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工程流体力学答案(陈卓如)

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第一章
[陈书1-15] 图轴在滑动轴承中转动，已知轴的直径，轴承宽度，间隙。间隙中充满动力学粘性系数的润滑油。若已知轴旋转时润滑油阻力的损耗功率，试求轴承的转速当转速时，消耗功率为多少？（轴承运动时维持恒定转速）

【解】轴表面承受的摩擦阻力矩为：
其中剪切应力：
表面积：
因为间隙内的流速可近似看作线性分布，而且对粘性流体，外表面上应取流速为零的条件，故径向流速梯度：
其中转动角速度：
所以：
维持匀速转动时所消耗的功率为：
所以：
将：

代入上式，得：
当时所消耗的功率为：

[陈书1-16]两无限大平板相距平行（水平）放置，其间充满动力学粘性系数的甘油，在两平板间以的恒定速度水平拖动一面积为的极薄平板。如果薄平板保持在中间位置需要用多大的力？如果置于距一板10mm的位置，需多大的力？

【解】平板匀速运动，受力平衡。
题中给出平板“极薄”，故无需考虑平板的体积、重量及边缘效应等。
本题应求解的水平方向的拖力。
水平方向，薄板所受的拖力与流体作用在薄板上下表面上摩擦力平衡。
作用于薄板上表面的摩擦力为：

题中未给出流场的速度分布，且上下两无限大平板的间距不大，不妨设为线性分布。
设薄板到上面平板的距离为h，则有：

所以：
同理，作用于薄板下表面的摩擦力为：

维持薄板匀速运动所需的拖力：

当薄板在中间位置时，
将、、和代入，得：

如果薄板置于距一板（不妨设为上平板）10mm的位置，则：

代入上式得：

[陈书1-17]一很大的薄板放在宽水平缝隙的中间位置，板上下分别放有不同粘度的油，一种油的粘度是另一种的2倍。当以的恒定速度水平拖动平板时，每平方米受的总摩擦力为。求两种油的粘度。

【解】平板匀速运动，受力平衡。
题中给出 薄板”，故无需考虑平板的体积、重量及边缘效应等。
本题应求解的水平方向的拖力。
水平方向，薄板所受的拖力与流体作用在薄板上下表面上摩擦力平衡。
不妨先设平板上面油的粘度为，平板下面油的粘度为。

作用于薄板上表面的摩擦力为：

题中未给出流场的速度分布，且上下两无限大平板的间距不大，不妨设为线性分布。
薄板到上面平板的距离为，所以：

所以：

同理，作用于薄板下表面的摩擦力为：

维持薄板匀速运动所需的拖力：

所以：

将、、和代入，得平板上面油的粘度为：

平板下面油的粘度为：

从以上求解过程可知，若设平板下面油的粘度为，平板上面油的粘度为，可得出同样的结论。

[陈书1-22] 图示滑动轴承宽，轴径，间隙，间隙中充满了动力学粘性系数的润滑油。试求当轴以的恒定转速转动时所需的功率。（注：不计其他的功率消耗）

【解】轴表面承受的摩擦阻力矩为：
其中剪切应力：
表面积：
因为间隙内的流速可近似看作线性分布，而且对粘性流体，外表面上应取流速为零的条件，故径向流速梯度：
其中转动角速度：
所以：
维持匀速转动时所消耗的功率为：
将：

代入上式，得消耗的功率为：

[陈书1-23]图示斜面倾角，一块质量为25kg，边长为1m的正方形平板沿斜面等速下滑，平板和斜面间油液厚度为。若下滑速度，求油的粘度。
［解］由平板等速下滑，知其受力平衡。
沿斜坡表面方向，平板下表面所受油液的粘滞力与重力沿斜面的分量平衡。

平板下表面承受的摩擦阻力为：
其中剪切应力：
因为间隙内的流速可近似看作线性分布，而且对粘性流体，外表面上应取流速为零的条件，故垂直于斜坡表面方向的流速梯度为：
所以：
而重力在平行于斜面方向的分量为：
因：
故：
整理得：
将：

代入上式，得：

第二章
［陈书2-8］容器中盛有密度不同的两种液体，问测压管A及测压管B的液面是否和容器中的液面O-O齐平？为什么？若不齐平，则A、B测压管液面哪个高？

［解］依题意，容器内液体静止。
测压管A与上层流体连通，且上层流体和测压管A均与大气连通，故A测压管的液面与液面O-O齐平。
测压管B与上下层流体连通，其根部的压强为：

其中为上层液体的厚度，为液体分界面到B管根部的垂向距离，为大气压
因测压管B与大气连通，其根部的压强又可表示为：

其中h为B管内气液界面到B管根部的垂向距离
所以：

由此可知：若，B测压管的液面低于A测压管的液面和O-O面；若，B测压管的液面高A测压管的液面和O-O面；若，A、B测压管的液面和O-O面三者平齐。
又因为密度为的液体稳定在上层，故。

［陈书2-12］容器中有密度为和的两种液体，试绘出AB面上的压强分布图。

［解］令上、下层液体的厚度分别为和，取垂直向下的方向为z轴的正方向，并将原点设在自由表面上，可写出AB表面上压强的表达式：

整理得：

［陈书2-24］直径D=1.2m，L=2.5的油罐车，内装密度的石油，油面高度为h=1m，以的加速度水平运动。试确定油罐车侧盖 A和B上所受到的油液的作用力。
［解］取x坐标水平向右，y坐标垂直纸面向内，z坐标垂直向上，原点定在油罐的中轴线上。油液受到的体积力为：

由欧拉方程积分可得：
根据题意及所选的坐标系，当时，
故：

所以：
因大气压的总体作用为零，故上式中可令
于是：
左侧盖形心的坐标：
故该处的压强：
左侧盖所受油液的作用力：（取）
右侧盖形心的坐标：
故该处的压强：
左侧盖所受油液的作用力：（取）

［陈书2-26］盛有水的圆筒形容器以角速度绕垂直轴作等速旋转，设原静水深为h，容器半径为R，试求当超过多少时可露出筒底？
解：非惯性坐标系中相对静止流体满足欧拉方程：
等速旋转时液体所受的质量力为：
，，
将其代入欧拉方程，积分得：

自由表面中心处r=0，（大气压），再令此处的z坐标为：（令筒底处z=0），代入上式，得：

所以：
所以：
等压面的方程：
对于自由表面：，故自由表面的方程为：

当筒底刚好露出时，，所以自由面方程为：

自由面与筒壁相交处的垂向坐标：
旋转后的水体体积：

将水视为不可压缩流体，根据质量守恒，旋转前后的水体体积应相等，所以：

所以：

［陈书2-39］在由贮水池引出的直径D=0.5m的圆管中安装一蝶阀，h=10m，蝶阀是一个与管道直径相同的圆板，它能绕通过中心的水平轴回转。为不使该阀自行转动，问所需施加的力矩应为多大？
［解］将阀门的圆心定为坐标原点，z轴垂直向上，则压强分布为：

由于静水压导致阀门所受的总力矩为：

所以：

［陈书2-43］图示一储水设备，在C点测得绝对压强为，h=2m，R=1m。求半球曲面AB所受到液体的作用力。

［解］建立如图所示的坐标系，其中坐标原点取在球心，z轴垂直向上。以C为参考点，容器内任意点的压强可表达为：

作用在曲面AB上任意点处的压强均与表面垂直，即压力的作用线通过球心。简单分析可知，曲面上水平方向的液体合压力为零，液体的曲面的总作用力仅体现在垂直方向，且合力方向向上，且合力作用线通过球心。
球面的外法线方向：

其中为纬度角，为经度角。
曲面AB上的垂向总液体压力：

其中：，
所以：

将和代入上式，得：

将，h=2m，R=1m，和代入，得：

第三章
[陈书3-8] 已知流体运动的速度场为，，，式中为常数。试求：时过点的流线方程。
解：
流线满足的微分方程为：
将，，，代入上式，得：
（x-y平面内的二维运动）
移向得：
两边同时积分：（其中t为参数）
积分结果：（此即流线方程，其中C为积分常数）
将t=1, x=0, y=b代入上式，得：
∴积分常数
∴t=1时刻，过(0,b)点的流线方程为：
整理得：
陈书3-10 已知二元不可压缩流体流动的流线方程如下，问哪一个是无旋的？
（1）；
（2）；
（3），
其中A，B，C均为常数。

[解法一]
（1）根据流线方程
当时，有
令，
根据流体的不可压缩性，从而
再把流线方程对x求导得到

所以
y是任意的，得到

无旋
（2）根据流线方程
令，
根据流体的不可压缩性，从而
再把流线方程对x求导得到

所以
当时，无旋
当时，

无旋
（3）根据流线方程

当时，
令，
再把流线方程对x求导得到

根据流体的不可压缩性，
从而
，不恒为0
有旋
[解法二]
（1）由题意知：
流函数
得到

从而

无旋

（2）同上
流函数
，

无旋

（3）同上
流函数
，

有旋

[陈书3-11] 设有两个流动，速度分量为：
(1) ；
(2)
式中为常数。试问：这两个流动中哪个是有旋的？哪个是无旋的？哪个有角变形？哪个无角变形？
解：两个流动中均有，即均为平面二维流动状态，因此旋转角速度分量，角变形速度分量。
(1)

∴当时此流动有旋，无角变形；当时此流动无旋，无角变形。
(2)

∴当时此流动无旋，有角变形；当时此流动无旋，无角变形。

[陈书3-13] 设空间不可压缩流体的两个分速为：
(3) ；
(4)
其中均为常数。试求第三个分速度。已知当时。
解：
不可压缩流体的连续性方程为：，
则：
(1)
将上式积分得：
利用条件时得到
∴
(2)
将上式积分得：
利用条件时得到
∴

[陈书3-30] 如图所示水平放置水的分支管路，已知，，，，，。求，，，，。
解：
根据质量守恒定理有： (1)
其中
将以及条件带入(1)式得到：
，
则，。
第四章
［陈书4－8］测量流速的皮托管如图所示，设被测流体的密度为，测压管内液体密度为，测压管内液面的高度差为h。假定所有流体为理想流体，皮托管直径很小。试证明所测流速

［证明］沿管壁存在流线，因此可沿管壁列出理想流体的Bernoulli方程：
（1）
其中点1取在皮托管头部（总压孔），而点2取在皮托管环向测压孔（静压孔）处。
因流体在点1处滞止，故：
又因皮托管直径很小，可以忽略其对流场的干扰，故点2处的流速为来流的速度，即：

将以上条件代入Bernoulli方程（1），得：
（2）
再次利用皮托管直径很小的条件，得：
从测压管的结果可知：
将以上条件代入（2）式得：
证毕。

［陈书4－13］水流过图示管路，已知，，，。不计损失，求。
［解］因不及损失，故可用理想流体的Bernoulli方程：
（1）
题中未给出流速沿管道断面的分布，再考虑到理想流体的条件，可认为流速沿管道断面不变。此外，对于一般的管道流动，可假定水是不可压缩的，于是根据质量守恒可得：
（2）
其中和分别为管道在1和2断面处的截面积：
， （3）
方程（1）可改写为：
（4）
根据题意：， （5）
将（5）代入（4），得： （6）
再由（2）和（3）式可得：
所以： （7）
将（7）式代入（6）得：
整理得：
（8）
将，，，代入（8）式，得：

［陈书4－19］图示两小孔出流装置，试证明不计流动损失时有关系式。（此题陈书的标注有误）

［证明］因不计损失，可视流体为理想流体，则位于深度处的小孔出流速度为：

同样，位于深度处的小孔出流速度为：
流出小孔后流体做平抛运动，位于深度处的小孔出流的下落时间为：

故其射的程为：
同理，位于深度处的小孔出流的射程为：
根据题意：
所以：
于是：

第六章
［陈书4－8］测量流速的皮托管如图所示，设被测流体的密度为，测压管内液体密度为，测压管内液面的高度差为h。假定所有流体为理想流体，皮托管直径很小。试证明所测流速

［证明］沿管壁存在流线，因此可沿管壁列出理想流体的Bernoulli方程：
（1）
其中点1取在皮托管头部（总压孔），而点2取在皮托管环向测压孔（静压孔）处。
因流体在点1处滞止，故：
又因皮托管直径很小，可以忽略其对流场的干扰，故点2处的流速为来流的速度，即：

将以上条件代入Bernoulli方程（1），得：
（2）
再次利用皮托管直径很小的条件，得：
从测压管的结果可知：
将以上条件代入（2）式得：
证毕。

［陈书4－13］水流过图示管路，已知，，，。不计损失，求。
［解］因不及损失，故可用理想流体的Bernoulli方程：
（1）
题中未给出流速沿管道断面的分布，再考虑到理想流体的条件，可认为流速沿管道断面不变。此外，对于一般的管道流动，可假定水是不可压缩的，于是根据质量守恒可得：
（2）
其中和分别为管道在1和2断面处的截面积：
， （3）
方程（1）可改写为：
（4）
根据题意：， （5）
将（5）代入（4），得： （6）
再由（2）和（3）式可得：
所以： （7）
将（7）式代入（6）得：
整理得：
（8）
将，，，代入（8）式，得：

［陈书4－19］图示两小孔出流装置，试证明不计流动损失时有关系式。（此题陈书的标注有误）

［证明］因不计损失，可视流体为理想流体，则位于深度处的小孔出流速度为：

同样，位于深度处的小孔出流速度为：
流出小孔后流体做平抛运动，位于深度处的小孔出流的下落时间为：

故其射的程为：
同理，位于深度处的小孔出流的射程为：
根据题意：
所以：
于是：

第六章
[陈书6-7] 二维势流的速度势为式中是极角，为常数，试计算：
（1） 沿圆周的环量；
（2） 沿圆周 的环量。
解：（1）

则沿圆周的速度环量

（2） 易知此二维势流除在原点处均有势，而圆周不含原点。故沿圆周的速度环量
[陈书6-8] 距离的两平板表面间的速度分布为，式中是两平面间处的速度。试求流函数的表达式，并绘制流线。
解：因为
所以，

所以，
则，
其中常数C的取值对流动图形无影响，可认为是0
所以
[陈书6-9]已知某平面流场速度势函数为，式中为常数。试求流函数。
解：因为
所以
又因为
所以，即
由于常数C的取值不影响流动情况，故可取为零。
则

第七章
[陈书7-6] 烟囱直径，烟量，烟气密度，周围大气密度，烟囱内压强损失，为烟囱内烟气流动的速度，为烟囱高度。为保证烟囱底部断面1处的负压不小于水柱，烟囱的高度应大于（或小于）多少？

［解］ 此题用Bernoulli方程求解。

对1、2断面列出总流的伯努利方程：
（1）
由质量守恒可知：
再假定动能修正系数：
式（1）可简化为：
（2）
（3）
断面1处的负压：，移项可得：
而断面2处的压强为当地的大气压，即：
其中和分别为断面1、2处的大气压
将以上各式代入（3）式得：
（4）
而：，
代入（4）式得： （5）
依题意，能量损失：
代入（5）式：
移项得： （6）
令为水的密度，负压可用高的水柱表示为：
代入（6）得：
将流速：代入上式，得：
（7）

将：、、、、、和代入（7）式得：

因为：，所以：

【陈书7-10】 将一平板伸入水的自由射流内，垂直于射流的轴线。该平板截去射流流量的一部分，引起射流剩余部分偏转角度。已知射流流速，全部流量，截去流量。求偏角及平板受力。

解：用动量积分定理求解
题中指明流体为水，但并未特别提及其力学性质。为解体，不妨忽略粘性，并假定流体不可压缩。
选取如图所示的控制体及坐标系
进入控制体的动量通量在x方向的分量：（为流体密度）
进入控制体的动量通量在y方向的分量：
流出控制体的动量通量在x方向的分量：
流出控制体的动量通量在y方向的分量：
因忽略粘性，平板和水之间无摩擦力（切向力），所以平板对水的作用力只有沿x方向的分量，令其为
又因为大气压沿控制体周界积分等于零，所以由动量积分定理有：
（1）
（2）
可以找到一条从0-0断面到1-1断面的流线，对于该流线可以列出Bernoulli方程：

因为
故
因射流速度较大，可忽略重力，可得

同理可得

将以上关系代入（1）式和（2）式，得
（3）
（4）
由（4）式得到，
（5）
又因流体不可压，所以

代入（5）式得到，

所以，
再由（3）式求得：

【7-11】 如图所示，水由水箱1经圆滑无阻力的空口水平射出，冲击到一平板上，平板封盖着另一水箱2的孔口，两水箱孔口中心线重合，水位高分别为和，孔口径。求保证平板压在2箱孔口上时与的关系。（不计平板的重量及摩擦力）

解：因不计摩擦力，可以视为理想流体，则小孔处流速：

射在平板上的流体沿板的四周流出。
选取如图所示的控制体，作用在控制体上的外力为大气压和平板的作用力。
大气压的积分效果为零，又由于忽略摩擦，平板的作用力只能沿x方向，设其为
假设容器足够大，流动定常，则x方向的动量积分方程：

故水流作用于平板上的力为：

平板右侧受到的静水压为

为保证平板压在孔口上，须有，即

有，可得：

[陈书7-13变] 如图，一带有倾斜平板的小车逆着来自无穷远处的射流以速度v匀速移动。已知射流断面积为A，体积流量为Q，流体为理想不可压缩的，不计地面的摩擦力和重力。
（1）若，求分流流量和与入射总流量的关系；
（2）若，求推动小车所需的功率。

解：（1）令上面出流的速度和断面积为：，，有：
令下面出流的速度和断面积为：，，有：
令入流断面的速度为：，有：
选取一条从入流断面到上面出流断面的流线列出理想流体的伯努利方程：

因和均为大气压，重力忽略，所以：
同理可得：
选取如图所示的坐标系及控制体。
进入控制体的动量通量在x方向的分量为：
进入控制体的动量通量在y方向的分量为：
从1断面处流出控制体的动量通量在x方向的分量为：
从2断面处流出控制体的动量通量在x方向的分量为：
因流体为理想流体，故x方向平板的反作用力为零，所以：

即：
考虑到：，有：
由质量守恒有：
所以：，

（2）将坐标系固定在小车上，选取与（1）中相同的控制体。
因流体为理想流体，故x方向平板的反作用力为零，仅需考虑y方向平板的受力。
进入控制体的动量通量在y方向的分量为：
流出控制体的动量通量在y方向的分量为零。
所以沿y方向平板的反作用力为：
该力在小车前进方向的分量为：
所以推动小车所需的功率为：

［陈书7-18］油在如图所示的管中流动，其密度，流量，管径d=25cm，两弯头之间的距离，下部弯头出口处压强。求油流对上部弯头作用力矩的大小和方向（不计损失）。

［解］将积分形式的动量方程对上部弯头的中心取矩，得：

因流动定常，所以：

其中总力矩包含两部分：1）外部支承对管道的力矩；2）进口和出口处压强产生的力矩。
所以：

因为进口处通量的力臂为零，故仅有出口处的通量部分对力矩有贡献，为：
（逆时针方向）
进口处合压力对上部弯头的力臂为零，故只需考虑出口压强对力矩的贡献：
（顺时针方向）
所以：

考虑到力矩方向：

油流对上部弯头的力矩等于外部支撑对管道的作用力矩（方向相反）。

［陈书7-21］一个洒水装置的旋转半径R=200mm，喷嘴直径d=8mm，喷射方向角，两个喷嘴的流量均为。若已知摩擦阻力矩，求转速n。若在喷水时不让其旋转，应施加多大力矩？

［解］此题用积分形式的动量矩方程求解：

系统所受的总力矩为：

所以：

题意隐含洒水装置等速旋转，故其角加速度为零，控制体内流体的动量矩守恒，即：

由此可得：

并令洒水装置的角速度为，则从喷口流出的水的绝对速度为：

其中为水流从喷嘴流出的相对速度；为牵连速度，方向垂直于旋转臂（考虑水流的反推作用可知其方向与喷出水流沿圆周切线分量的方向相反），大小等于。
假定悬臂轴线的角度为0（总可以通过选择适当的坐标系达到），水平向右的方向为x轴正向，垂直向上的方向为y轴正向（如图），则相对速度和牵连速度可分解为：

其中A为喷嘴截面积。
因为速度在径向的分量对力矩无贡献，而它在垂直于旋转臂方向的分量为大小：

于是：

所以：

代入已知条件，得：

转速：

若不转动，则以上各式中角速度为零，可得：

第八章
［陈书8-9］一个圆球放在流速为1.6m/s的水中，受的阻力为 4.4N。另一个直径为其两倍的圆球置于一风洞中，求在动力相似条件下风速的大小及球所受的阻力。已知，。
［解］：此题涉及绕流物体的粘性阻力，应选取雷诺数为主要的相似准则，于是：

从上式可得：

由题意知：，，，
将以上条件代入，得风速：
转化阻力采用牛顿数相等的原则，即：

由上式可得：
由题意：，
所以：

［陈书8-10］需测定飞行器上所用流线型杆子的阻力，杆子厚度为30mm，飞行器速度为150km/h，当用杆子模型在水槽中测定其粘性阻力时，已知水流速度为2m/s，。问模型厚度应为多少？

［解］：此题涉及绕流物体的粘性阻力，应选取雷诺数为主要的相似准则，于是：

从上式可得：

由题意知：，
，
将以上条件代入，得模型厚度：

［陈书8-11］为了得到水管中蝶阀的特性曲线，利用空气来进行模型实验。模型蝶阀直径，当，空气（）流量时，实验测得如下数据：模型中压强降；气流作用在阀门上的力是；绕阀门旋转轴气流的作用力矩是。设实验在自模区进行，且实际蝶阀，水流量，角相同。试确定实物中的压强降、作用力及作用力矩。

［解］涉及压强降，应考虑欧拉数相等，即：

由上式可得：
由题意：

取重力加速度：

所以：，或：

转化作用力采用牛顿数相等的原则，即：

由上式可得：
力矩：
所以：

［陈书8-12］在深水中进行火箭的模拟实验，模型大小与实物之比为1/1.5。若火箭在空气中的速度为500km/h，问欲测定其粘性阻力，模型在水中的实验速度为多少（已知）？
［解］：此题涉及绕流物体的粘性阻力，应选取雷诺数为主要的相似准则，于是：

由上式可得：

第九章
[陈书9-11] 具有，的油液流过直径为2.54cm的圆管，平均流速为0.3m/s。试计算30m长度管子上的压强降，并计算管内距内壁0.6cm处的流速。

［解］管内流动的雷诺数：
将、、和d=2.54cm代入，得：

因为，所以流动为层流，沿程阻力损失系数：

沿程阻力损失：
表示成压强降的形式：
代入数据，得：

因为是层流运动，流速满足抛物面分布，且其分布为：

将、、d=2.54cm和l=30m代入，得：

［陈书9-12］某种具有，的油，流过长为12.2m，直径为1.26cm的水平管子。试计算保持管内为层流的最大平均流速，并计算维持这一流动所需要的压强降。若油从这一管子流入直径为0.63cm，长也为12.2m的管子，问流过后一根管子时的压强降为多少？

［解］管内流动的雷诺数：
管内保持层流时，雷诺数低于下临界雷诺数，即：
所以：
将、、和d=1.26cm代入，得：

压强降：

流入后一根管子时，流量不变，直径减小，用上标“~”表示后一种情况，则有：

所以：
此时流动进入湍流光滑区，且，可用布拉修斯公式求解沿程阻力损失系数，即：

压强降：
此时，平均流速：
所以：

[陈书9-13] 的水流经过直径d=7.62cm的钢管（），每分钟流量为。求在915m长度上的压降。当水温下降至时，情况又如何？已知时水的运动学粘性系数，密度，时水的运动学粘性系数，密度。

［解］流量：
平均流速：

两个与粗糙度有关的雷诺数：

时：
雷诺数：
因，流动处于湍流过渡区，阻力系数用Colebrook公式计算，即

代入数值后解得：
所以压强降：
时：
雷诺数：
因，流动处于湍流光滑管区，又因，阻力系数可用布拉修斯公式计算，即

代入数值后解得：
所以压强降：

［陈书9-22］水从水箱沿着高度及直径的铅垂管路流入大气，不计管路的进口和出口损失，沿程阻力损失系数取为，试求：
1） 管路起始断面A的压强与箱内所维持的水位h之间的关系式，并求当h为若干时，此断面绝对压强等于一个大气压。
2） 流量和管长的关系，并指出在怎样的水位h时流量将不随而变化。

［解］令出口断面为B，可对A和B断面写出总流的Bernoulli方程：
（1）
因不计进出口损失，故可认为管内流速分布沿轴线不变，即：
， （2）
于是（1）式简化为： （3）
对于圆管流动，沿程阻力损失可表示为： （4）
由题意： （5）
将（4）和（5）式代入（3），得：
（6）
（1）当断面A处的绝对压强为一个大气压时，有：
代入（6）式，得： （7）
令水箱内水表面为C断面，假定从C到A断面无损失，可列出流线的Bernoulli方程：
（8）
联立（6）式和（8）式，并考虑到：，，，
可得： （*）
式（9）即为管路起始断面A的压强与箱内所维持的水位h之间的关系式。
根据题意： （9）
将（9）代入（8）式，得：
（10）
考虑到和（7）式，得： （11）
将和代入，得：

（2）对于一般的情况，由（8）式可得：
（12）
将（12）式代入（6）式，得：
（13）
式（12）和（13）左右相加，得：
整理得：
考虑到，可得： （14）
于是管内流量： （15）
欲使流量不随变化，应有： （16）
代入已知数据：

［陈书9-23］一个自然通风锅炉，烟囱直径，烟囱内的沿程阻力系数，烟囱高度（1断面到2断面），正常工作状态时在烟囱底部1断面处测得负压为水柱。试求烟气的流量（已知：空气密度，烟气密度，水的密度。）

解：对1、2断面写出总流的伯努利方程：

依题意：
流体不可压，由质量守恒得：
可令：
沿程阻力损失：

将以上各式代入伯努利方程，得：
（A）
令和分别为1和2断面处的大气压，由题意有：
，其中

所以：
代入（A）式得：

烟气流量：
将已知各量的值代入，得：

［陈书9-30］油泵从开口油池中将油送到表压强为的油箱中。已知：油泵流量，油泵总效率，油的密度，运动粘度，油管直径，长度，总局部损失系数，油面高度差。试确定油泵的功率P。
泵

［解］令管道进口断面为1，出口断面为2，对两断面列出Bernoulli方程：
（1）
其中表示油泵提供的能量。
根据题意，可假定流体不可压缩，管道均匀，所以：
， （2）
代入（1）式，得： （3）
令左边开口容器液面为A，假定油无损失地从液面流到入口处，并假定液面处流速为零，可写出流线的Bernoulli方程：

移项得： （4）
令右边容器液面为B，同样可得：
（5）
将（4）和（5）代入（3），得：

考虑到（2）式，得： （6）
由题意：， （7）
沿程阻力： （8）
局部阻力： （9）
将（7）、（8）和（9）代入（6），得：
（10）
油泵所提供的压强差为： （11）
油泵的功率： （12）
管内平均流速： (13)
管内流动的雷诺数：
（14）
代入已知数据，得： （15）
流动为层流，所以： （16）
将已知数据代入（12）式，得：

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