(详细解析)2000年上海高考数学(理)复习课程.doc

(详细解析)2000年上海高考数学(理)

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2000上海高考试卷
理科数学
考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分
一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知向量，若，则 ．
【答案】4
【解析】，，∴．

2．函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】．

3．圆锥曲线的焦点坐标是 ．
【答案】
【解析】参数方程化为普通方程，∴焦点为，即
．

4．计算： ．
【答案】
【解析】．

5．已知的反函数为，若的图象经过点，则
．
【答案】1
【解析】若的图象经过点，则过点，将点的坐标代入得，∴．

6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP（GDP是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP预期增长，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需 年．
（按：1999年本市常住人口总数约1300万）
【答案】9
【解析】由题设条件可得，解得，∴．
【编者注】上海考生可以使用计算器．

7．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥．命题
A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥．
【答案】．侧棱相等侧棱与底面所成角相等……
【解析】本小题考查正三棱锥的定义和性质．
根据正三棱锥的定义和性质易知有多个等价命题．

8．设函数是最小正周期为2的偶函数，它在区间上的图象为如图所示的线段，则在区间上 ．
【答案】
【解析】由题设关于点对称，由周期性将向右平移两个单位得，所在的直线过原点，∴在区间上．

9．在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为 ，（结果用数值表示）
【答案】
【解析】中间项有两项，一项系数为正最大，另一项为负最小为．

10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 ．
【答案】
【解析】本小题考查等可能事件的概率．．

11．在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于两点，则 ．
【答案】
【解析】化为普通方程：和，将代入得，
∴．

12．在等差数列中，若，则有等式
成立，类比上述性质，相应的：在等此数列中，若，则有等式 成立．
【答案】
【解析】本小题考查等差数列和等边数列的性质及其类比推理．
∵，根据等边数列的性质和类比有．

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．

13．复数（是虚数单位）的三角形式是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】．

14．设有不同的直线和不同的平面，给出下列三个命题：
①若，则 ②若，则
③若,，则
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】略．

15．若集合，则是：
A． B． C． D．有限集
【答案】A
【解析】，所以．

16．下列命题中正确的命题是
A．若点为角终边上一点，则
B．同时满足的角有且只有一个
C．当时，的值恒正
D．三角方程的解集为
【答案】D
【解析】的正负不能确定，A错误；B中角无数个；C中，当时，的值恒正；，由周期性知．

三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

17．（本题满分12分）
已知椭圆的焦点分别为和，长轴长为6，设直交椭圆于两点，求线段的中点坐标．
【解】设椭圆的方程为， ……………（2分）
由题意，于是，
∴椭圆的方程为． ……………（4分）
由得，
因为该二次方程的判别式，所以直线与椭圆有两个不同交点，……（8分）
设，则，
故线段的中点坐标为． ……（12分）

18．（本题满分12分）
如图所示四面体中，两两互相垂直，且，是中点，异面直线与所成的角的大小为，求四面体的体积．
【解】解法一：如图建立空间直角坐标系 ……（2分）
由题意，有．设点的坐标为
，则，……（6分）
设与所构成的角为，
则．
且与所成的角的大小为，
∴，
得，故的长度是4， ……（10分）
又，
因此四面体的体积． ……（12分）
解法二：过引的平行线，交与的延长线于，连接．
是异面直线与所成的角，
∴． ……（4分）
∵是的中点，∴是的中点，
． ……（6分）
又分别是的射影，且．
∴． ……（8分）
三角形是等腰三角形，，
故， ……（10分）
又，
因此四面体的体积是． ……（12分）

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数．
（1）当时，求函数的最小值：
（2）若对任意恒成立，试求实数的取值范围．
【解】（1）当时，，
在区间上为增函数， ……（3分）
地区间上最小值为， ……（6分）
（2）解法一：在区间上，
恒成立恒成立， ……（8分）
设，
递增，
∴当时，， ……（12分）
于是当且仅当时，函数恒成立，
故． ……（14分）
（2）解法二：，
当时，函数的值恒为正， ……（8分）
当时，函数递增，故当时，， ……（12分）
于是当且仅当时，函数恒成立，
故． ……（14分）

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．
根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（为正时，按逆时针方向旋转，为负时，按顺时针方向旋转），再朝其面对的方向沿直线行走距离．
（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对轴正方向．试给机器人下一个指令，使其移动到点．
（2）机器人在完成该指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）．
【解】（1），得指令为， ……（4分）
（2）设机器人最快在点处截住小球， ……（6分）
则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有
， ……（8分）
即，得或．
∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，，
故机器人最快可在点处截住小球， ……（10分）
所给的指令为． ……（14分）

21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
在平面上有一点列，对每个自然数，点位于函数的图象上，且点、点与点构成一个以为顶点的等腰三角形．
（1）求点的纵坐标的表达式．
（2）若对每个自然数，以为边长能构成一个三角形，求取值范围．
（3）设，若取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列的最大项的项数．
【解】（1）由题意，，∴． ……（4分）
（2）∵函数递减，
∴对每个自然数，有，则以为边长能构成一个三角形的充要条件是，
即， ……（7分）
解得或，
∴． ……（10分）
（3）∴，∴， ……（12分）
数列是一个递减的正数数列，对每个自然数．
于是当时，，当时，，
因此，数列的最大项的项数满足不等式且．
由，得，
． ……（16分）

22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．
已知复数，和，其中均为实数，为虚数单位，且对于任意复数，有．
（1）试求的值，并分别写出和用表示的关系式；
（2）将作为点的坐标，作为点的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点．
当点在直线上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．
【解】（1）由题设，，，
于是由，且，得， ……（3分）
因此由，
得关系式 ……（5分）
（2）设点在直线上，则其经变换后的点满足
……（7分）
消去，得，
故点的轨迹方程为． ……（10分）
（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，
∴所求直线可设为， ……（12分）
解法一：∵该直线上的任一点，其经变换后得到的点仍在该
直线上，∴，即，
当时，方程组无解，
故这样的直线不存在． ……（16分）
当时，由，
得，
解得或，
故这样的直线存在，其方程为或， ……（18分）
解法二：取直线上一点，其经变换后的点仍在该直线上，
∴，得， ……（14分）
故所求直线为，取直线上一点，其经变换后得到的点 仍在该直线上．
∴， ……（16分）
即，得或，
故这样的直线存在，其方程为或， ……（18分）
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