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小学三年级奥数讲义全集

专题一 数图形
专题简析：先确定起始点或起始边，数出图形的数量，再依次以后一个点（或边）数出图形的数量。最后求出它们的和。

例1、数出下面图中有多少条线段？

思路：以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD共3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD共2条；以C点为左端点的线段有：CD共1条。所以图中共有线段3＋2＋1=6条。
试一试1：数出下图中有( )条线段。

例2、 数出下图中有几个角？

思路：以AO为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD三个；以BO为一边的角有：∠BOC、∠BOD两个；以CO为一边的角有：∠COD一个。所以图中共有3＋2＋1=6个角。
试一试2：数出下图中有（ ）个角。

例3 数出下面图中共有多少个三角形。

思路：数三角形的个数与数线段、数角的方法相同：以AB为边的三角形有：△ABC、△ABD、△ABE三个；以AC为边的三角形有：△ACD、△ACE二个；以AD为边的三角形有：△ADE一个。
所以图中共有三角形3＋2＋1=6个。
试一试3：数出下面图中共有（ ）个三角形。

专题二：找规律
专题简析：按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。

例1 在括号内填上合适的数。
（1）：3、6、9、12、（ ）、（ ）
（2）：1、2、4、7、11、（ ）、（ ）
（3）： 2，6，18，54，（ ），（ ）
思路：第（1）小题：前一个数加上3就等于后一个数，相邻两个数的差都是3。所以（ ）里分别填15和18；
（2）第（2）小题：相邻两个数的差依次是1，2，3，4……这样下一个数应为11增加5，所以应填16；再下一个数应比16大6，填22。
（3）第（3）小题：后一个数是前一个数的3倍，所以（ ）里应分别填162和486。
试一试1：先找规律再填数。
（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）；
（2）1，2，5，10，17， （ ），（ ）；
（3）1，5，25，125，（ ），（ ）；

例2 先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）15、2、12、2、9、2、（ ）、（ ）；
（2）21、4，18、5、15、6、（ ）、（ ）；
思路：第（1）小题：隔着看，第1、3、5……个数依次减3，第2、4、6……个数不变。所以括号里分别应填6、2；
（2）第（2）小题：隔着看，第1、3、5……个数依次减3，第2、4、6……个数依次加1。所以括号里里分别应填12和7。
试一试2：先找规律再填数。
（1）2、1、4、1、6、1、（ ）、（ ）；
（2）1、15、3、13、5、11、（ ）、（ ）；

例3 先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）2、5、14、41、（ ）；
（2）252、124、60、28、（ ）；
（3）1、2、5、13、34、（ ）；
（4）1、4、9、16、25、36、（ ）。
思路：第（1）小题：相邻两个数，前一个数乘3减1等于后一个数，所以括号里应填122。
第（2）小题：相邻的两个数，前一个数除以2的商减2等于后一个数，所以括号里应填12。
第（3）小题：从第二项开始，每一项乘3等于它前后相邻两数的和，因而括号里应填89。
第（4）小题：依次是1、2、3、4、5、6……的平方，因而第七个数为7×7=49。
试一试3：先找规律再填数。
（1）2、3、5、9、17、（ ）；
（2）94、46、22、10、（ ）、（ ）；
（3）2、3、7、18、47、（ ）、（ ）；
（4）1、8、27、64、（ ）、（ ）。

专题三 加减巧算
专题简析：加减法的巧算主要是运用“凑整”的方法，把接近整十、百、千的数看作所接近的数进行简算。要根据“多加要减去，少加要再加，多减要加上，少减要再减”的原则进行处理。
可以结合加法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。

例题1 计算下面各题。
（1）396＋55 （2）427＋1008
（3）456－298 （4）582－305
思路：396＋55=400＋55－4=451（多加要减去）
427＋1008=427＋1000＋8=1435（少加要再加）
456－298=456－300＋2=158（多减要加上）
582－305=582－300－5=277（少减要再减）
试一试1：速算。
（1）497＋28 （2）750＋1002

（3）574－397 （4）472―203

（5）402＋307―297―99

例题2 你有好办法迅速计算出结果吗？
（1）502＋799―298―97
（2）9999＋999＋99＋9
思路：先把每个数分别看作整千、整百、或整十数进行加减，再把零头数加减。
502＋799―298―97
=500＋2＋800－1－300＋2－100＋3
=（500＋800－300－100）＋（2－1＋2＋3）
=900＋6
906
9999＋999＋99＋9
=10000＋1000＋100＋10－1－1－1－1
=11110－4
=11106
试一试2：速算。
307＋201―398―99 1999＋199＋19

例题3 计算：
487＋321＋113＋479 723－251＋177
872＋284－272 537－142－58
思路：运用加法交换律、结合律把相加、减得整数的先算出来。
487＋321＋113＋479 723－251＋177
=(487＋113)＋(321＋479) =723＋177－251
=600＋700 =900－251
=1300 =649
872＋284－272 537－142－58
=872－272＋284 =537－(142＋58)
=600＋284 =537－200
=884 =337
试一试3：速算。
321＋127＋79＋73 235－125＋65

483＋254－183 271＋97－171

425－172－28 237＋（163－28）

例题4 计算下面各题：
321＋（279－155） 372－（54＋72）
432―（154―68）
思路：去括号时，加括号展开不变号；减括号展开要变号（即减号见面变加号）
321＋（279－155） 372－（54＋72）
=321＋279－155 =372－72－54
=600－155 =300－54
=445 =244
432－（154－68）
=432＋68－154
=500－154
=346
试一试3：速算。
421＋（179－125） 523－（175＋123）

328―（184―172）

专题四 文字算式谜
专题简析：文字算式是一种数字谜，相同的文字或英文字母应表示相同的数字，不同的文字或英文字母应表示不同的数字。解答时，要仔细观察算式的特征，认真分析，正确选择解题的突破口，最后通过尝试找寻正确答案。

例题1 下式中，每个字各代表一个不同的数字，其中“心”代表9，请问其他汉字分别代表哪个数字？

思路：“心”代表0，“心”ד心”=9×9=81，所以“少”=1，乘积就是111111111。
即：12345679×9=111111111
试一试：下面每个字代表不同的数字，这些汉字分别代表几？
（1）

（2）

（3）

3、在下面的竖式中，a、b、c、d各代表什么数字？

专题五 填数游戏
专题简析：填数游戏不但非常有趣，而且能促使你积极地思考问题、分析问题、发展能力。填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填几，一般是图形的顶点及中间位置。关键位置的数确定好了，其他问题就迎刃而解了。
例题1 在下图中分别填入1——9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少呢？

思路：（1）1—9中间的数是5，所以中心的○内填5，剩下八个数，一大一小搭配即可。
和=1＋9＋2＋8＋5=25
（2）中心的○内也可填1，剩下八个数，一大一小搭配即可。和=2＋9＋3＋8＋1=23
（3）中心的○内还可填9，剩下八个数，一大一小搭配即可。和=1＋8＋2＋7＋9=27
答：每条直线上数字的和可能是23、25、27。
试一试1：把6、8、10、12、14、16、18七个数填在下图的○中，使每排三个数及外圆上三个数的和都是32。

例题2 把数字1——8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上5个数的和都等于20。

思路：1——8的和是36，两个五边形上数字和是40，所以重叠部分的两个圆数字的和=40－36=4=1＋3。即中间两个圆圈分别是1、3。每个五边形上其他三个圆圈数字和是20－4=16=2＋6＋8=4＋5＋7。所以本题应该这样填：

试一试2：将数字1——6填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是15。

例题3 在图中填入2——9，使每边3个数的和等于15。

思路：该题的关键是4个顶点。因为求和时这4个顶点各算了两次，多算了一次。四个顶点的和=四边的和减2——9的和=15×4－（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）=16。
我们可选出3＋7＋4＋2=16填入4个顶点。

试一试3：将1——9这九个数填入下图中，使三角形每条边上四个数的和等于19，且有一个顶点的数字为1。

例题4 把1——8填入下图○内，使每边上三个数的和最大。求最大的和是多少？

思路：要使每边上三个数之和最大，容易想到把8、7、6、5填在四角，因为四个角上的数在求和时各用了两次，其他数各用了一次。由此我们可以列出求和的算式为：
[（8＋7＋6＋5）×2＋4＋3＋2＋1]÷4=62÷4
和不是整数，说明四条边上的总和要减少2才行，这只要将填在角上的5换成3即可。所以，最大的和为：（62－2）÷4=15
试一试4：把3——10填入下图○中，使每边上三个数的和最大，求最大的和是多少？

专题六 有余除法
专题简析：在有余数的除法中，要记住：
（1）余数必须小于除数；
（2）被除数=商×除数＋余数。

例1 □÷6=8……□，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？
思路：除数是6，根据余数比除数小，余数可填1、2、3、4、5，根据除数×商＋余数=被除数又已知商、除数、余数，可求出最大的被除数为6×8＋5=53，最小的被除数为6×8＋1=49。

试一试1：下面题中被除数最大可填几，最小可填几？
□÷8=3……□

例2 □÷□=8……15，要使除数最小，被除数应为几？
思路：题中余数是15，除数应比余数15大，最小的应该是16。16是最小的除数，根据商×除数＋余数=被除数：
被除数=8×16＋15=143
试一试2：除数最小时，被除数是几？
□÷□=10……7

例3 算式28÷（ ）=（ ）……4中，除数和商各是多少？
思路：根据“被除数=商×除数＋余数”，可以得知“除数×商=被除数－余数”，所以本题中商×除数=28－4=24。这两个数可能是1和24，2和12，3和8，4和6，又因为余数为4，因此除数可以是24、12、8、6，商分别为1、2、3、4。
试一试3：149除以一个两位数，余数是5，请写出所有这样的两位数。

专题七 周期问题
专题简析：（1）先找出一个周期里包含了几个对象。（2）总数÷周期对象数=周期数＋余数。（3）有余数，余几就是第几个对象；没有余数，最后一个数是周期内最后一个数。

例1 小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排列（如下图），请你算一算，第32个珠子是什么颜色？

思路：从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列，即6个珠子为一周期。32÷6=5（组）……2（个），32个珠子中含有5个周期多2个，所以第32个珠子就是重复5个周期后的第2个珠子，应为红色。
试一试1： “我要进江实我要进江实……”依次重复排列，第2013个字是什么？

例2 2001年10月1日是星期一，问：10月25日是星期几？
思路：我们知道，每星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。从10月1日到10月25日经过25－1=24天，24÷7=3（星期）……3（天），说明24天中包括3个星期还多3天。所以从10月1日开始过3个星期，最后一天还是星期一，从这最后一天起再过3天就应是星期四。
试一试2：2013年5月1日是星期三，9月1日是星期几？

例3 100个3相乘，积的个位数字是几？
思路：因数3的个数 积的个位
1个3——→ 3
2个3——→ 9
3个3——→ 7
4个3——→ 1
5个3——→ 3
……
积的个位分别以3、9、7、1不断重复出现，即每4个3积的个位数字为一周期。100÷4=25（个），因此100个3相乘积的个位数字是第25个周期中的最后一个，即是1。
试一试3：
50个7相乘，积的个位数字是几？

专题八 数学趣题
专题简析：对于趣味问题，首先要读懂题意，然后要经过充分的分析和思考，运用基础知识以及自己的聪明才智巧妙地解决。

例题1 如果每人步行的速度相同，2个人一起从学校到儿童乐园要3小时，那么6个人一起从学校到儿童乐园要多少小时？
思路：2个人一起从学校到儿童乐园要3小时，也就是1个人从学校到儿童乐园要3小时； 6个人一起从学校到儿童乐园还是用3小时。
试一试1：5只猫5天能捉5只老鼠，照这样计算，要在100天里捉100只老鼠要多少只猫？

例题2 一条毛毛早由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天能长到20厘米。问长到5厘米时要用多少天？
思路：毛毛虫每天长大一倍，说明第二天的身长是第一天身长的2倍。这条毛毛虫在第30天时，身长为20厘米，那么在第29天时，这条毛毛虫的身长为20÷2=10厘米；在第28天时，这条虫的身长为10÷2=5厘米。
试一试2：
（1）有一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，经过10天可以把整个池塘全部遮住。问睡莲要遮住半个池塘需要多少天？

（2）一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，15天能长到4厘米。问要长到32厘米共要多少天？

例题3 小猫要把15条鱼分成数量不相等的4堆，问最多的一堆中最多可放几条鱼？
思路：要让最多的一堆中小鱼条数尽量多，那么其余三堆小鱼的条数就要尽量少。所以，第一、二、三堆分别放放1条、2条、3条，这样第四堆就可放：
15－（1＋2＋3）=9条。
试一试3：兔妈妈拿来1盘萝卜共25个，分给4只小兔，要使每只小兔分得的个数都不同。问分得最多的一只小兔至多分得几只？

专题九 配对求和
专题简析：计算等差数列的和，可以用以下关系式：
等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2
末项=首项＋公差×（项数－1）
项数=（末项－首项）÷公差＋1

例题1 你有好办法算一算吗？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=（ ）
思路：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共10个数，我们可以把10个数分成5组：1＋10，2＋9，3＋8，……，每组两个数的和是11，它们的和就有5个11即11×5=55。算式：（1＋10）×10÷2=55
试一试1：你能迅速算出结果吗？
（1）1＋2＋3＋4＋…＋100；

（2）1＋2＋3＋4＋…＋55；

例题2 计算：32＋34＋36＋38＋40＋42
分析：首数32、尾数42、相数：（42－32）÷2＋1=6。算式：
（32＋42）×[（42－32）÷2＋1]÷2=222
试一试2： 72＋75＋78＋81＋84。

例题3 计算：
993＋994＋995＋996＋997＋998＋999
思路：这几个自然数都接近于1000，我们可以看作7个1000相加，这样就多加了7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，就用7000－（7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）=6072。
试一试3：9995＋9996＋9997＋9998＋9999

专题十 乘法速算
专题简析：因数中有5、25、125时首先要考虑他们分别于2、4、8相乘得到10、100、1000。两位数、三位数乘11，可采用“两头一拉，中间相加”的办法。但头尾相加作积的中间数时，哪一位上满10要向前一位进一。
例题1 你能很快算出432×5的结果吗？
思路：一个数与5相乘，因为10÷2=5，可在这个数末尾添上一个0，然后再除以。
432×5=432×10÷2=4320÷2=2160
试一试1： 470×5 629×5

例题2 试着计算下列各题，有什么规律？
18×11 38×11 432×11
思路：一个数与11相乘，将这个数的首位与末位拉开分别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位起加起，和写在十位、百位……，哪一位上满十就向前一位进一。
18×11=1（1＋8）8=198
38×11=3（3＋8）8=418
432×11=4（4＋3）（3＋2）2=4752
试一试2：35×11 87×11 872×11

例题3 你能迅速算出下面各题吗？
24×15 248×15 3456×15
思路：一个因数乘15，也就是用这个数加上它的一半再乘10。
24×15=（24＋24÷2）×10=36×10=360
248×15 3456×15
=(248＋248÷2)×10 =(3456＋3456÷2)×10
=372×10 =5184×10
=3720 =51840
试一试3：
32×15 284×15 4956×15

例题4 下面的乘法有规律吗？
（1）24×25 （2）21×25 （3）25×427
思路：因为25×4=100，因此一个数与25相乘，我们就看这个数里有几个4，有几个4就有几个100，余几就加几个25。
24×25=25×4×6=600
21×25 427×25
=25×(20＋1) =25×(424＋3)
=25×4×5＋25×1 =25×4×106＋25×3
=525 =10675
试一试4：
28×25 25×27 25×377

专题十一 乘除巧算
专题简析：根据2×5=10，4×25=100，8×125=1000，运用运算定律，例如乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等等，善于运用运算定律，是提高巧算能力的关键。

例1 你有好办法算出下面各题的结果吗？
（1）25×17×4 （2）8×18×125
（3）8×25×4×125 （4）125×2×8×5
思路：题中有25、125时，一般考虑25与4相乘、125与8相乘。
25×17×4 8×18×125
=25×4×17 =8×125×18
=100×17 =1000×18
=1700 =18000
8×25×4×125 125×2×8×5
=8×125×(25×4) =125×8×(2×5)
=1000×100 =1000×10
=100000 =10000
试一试1：
（1）25×23×4 （2）125×27×8

（3）5×25×2×4 （4）125×4×8×25

例2 你有好办法计算下面各题吗？
（1）25×8 （2）16×125
（3）16×25×25 （4）125×32×25
思路：有25、125没有4、8时，先转换出4、8出来。
25×8 16×125
=25×4×2 =125×8×2
=100×2 =1000×2
=200 =2000
16×25×25 125×32×25
=4×4×25×25 =125×8×4×25
=4×25×(4×25) =125×8×(4×25)
=100×100 =1000×100
=10000 =100000
试一试2：
（1）25×12 （2）48×125

（3）125×16×5 （4）125×64×25

例3 你能很快算出它们的结果吗？
（1）82×88 （2）51×59
思路：被乘数和乘数十位上的数字相同，个位数字和是10。首位数字加1再乘首位数字，得数作为积的前两位数字；将两个末位数字相乘，得数作为积的末位两个数字，如果末位数字相乘的积是一位数，要在前面被一个0。
82×88 51×59
=90×80＋2×8 =60×50＋1×9
=7200＋16 =3000＋9
=7216 =3009
试一试3：
72×78 45×45 81×89

例4 简便运算：
130÷5 4200÷25 34000÷125
思路：运用商不变的性质，即被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
130÷5=(130×2)÷(5×2)=260÷10=26
130÷5=130÷10×2=13×2=26
4200÷25=4200÷100×4=42×4=168
34000÷125=34000÷1000×8=34×8=272
试一试4：
170÷5 3600÷25 43000÷125

专题十二 应用题（一）
专题简析：分析应用题的数量关系时，可以从条件出发，逐步推出所求的问题；也可以从问题出发，找到必须的两个条件。有时，借助线段图来分析应用题的数量关系，就更容易了。

例题1 学校里有排球24只，足球的只数比排球的2倍少5只，学校有排球、足球共多少只？
思路：根据题意画出线段图

把24只排球看作1倍数；先根据倍数关系求出足球的数量，再求两种球的和。
足球：24×2－5=43（只）
总数： 24＋43=67（只）

试一试1：王奶奶家养鸡12只，养鹅的只数比鸡的只数的4倍还多7只。王奶奶家共养鸡、鹅多少只？

例题2 人民广场花圃中有180盆郁金香，比月季花盆数的3倍少15盆。月季花有多少盆？
思路：根据题意画出线段图

把月季花的盆数看作1倍数，郁金香的盆数是这样的3倍少15盆。如果郁金香再增加15盆，就正好是月季花盆数的3倍。因此用（180＋15）÷3=65（盆）就可求出月季花的盆数。
试一试2：饲养场养母鸭400只，比公鸭只数的7倍还多36只。饲养场养公鸭多少只？

例题3 小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比黄鸡多12只，白鸡的只数正好是黑鸡的2倍。白鸡、黄鸡、黑鸡各多少只？
思路：根据题意画出线段图

从线段图上我们可以看出白鸡比黑鸡多13＋12=25只，这相当于黑鸡的2－1=1倍。
黑鸡：（13＋12）÷（2－1）=25（只）
黄鸡：25＋13=38（只） 白鸡：25×2=50（只）
试一试3：有甲、乙、丙三筐苹果，甲筐比乙筐多12只苹果，丙筐比甲筐多15只苹果，丙筐苹果个数是乙筐的4倍。甲、乙、丙筐各有多少只苹果？

例题4 用一批纸装订同样大小的练习本，如果每本16页，可装订400本。如果每本20页，可以少装订多少本？
思路：先求出这批纸的总页数16×400=6400页；再求出如果每本20页可装订的本数6400÷20=3200本，最后求少装订的本数400－320=80本。
试一试4：服装厂有一些布料加工窗帘，如果把窗帘做成3米长，可做140幅。如果每幅窗帘做成2米长，则可多做多少幅？

例题5 李师傅原计划6小时加工零件480个，实际2小时加工192个。照这样的效率，可以提前几小时完成？
思路：工作效率=工作总量÷工作时间。
实际工作效率：192÷2=96（个/小时）
实际工作时间：480÷96=5（小时）
提前时间：6－5=1（小时）
试一试5：暑假中，小宁30天共要写大字600个，实际12天已写大字360个。照这样的速度，小宁可以提前几天写完同样多的字？

专题十三 应用题（二）
专题简析：解答一般应用题的关键是要掌握数量关系，了解应用题中条件和条件、条件和问题之间的联系，找出解题方法，灵活解题。

例题1 一列火车早上5时从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶120千米，下午3时到达乙地，但实际到达时间是下午5时整，晚点2小时。问火车实际每小时行驶多少千米？
思路：由“早上5时出发，计划下午3时到达”可知，火车计划行驶12＋3－5=10小时。则甲地到乙地的距离为120×10=1200千米；火车晚点2小时，实际行驶10＋2=12小时，实际每小时行1200÷12=100千米。
试一试1：一列火车早上6时从甲城开往乙城，计划每小时行驶100千米，下午6时到达乙城。但实际到达时间是下午4时，提前2小时。问火车实际每小时行驶多少千米？

例题2 小宁、小红、小佳去买铅笔，小宁买了7枝，小红买了5枝，小佳没有买。回家后，三个人平均分铅笔，小佳拿出8角钱，小佳应给宁多少钱？给小红多少钱？
思路：三人平分，每人应得（7＋5）÷3=4枝；而小佳拿出的8角钱就是4枝铅笔的价钱，每枝铅笔：8÷4=2角。小佳应给小宁2×（7－4）=6角钱，应给小红2×（5－4）=2角钱。
试一试2：张、王、李三家合用一个炉灶，他们烧的柴同样多，张家出了4担柴，李家出了5担柴，王家因无柴付18元。张、李家各得多少钱？
例题3 用一个杯子向空瓶里倒牛奶，如果倒进去2杯牛奶，连瓶共重450克；如果倒进去5杯牛奶，连瓶共重750克。一杯牛奶和一个空瓶各重多少克？
思路：根据题目的条件，我们可以写出两个关系式：
2杯牛奶重量＋1个空瓶重量=450克 ①
5杯牛奶重量＋1个空瓶重量=750克 ②
比较①、②两个式子，可得5－2=3瓶牛奶重量是750－450=300克，那么1瓶牛奶重量是300÷3=100克，然后可求出空瓶重量是450－100×2=250克。
试一试3：有一个木桶向一个水缸中倒水，如果倒进4桶水，连缸共重240千克；如果倒进7桶水，连缸共重390千克。一桶水和一个水缸各重多少千克？

例题4 一共有红、黄、绿三种颜色的珠子120粒。如果把红色珠子分放在9个盒子里，把黄色珠子分放在6个盒子里，把绿色珠子分放在5个盒子里，那么每个盒子里的珠子粒数相等。三种颜色的珠子各多少粒？
思路：把120粒珠子分放到盒子里以后，每个盒子里的珠子粒数相等，那么就可以120÷（6＋9＋5）=6粒，求出每个盒子里珠子的粒数，然后再求三种颜色的珠子各几粒。
红色珠子：6×9=54粒；
黄色珠子：6×6=36粒；
绿色珠子：6×5=30粒。
试一试4：一共有白兔、灰兔、黑兔共250只，如果把白兔分放到5个笼中，把灰兔分放到11个笼中，把黑兔分放到9个笼中，这样每个笼中的兔子的只数相等。三种兔子各多少只？

例题5 在6个筐里放着同样多的鸡蛋，如果从每个筐里拿出50个鸡蛋，则6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和。原来每个筐里有鸡蛋多少个？
思路：共取出50×6=300个鸡蛋；共减少6－2=4。则原来每个筐有鸡蛋：300÷4=75个。
试一试5：某商店有5箱皮球，如果从每箱里取出15个，那么5个箱里剩下皮球的个数正好等于原来2箱皮球的个数。原来每箱装了多少个皮球？
专题十四 植树问题
专题简析：在不封闭的线路上植树，棵数=间隔数＋1；在封闭的线路上植树，棵数=间隔数。

例题1 小朋友们植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，第一棵和第九棵相距多少米？
思路：根据“棵数=间隔数＋1”，所以间隔数=棵树－1= 9－1=8个，每个间隔是3米，所以第一棵和第九棵相距3×8=24米。
试一试1：在一条20米长的绳子上挂气球，从一端起，每隔5米挂一个气球，一共可以挂多少个气球？

例题2 在一条长40米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了22棵。已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？
思路：根据“两侧共栽22棵树”，先求一侧栽22÷2=11棵树，那么从第1棵树到第11棵树之间的间隔是11－1=10个。40米长的大路平均分成10段，每段是40÷10=4米。
试一试2：在公园一条长25米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了12把椅子，相邻两把椅子距离相等。相邻两把椅子之间相距多少米？

例题3 把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟。已知每锯开一段需要4分钟，这根钢管被锯成了多少段？
思路：段数=锯的次数＋1。
算式： 锯的次数：28÷4=7（次）
段数：7＋1=8（段）
试一试3：一根圆木锯成2米长的小段，一共花了15分钟。已知每锯下一段要3分钟，这根圆木长多少米？

例题4 在一个周长是48米的池塘周围种树，每隔6米种一棵树，一共种了多少棵？
思路：封闭线路中：棵树=间隔数
算式：48÷6=8（棵）
试一试4：在一个边长为12米的正方形四周围篱笆，每隔4米打1根木桩，一共要准备多少根木桩？

例题5 甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到5楼时，乙恰好跑到3楼。照这样计划，甲跑到17楼时，乙跑到多少层？
思路：爬楼梯时第一层楼是不用爬的。（楼层数－1）才是要走的楼梯段数。“甲跑到5楼时，乙恰好跑到3楼”，说明甲的速度是乙的（5－1）÷（3－1）=2倍。甲跑到17楼时跑了（17－1）=16段楼梯，乙跑了16÷2=8段楼梯，他跑到了第8＋1=9层楼。
试一试5：小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第四层时，小红跑到第五层，照这样计算，当小明跑到第十六层时，小红跑到了第几层？

专题十五 重叠问题
专题简析：解答重叠问题时要用到一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
把两个部分合在一起减重叠，把两个部分分开加重叠。

例题1 六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？
思路：从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，有一面红旗就数了两次，应减去重复数的部分，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。
试一试1：同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后数起，李华都排在第8个。这一排共有多少个同学？

例题2 同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？
思路：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。
试一试2：三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学生多少人？

例题3 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？
思路：把重叠在一起两块木板分开，先加上重叠的部分16厘米，即这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。
试一试3：把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？

专题十六 简单枚举
专题简析：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，必须有次序、有规律地进行枚举。

例题1 从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？
思路：为了帮助理解题意，可以画出示意图。

根据图中可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也有4种不同走法，共有4×3=12种不同走法。
试一试1：明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不同的装束？

例题2 用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？
思路：组成的信号有：红绿黄、红黄绿；绿红黄、绿黄红；黄红绿、黄绿红等6种。
可以把组成的信号看成是三个位置：第1个位置有3种选择，第2个位置有2种选择，第3个位置就只有1中选择。所以排列方法一共有：3×2×1=6（种）
试一试2：用数字1、2、3，可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？

例题3 有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？
思路1：每个小朋友都节打电话3次。但两人之间只需打1次电话，互打就重复了。因此一共打3×4÷2=6（次）
思路2：第1个小朋友打了3个电话，第2个小朋友打了2个电话，第3个小朋友打了1个电话，第4个小朋友不需要打电话。因此一共打3＋2＋1=6（次