高中数学直线和圆知识点总结教学内容.doc

高中数学直线和圆知识点总结

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直线和圆
一．直线
1．斜率与倾斜角：，
（1）时，；（2）时，不存在；（3）时，
（4）当倾斜角从增加到时，斜率从增加到；
当倾斜角从增加到时，斜率从增加到
2．直线方程
（1）点斜式：
（2）斜截式：
（3）两点式：
（4）截距式：
（5）一般式：
3．距离公式
（1）点，之间的距离：
（2）点到直线的距离：
（3）平行线间的距离：与的距离：
4．位置关系
（1）截距式：形式
重合：　　　　 相交：
平行： 垂直：
（2）一般式：形式
重合：且且
平行：且且
垂直： 相交：
5．直线系
表示过两直线和交点的所有直线方程（不含）
二．圆
1．圆的方程
（1）标准形式：（）
（2）一般式：（）
（3）参数方程：（是参数）
【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.
（4）以,为直径的圆的方程是：
2．位置关系
（1）点和圆的位置关系：
当时，点在圆内部
当时，点在圆上
当时，点在圆外
（2）直线和圆的位置关系：
判断圆心到直线的距离与半径的大小关系
当时，直线和圆相交（有两个交点）；
当时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；
当时，直线和圆相离（无交点）；
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．
(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．

3．圆和圆的位置关系
判断圆心距与两圆半径之和，半径之差（）的大小关系
当时，两圆相离，有4条公切线；
当时，两圆外切，有3条公切线；
当时，两圆相交，有2条公切线；
当时，两圆内切，有1条公切线；
当时，两圆内含，没有公切线；
4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减
5．弦长公式：

例1若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________．
解析：由题意知 ＞1，解得－＜k＜.
答案：(－， )

例2已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．
解析：两圆相减即得x－2y＋4＝0.
答案：x－2y＋4＝0

例3设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是________．
解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x－my－1＝0的距离d＝＝1，即＝1，解得m＝±.
答案：±

例4若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．
解析：由题意可知圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为2 ，由于a2＋b2＝c2，所以所求弦长为2.
答案：2

例5已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．
(1)若|AB|＝，求|MQ|及直线MQ的方程；
(2)求证：直线AB恒过定点．
解：(1)设直线MQ交AB于点P，则|AP|＝，又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|＝ ＝，
又∵|MQ|＝，∴|MQ|＝3.
设Q(x,0)，而点M(0,2)，由＝3，得x＝±，
则Q点的坐标为(，0)或(－，0)．
从而直线MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.
(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A，B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(x－q)＋y(y－2)＝0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx－2y＋3＝0，所以直线AB恒过定点.

例6过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为 ，则直线l的斜率为________．
解析：将圆的方程化成标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r＝1.由弦长为得弦心距为. 设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，则＝，化简得7k2－24k＋17＝0，得k＝1或k＝.
答案：1或

例7圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋y－3＝0的距离为________．
解析：圆心(1,0)，d＝＝1.
答案：1

例8圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为
____________________．
解析：设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0)
∴＝a，∴a＝，
∴x2＋y2＝2.
答案：x2＋y2＝2

例9已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________________．
圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0，
则
解得
圆C的方程为x2＋y2－4x－6＝0.
[答案]　(1)C　(2)x2＋y2－4x－6＝0

例10 (1)与曲线C：x2＋y2＋2x＋2y＝0相内切，同时又与直线l：y＝2－x相切的半径最小的圆的半径是________．
(2)已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1则2x－y的最大值为________，最小值为________．
解析：(1)依题意，曲线C表示的是以点C(－1，－1)为圆心，为半径的圆，圆心C(－1，－1)到直线y＝2－x即x＋y－2＝0的距离等于＝2，易知所求圆的半径等于＝.
(2)令b＝2x－y，则b为直线2x－y＝b在y轴上的截距的相反数，当直线2x－y＝b与圆相切时，b取得最值．由＝1.解得b＝5±，所以2x－y的最大值为5＋，最小值为5－.
答案：(1)　(2)5＋　5－

例11已知x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值为________．
解析：表示圆上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，所以的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)即kx－y＋2－k＝0.由＝1得k＝，结合图形可知，≥，故最小值为.
答案：

例12已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．
解析：lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝，
则AB边上的高的最小值为－1.
故△ABC面积的最小值是×2×＝3－.
答案：3－

例13平面直角坐标系xoy中，直线截以原点O为圆心的圆所得的弦长为
（1）求圆O的方程；
（2）若直线与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线的方程；
（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，０）和（n，０），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
解： ⑴因为点到直线的距离为，
所以圆的半径为，
故圆的方程为．
⑵设直线的方程为，即，
由直线与圆相切，得，即，
，
当且仅当时取等号，此时直线的方程为．
⑶设，，则，，，
直线与轴交点，，
直线与轴交点，，
，
故为定值2．

例14圆x2+y2=8内一点P（－1，2），过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点.
（1）当=时,求AB的长；
（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程.

解:（1）当=时，kAB=－1，
直线AB的方程为y－2=－（x+1），即x＋y－1=0.
故圆心（0，0）到AB的距离d==，
从而弦长|AB|=2=.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=－2，y1+y2=4.
由
两式相减得（x1+x2）（x1－x2）+（y1+y2）（y1－y2）=0，
即－2（x1－x2）+4（y1－y2）=0，
∴kAB=.
∴直线l的方程为y－2=（x＋1），即x－2y＋5=0.

例15已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x－y+10=0上.
(1)若动圆C过点(－5,0),求圆C的方程;
(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.

解: (1)依题意,可设动圆C的方程为(x－a)2+(y－b)2=25,
其中圆心(a,b)满足a－b+10=0.
又∵动圆过点(－5,0),∴(－5－a)2+(0－b)2=25.
解方程组,
可得或,
故所求圆C的方程为(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y－5)2=25.
(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d==5.
当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x2+y2=r2相外切的圆；
当r满足r+5＞d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2+y2=r2相外切；
当r满足r+5=d,即r=5－5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2+y2=r2相外切.

题目

1．自点作圆的切线，则切线的方程为 ．

2．求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.

3．若点P在直线l1：x＋y＋3＝0上，过点P的直线l2与曲线C：(x－5)2＋y2＝16相切于点M，则PM的最小值 ．

4．设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·=0.
（1）求m的值；
（2）求直线PQ的方程.

5．已知圆C：x2+y2－2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.

6. 已知曲线C：x2+y2－4ax＋2ay－20＋20a=0.
（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；
（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；
（3）若曲线C与x轴相切，求a的值.

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