导数-极值-最值问题复习过程.docx
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1、导数-极值-最值问题精品文档导数在研究函数中的应用知识梳理一 函数的单调性1、利用导数的符号判断函数的单调性:一般地,设函数在某个区间可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数;如果在某区间内恒有,则为常数;2、对于可导函数来说,是在某个区间上为增函数的充分非必要条件,是在某个区间上为减函数的充分非必要条件。3、利用导数判断函数单调性的步骤:求函数f(x)的导数f(x).令f(x)0解不等式,得x的范围就是递增区间.令f(x)0解不等式,得x的范围,就是递减区间.4、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则”来求解,
2、注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解二 函数极大值、极小值1、极大值:如果是函数f(x)在某个开区间上的最大值点,即不等式 对一切成立,就说函数f(x)在处取到极大值,并称为函数f(x)的一个极大值点,为f(x)的一个极大值。 2、极小值:如果是函数f(x)在某个开区间上的最小值点,即不等式 对一切成立,就说函数f(x)在处取到极小值,并称为函数f(x)的一个极小值点,为f(x)的一个极小值。 3、极大值与极小值统称为极值 ,极大值点与极小值点统称为极值点;若,则叫做函数f(x)的驻点;可导函数的极值点必为驻点,但驻点不一定是极值点。4、判别f(c)是极大、极小值的方法:若满足,且在c的两侧
3、的导数异号,则c是的极值点,是极值,并且如果在c两侧满足“左正右负”,则c是的极大值点,是极大值;如果在c两侧满足“左负右正”,则c是的极小值点,是极小值5、求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数f(x) (2)求f(x)的驻点,即求方程f(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,那么f(x)在这个根处无极值三 函数的最大值和最小值在区间a,b上连续的
4、函数f在a,b上必有最大值与最小值。求闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤:(1)求函数在(a,b)内的极值;(2)求函数在区间端点的值(a)、(b);(3)将函数 的各极值与(a)、(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。四三次函数有极值导函数的判别式03.3.1 利用导数研究函数的单调性典例剖析:题型一 求函数的单调区间例1已知函数y=x+,试讨论出此函数的单调区间.分析:讨论函数的单调区间,可以利用导数来判断解答:y=(x+)=1=令0. 解得x1或x1.y=x+的单调增区间是(,1)和(1,+).令0,解得1x0或0x1.y=x+的单调减区间是(1,0)和(0
5、,1)点评:利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,再求函数f(x)的导数f(x).,然后解不等式f(x)0,得递增区间,解不等式f(x)0,得递减区间.题型二 已知函数的单调性,求参数的取值范围例2. 若函数在区间内为减函数,在区间上为增函数,试求实数的取值范围分析:常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解解答:函数求导得,令得或,因为函数在区间内为减函数,所以当时,又因为在函数区间上为增函数,所以当时,即实数的取值范围5,7点评:已知单调区间求参数a的取值范围是近年来常见的考查导数的一种题型。备选题
6、例3:已知函数f(x)=2ax,x(0,1,若f(x)在x(0,1上是增函数,求a的取值范围;解: 由已知可得f(x)=2a+,f(x)在(0,1)上是增函数,f(x)0,即a, x(0,1.a1.当a=1时,f(x)=2+对x(0,1)也有f(x)0,满足f(x)在(0,1上为增函数,a1.评述:求参数的取值范围,凡涉及函数的单调性、最值问题时,用导数的知识解决较简单.点击双基1.函数y=x+cosx在(-,+)内是( )A 增函数 B减函数 C 有增有减 D 不能确定解:因为=1-sinx0恒成立,故选A2.函数的单调减区间是 ( D )A( B. C, D.以上都不对。 解:(x)=3+
7、20恒成立,不存在单调减区间,故选D3.函数 (,则 ( )A B. C D.大小关系不能确定解:(x)=-=0时x0,所以cosx-; 单调增区间为(0,)5.如果函数y=+lnx-ax在定义域为增函数,则a的取值范围是 解:定义域为(0,=x+-a0,即ax+在定义域(0,上恒成立,又x+最小值为2,所以a23.3.2函数的极大值和极小值第一课时典例剖析题型一 函数极值的求法例1 已知在与时,都取得极值(1) 求的值;(2)若,求的单调区间和极值;分析:可导函数在点取到极值时,;求函数极值时,先求单调区间,再求极值。解:(1)f (x)3x22a xb0由题设,x1,x为f (x)0的解a
8、1,1()a,b2 (2)f (x)x3x22 xc,由f (1)12c,c1f (x)x3x22 x1x(,)(,1)(1,)f (x)f (x)的递增区间为(,),及(1,),递减区间为(,1)当x时,f (x)有极大值,f ();当x1时,f (x)有极小值,f (1) 评析:列表求单调区间和极值不容易出错。题型二 例2 设函数的图象如图所示,且与在原点相切,若函数的极小值为,(1)求的值;(2)求函数的递减区间分析;从图上可得是函数的极大值点,函数的图象经过(0,0)点且图象与x轴相切于(0,0)点,可先求出的值。解:(1)函数的图象经过(0,0)点 c=0,又图象与x轴相切于(0,0
9、)点,=3x2+2ax+b 0=302+2a0+b,得b=0 y=x3+ax2,=3x2+2ax当时,当时,当x=时,函数有极小值4 ,得a=3(2)=3x26x0,解得0x2 递减区间是(0,2)评析:求出的值后,利用导数就可求出单调区间。备选题例3:已知函数+lnx, 求的极值.解;因为f(x)=-, 令f(x)=0,则x=注意函数定义域为(0,),所以驻点是x=,当x(0, )时f(x)0, 为增函数,所以x=是极小值点,的极小值为f()=(1+ln2),没有极大值。评析:注意函数的定义域点击双基1、函数y=1+3x-x有 ( )A极大值1,极小值-1, B。极小值-2,极大值2C极大值
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