，为的中点
面且面面
（Ⅱ）若在线段上存在点得，连结交于点
面且面
又且面面
面
在和中有：
同理：

即在线段上存在点有
19. 解：（Ⅰ）当时，
，，．
由于，，或，所以．
（Ⅱ）由题意，，．
令，得．由于，，
所以令，则．
20. 解：（Ⅰ）直线的方程：
联立 消去得
由 得 又
（Ⅱ）由图可知当椭圆C在直线的左下方或在椭圆内时，两者便无公共点
①当椭圆C在直线的左下方时
解得
②当且当点在椭圆内时，在椭圆内
又
综上所述，当或时，椭圆与无公共点
（3）由（2）可知当时，椭圆与相交于不同的两个点
又由于当时，椭圆方程为，此时椭圆恰好过点
①当时，在线段上，此时
当且仅当分别与重合时等号成立
②当时，点分别在线段上易得，

令 则
综上可得面积的最大值为1
21. 解：（Ⅰ）由题意，得PQ＝50－50cosq ．
从而，当q ＝ 时，PQ＝50－50cos＝75．即点P距地面的高度为75m．
（Ⅱ）由题意，得AQ＝50sinq ，从而MQ＝60－50sinq ，NQ＝300－50sinq ．
又PQ＝50－50cosq ，
所以tanÐNPQ＝＝ ，tanÐMPQ＝＝ ．
从而y=tanÐMPN＝tan(ÐNPQ－ÐMPQ)＝
＝＝ ．
令g(q )＝ ，q ∈(0，π)，则g¢(q)＝
由g¢(q)＝0，得sinq ＋cosq －1＝0，解得q ＝ ．
当q ∈(0，)时，g¢(q )＞0，g(q )为增函数；当q ∈(，p)时，g¢(q )＜0，g(q )为减函数，
所以，当q ＝ 时，g(q )有极大值，也为最大值．即当q ＝ 时，y取得最大值．

22. 解：（Ⅰ）
∴，
（Ⅱ）
令，在 时，∴在单调递增，
又图象的对称轴，抛物线开口向上
①当即时，
②当即时，
③当即时，
（Ⅲ） , 所以在区间上单调递增.
∴当时，
①当时，有，
，
得，同理，
∴ 由的单调性知
从而有，符合题设.
②当时，，
，
由的单调性知 ，
∴，与题设不符
③当时，同理可得，
得，与题设不符.
∴综合①、②、③得