研究生-管理科学-总复习教学资料.doc

研究生-管理科学-总复习

精品资料
总复习
一、 有效数字与误差界
（1）两数和、差、积的绝对误差与相对误差公式如下：
≤+，≤+
≤+，≤+
（2）函数值的相对误差公式
对一元函数，若有绝对误差，则有绝对误差
=，
从而相对误差为：=
例1 设=1.21，=3.65，=9.81均为有效数字，试求-，++，+的相对误差.
解：因，，均为有效数字，故
≤，=≤，
≤，=≤
≤，=≤
从而
≤=0.4098
≤=0.1022
≤+，≤+≤+
≤≤=0.1054
例2 设计算球体积允许其相对误差限为1％，问测量球半径的相对误差限最大为多少？
解：记球的半径为，体积为，则

≤1％.
由公式：=，得到=
===3≤1％≤％=0.33％.
二、 线性方程组的追赶法及迭代的收敛性
1. 追赶法
对一个三对角矩阵（阶）=如果我们要将它分解成一个单位下三角阵与一个上三角矩阵的积，即
==
则系数满足如下关系：
=，=
=；=；=-；=；=-
例3 用追赶法求解线性方程组，并写出矩阵L和U.

解：设，=，=，=
因===2，====-1，由追赶法得
==-1，=2，==，=-=2-=，===
=-=2-=
即

=，=
由===
由===
2. 关于迭代的收敛性问题
对迭代格式

则
（1）上述迭代格式产生的向量序列收敛于方程组的精确解的充要条件是迭代矩阵的谱半径
利用性质，可以得到收敛的一个充分条件是：
（2） 若有，则由上述迭代格式产生的向量序列收敛于方程组的精确解

且有误差估计式：
及
记，，上式可以写成
或者
从中可以求出满足一定精度所需的迭代次数.
例4 设表示线性方程组精确解，现用迭代格式进行求解，其中，记误差向量，如果要求计算精度达到，试估计大约需要进行多少次迭代.
解：要使，因及
将近似地用谱半径代替则
如果，那么.由得到

算得≥70.即至少需要70次迭代才能满足要求.

例5 设有线性方程组
试证明：在迭代求解时，用迭代发散，而用迭代收敛。
解： 因
=，=，=，=
所以，迭代矩阵为
=
迭代矩阵为
=
由，得到特征值为：，，
由，得到特征值为：，，
所以，迭代发散，迭代收敛。
注意：在具体计算时，为了方便可以用计算迭代的特征值，用计算迭代的特征值。
本例中，即
即

三、 分段插值（三次样条插值）
1.插值多项式
例6 设给定数据
x
1
1.5
0
2
f(x)
1.50
2.50
1.00
5.50
(1) 作出函数f(x)的均差表；(2) 写出牛顿3次插值多项式.
解：（1）

0

1

1.5

2

1.00 =0.50 =1.00 =1.50
1.50 =2.00 =4.00
2.50 =6.00
5.50
（2）=1+++
=1+++
2.三次样条插值
例7 对于给定的插值条件

0 1 2 3

0 1 1 0
求出满足边界条件，的三次样条插值函数.
解：记，，，；，，，
计算二阶差商：

0 0
1
1 1
0
2 1
-1
3 0
注意到：==，所以

==（==）
==（==）
=6=，=6=.所以，关于，，，的方程组为：
=
下面用三对角方程的追赶法求解。

四、 代数精度
例8 求积公式
≈++
已知其余项的表达式为=，.试确定系数，，使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出该求积公式的余项和代数精度的次数.
解：
当=1时，=1 +=1
当=时，= +=
当=时，= =
代入求得：
=，=，=，从而
≈++，且求积公式的代数精度至少为2，能否更高有待验证.为此取
当=时，
==，而
++=
说明当=时不能使求积公式准确成立，因而该公式只有2次代数精度.
下面考虑余项，设
=+++
将=代入，得到
=+3！ =，即余项为
=，.

五、 数值微分
例9 下表给出了函数在各点的值：

0.880 0.7707389 0.900 0.7833269 0.922 0.7968117
0.885 0.7739150 0.905 0.7864252 0.925 0.7986208
0.889 0.7764419 0.910 0.7895037 0.940 0.8075581
0.890 0.7770717 0.911 0.7901171 0.950 0.8134155
0.895 0.7802091 0.920 0.7956016
假设=0.62160997，试
（1） 分别就步长=0.01，0.02利用三点公式
≈
≈及
计算，并对计算截断误差，结果列于表中.
（2） 利用公式=（=0.0000005）选择最优步长，计算，并比较结果.
（3） 利用中心差商公式≈就步长=0.02运用外推法外推二次计算，比较结果.
解：（1）步长=0.01，0.02时的计算结果列于下表：
（2）当=0.0000005时，由=，可以算得最优步长为
=≈0.011
利用上面两个公式计算的结果见表格.

（1）

（2）

=0.01

=0.02

=0.011
0.625125

0.62214

0.6215996

0.6215675

0.621546

计算表明：中心差商公式的精度明显三点公式；最优步长的选择与精度有关，对中心差商公式要得到较好的计算步长，必须进一步提高计算精度.如取=0.00000005=0.5，则可算得最优步长为=0.011，且可算得=0.621607，误差为：
（3）记=，由上面算得
=0.6215675，=0.6215996，
=0.6215675，
=0.6215996，==0.6216103，
误差：=.计算表明外推一次精度明显提高使结果具有6位有效数字.

六、 微分方程单步（多步）法系数的确定.
例10 ：考虑微分方程初值问题

已知2步显式公式

是一个2阶公式，试确定其中参数，及局部截断误差。
解: 该公式的截断误差为

=
=

=+

要达到2阶公式,则

所求的公式为:

局部截断误差

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10