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2020人教A高考理科数学-高考大题专项(四)-立体几何复习过程.docx
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1、2020人教A高考理科数学-高考大题专项(四)-立体几何精品文档高考大题专项(四)立体几何突破1空间中的平行与空间角1.(2019山东潍坊三模,18)如图,一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O,G、H分别是AE、BC的中点,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,且DC平面ABC.(1)证明:GH平面ACD;(2)若AC=BC=BE=2,求二面角O-CE-B的余弦值.2.(2019湖北八校联考一,18)如图所示,四棱锥P-ABCD中,面PAD面ABCD,PA=PD=2,四边形ABCD为等腰梯形,BCAD,BC=CD=12AD=1,E为PA的中点.(1)求证:EB平面PCD.(2
2、)求平面PAD与平面PCD所成的二面角的正弦值.3.(2019安徽“江南十校”二模,18)已知多面体ABC-DEF,四边形BCDE为矩形,ADE与BCF为边长为22的等边三角形,AB=AC=CD=DF=EF=2.(1)证明:平面ADE平面BCF.(2)求BD与平面BCF所成角的正弦值.4.(2019四川宜宾二模,19)如图,四边形ABCD是菱形,EA平面ABCD,EFAC,CF平面BDE,G是AB中点.(1)求证:EG平面BCF;(2)若AE=AB,BAD=60,求二面角A-BE-D的余弦值.5.(2017全国2,理19)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,
3、AB=BC=12AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点.(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角M-AB-D的余弦值.6.(2014课标全国2,理18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积.突破2空间中的垂直与空间角1.(2018全国卷3,理19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)当三
4、棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.2.(2019河北唐山一模,18)如图,ABC中,AB=BC=4,ABC=90,E,F分别为AB,AC边的中点,以EF为折痕把AEF折起,使点A到达点P的位置,且PB=BE.(1)证明:BC平面PBE;(2)求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值.3.(2019河北武邑中学调研二,19)如图,已知多面体ABC-A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.4.(20
5、19山西太原二模,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,ADBC,ABAD,AD=2AB=2BC=2,PCD是正三角形,PCAC,E是PA的中点.(1)证明:ACBE;(2)求直线BP与平面BDE所成角的正弦值.5.(2019山东实验等四校联考,18)如图,在直角ABC中,B为直角,AB=2BC,E,F分别为AB,AC的中点,将AEF沿EF折起,使点A到达点D的位置,连接BD,CD,M为CD的中点.(1)证明:MF面BCD;(2)若DEBE,求二面角E-MF-C的余弦值.6.(2019宁夏银川一中一模,19)如图所示,ABCD是边长为2的正方形,AE平面BCE,且AE=1
6、.(1)求证:平面ABCD平面ABE;(2)线段AD上是否存在一点F,使二面角A-BF-E所成角的余弦值为64?若存在,请找出点F的位置;若不存在,请说明理由.参考答案高考大题专项(四)立体几何突破1空间中的平行与空间角1.(1)证明 连接GO,OH,GODC,OHAC,GO平面ACD,OH平面ACD,又GO交HO于O,平面GOH平面ACD,GH平面ACD.(2)解 以CB为x轴,CA为y轴,CD为z轴,建立如图所示的直角坐标系,则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2),平面BCE的法向量m=(0,1,0),设平面OCE的法向量n=(x0,y0
7、,z0).CE=(2,0,2),CO=(1,1,0).nCE=0,nCO=0,则2x0+2z0=0,x0+y0=0,令x0=-1,n=(-1,1,1).二面角O-CE-B是锐二面角,记为,则cos =|cos|=mn|m|n|=113=33.2.(1)证明 取PD中点F,连接EF,FC.E,F分别为AP,PD中点,EF12AD.又BC12AD,BCEF.即四边形BCFE是平行四边形,EBFC.FC平面PCD,且EB平面PCD,EB平面BCD.(2)解 取BC的中点M,以OM,OD,OP方向为正方向建立如图所示的空间直角系O-xyz.则
8、P(0,0,1),A(0,-1,0),D(0,1,0),C32,12,0,则平面PAD的一个法向量为n1=(1,0,0).PD=(0,1,-1),CD=-32,12,0.设平面PDC的一个法向量为n2=(x,y,z),则y-z=0,-32x+12y=0.不妨令x=1,则y=3,z=3,n2=(1,3,3).|cos |=|cos|=77,则sin =77.3.(1)证明 取BC,DE中点分别为O,O1,连接OA,O1A,OF,O1F.由AB=AC=CD=DF=EF=2,BC=DE=CF=AE=AD=BF=22,可知ABC,DEF为等腰直角三角形,故OABC,O1FDE,CDDE,CDDF.故C
9、D平面DEF,平面BCDE平面DEF,所以O1F平面BCDE.同理OA平面BCDE,所以O1FOA.而O1F=OA,故四边形AOFO1为平行四边形,所以AO1OF,所以AO1平面BCF.又BCDE,故DE平面BCF,而AO1DE=O1,所以平面ADE平面BCF.(2)解 以O为坐标原点,以过O且平行于AC的直线作为x轴,平行于AB的直线作为y轴,OO1为z轴建立空间直角坐标系如图.则有B(1,1,0),C(-1,-1,0),D(-1,-1,2),F(-1,1,2),故BD=(-2,-2,2),BC=(-2,-2,0),BF=(-2,0,2).设平面BCF的法向量为n=(x,y,z),则-2x-
10、2y=0,-2x+2z=0,取x=1得y=-1,z=1,故平面BCF的一个法向量为n=(1,-1,1).设BD与平面BCF所成角为,则sin =|cos|=-21-2(-1)+21323=13.故BD与平面BCF所成角的正弦值为13.4.(1)证明 设ACBD=O,连接OE,OF,四边形ABCD是菱形,EA平面ABCD,EFAC,CF平面BDE,OECF,EF=AO=CO,OF平面ABCD,设OA=a,OB=b,AE=c,以O为原点,OA,OB,OF所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(a,0,c),Ga2,b2,0,B(0,b,0),C(-a,0,0),F(0,0,
11、c),FB=(0,b,-c),FC=(-a,0,-c),EG=-a2,b2,-c,设平面BCF的一个法向量为n=(x,y,z),则nFB=by-cz=0,nFC=-ax-cz=0,取z=b,得n=-bca,c,b,nEG=-a2-bca+b2c+(-c)b=0,EG平面BCF,EG平面BCF.(2)解 设AE=AB=2,BAD=60,OB=1,OA=3.A(3,0,0),B(0,1,0),E(3,0,2),D(0,-1,0).BE=(3,-1,2),BA=(3,-1,0),BD=(0,-2,0),设平面ABE的法向量n=(x,y,z),则nBA=3x-y=0,nBE=3x-y+2z=0,取x=
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