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2集合的基本关系及运算

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集合的基本关系及运算

【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．
2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
【要点梳理】
要点一、集合之间的关系
1.集合与集合之间的“包含”关系
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

要点诠释：
（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．
（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．
真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
2.集合与集合之间的“相等”关系
，则A与B中的元素是一样的，因此A=B
要点诠释：
任何一个集合是它本身的子集，记作．
要点二、集合的运算
1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn图表示：

要点诠释：
（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．
（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).
2.交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：

要点诠释：
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．
（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.
3.补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：

要点诠释：
（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．
（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．
（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．
4.集合基本运算的一些结论

若A∩B=A，则，反之也成立
若A∪B=B，则，反之也成立
若x(A∩B)，则xA且xB
若x(A∪B)，则xA，或xB
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.
【典型例题】
类型一、集合间的关系
例1. 集合，集合，那么间的关系是（ ）.
A. B. C. = D.以上都不对
【答案】B
【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.
举一反三：
【变式1】若集合，则（ ）.
A. B. C. = D.
【答案】C
例2. 写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.
【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.
举一反三：
【变式1】已知，则这样的集合有 个.
【答案】7个
【变式2】同时满足：①；②，则的非空集合有（ ）
A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个
【答案】C
例3．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？
【答案】以上四个集合都不相同
【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件．
举一反三：
【变式1】 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【变式2】 设集合，，则与的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【变式3】 设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M∩N=
【答案】B
例4．已知若M=N，则= ．
A．－200 B．200 C．－100 D．0
【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．
【答案】D
【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．
举一反三：
【变式1】设a，bR，集合，则b-a=( )
【答案】2
类型二、集合的运算
例5. 设集合，，，求.
【答案】,
【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.
举一反三：
【变式1】已知集合M={y|y=x2-4x+3，xR}，N={y|y=-x2-2x+8，xR}，则M∩N等于( )
A. B. R C. {-1，9} D. [-1，9]
【答案】D
例6. 设集合M={3，a}，N={x|x2-2x<0，xZ}，M∩N={1}，则M∪N为( )
A. {1，3，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} 　D. {1，3}
【思路点拨】先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．
【答案】D
举一反三：
【变式1】（1）已知：M={x|x≥2}，P={x|x2-x-2=0}，求M∪P和M∩P；
（2）已知：A={y|y=3x2}， B={y|y=-x2+4}， 求：A∩B，A∪B；
（3）已知集合A={-3， a2 ，1+a}， B={a-3， a2+1， 2a-1}， 其中aR，若A∩B={-3}，求A∪B.
【答案】（1）{x|x≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y≤4}，R；（3）{-4，-3，0，1，2}.
【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a的一个值时，又要检验是否符合题设条件.
【变式2】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.
【答案】｛2，3，6，18｝
例7.已知全集，求CuA.
【思路点拨】CuA隐含了，对于，注意不要忘记的情形.
【答案】 当时，CuA=；当时，CuA=；当时，CuA=.
【总结升华】求集合的补集，只需在全集中剔除集合的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合的元素不确定，因此必须分类讨论才行.
举一反三：
【变式1】 设全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.
【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}.
【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}
由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B中.
由集合的图示可得
A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.
类型三、集合运算综合应用
例8．已知全集A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}.
（1）若A∩B≠，求实数 a的取值范围；
（2）若A∩B≠A，求实数a的取值范围；
（3）若A∩B≠且A∩B≠A，求实数a的取值范围．
【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点.
【答案】（1）a<4；（2）a≥-2；（3）-2≤a<4．
【总结升华】此问题从题面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.
举一反三：
【变式1】已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（ ）
A．(-∞, -1] B．[1, +∞）
C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）
【答案】C
例9. 设集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【思路点拨】明确、的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式和，是解决本题的关键.同时，在包含关系式中，不要漏掉的情况.
【答案】（1）或；（1）2．
【总结升华】两个等价转化：非常重要，注意应用.另外，在解决有条件的集合问题时，不要忽视的情况.
举一反三：
【变式1】已知集合，若,求实数的取值范围.
【答案】或
【变式2】设全集，集合，若CuA，求实数的取值范围.
【答案】
【巩固练习】
1．1. 设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（ ）
　　A、 B、 C、A=B D、A∩B=
2. 集合M={y| y=x2-1, x∈R}， N={x| y=}，则M∩N等于（ ）
　 A、{(-, 1), (, 1)} B、
　 C、 D、
3．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 （ ）

4．已知集合满足,那么下列各式中一定成立的是（ ）
A． AB B． BA C． D．
5．若集合，，且，则的值为( )
A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或-1或0
6．设集合，，则( )
A． B． C． D．
7．设，则.
8．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.
9．若且，则 .
10．若，则= .
11．设全集，集合，，那么等于________________.
12．设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（），都有（表示两个数中的较小者）则的最大值是 .
13．设，其中，如果，求实数的取值范围.
14．设，集合，；若，求的值.
15．设，集合.满足以下两个条件：
（1）
（2）集合中的所有元素的和为124，其中.
求的值.
【答案与解析】
1.【答案】D
【解析】.学生易错选C。错因是未正确理解集合概念，误以为A={-1，2}，
其实{(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}={(-1, 2)}，A是点集而B是数集，故正确答案应选D。
2.【答案】C
【解析】 集合M中的元素是y，它表示函数y=x2-1的值域，
集合N中的元素是x，它表示函数y=的定义域。
由M={y| y≥-1}，N={x| -≤x≤}，知M∩N={t| -1≤t≤}，因此选C。
3．【答案】B
【解析】由，得，则,选B．
4．【答案】C
【解析】
5.【答案】D
【解析】当时，满足，即；当时，
而，∴；∴.
6.【答案】 B
【解析】 ；，整数的范围大于奇数的范围.
7.【答案】
【解析】.
8.【答案】26
【解析】全班分类人：设既爱好体育又爱好音乐的人数为人；仅爱好体育的人数为()人；仅爱好音乐的人数为()人；既不爱好体育又不爱好音乐的人数为人 .∴，∴.
9.【答案】
【解析】由，则，且.
10.【答案】
【解析】，.
11.【答案】
【解析】，代表在直线上，但是挖掉的点，代表直线外，但是包含点的点；
代表直线外的点，代表直线上的点，∴.
12.【答案】11
【解析】含2个元素的子集有15个，但、、只能取1个；、只能取1个；、只能取1个，故满足条件的两个元素的集合有11个.
13.【答案】
【解析】由，而，
当，即时，，符合；
当，即时，，符合；
当，即时，中有两个元素，而；
∴得
∴.
14.【答案】 或
【解析】，由，
当时，，符合；
当时，，而，∴，即
∴或.
15.【答案】
【解析】由得是完全平方数，又，
.，由可得，由可得.
设中另一元素为，
则.
又中所有元素之和为124，所以解得或（舍），
.

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