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高中数学必修2第二章知识点总结

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高中数学必修2知识点总结

立体几何初步
特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）

柱体、锥体、台体的体积公式

（4）球体的表面积和体积公式：V= ； S=
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面含义：平面是无限延展的
2 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
符号表示为
L

A
·
α
A∈L
B∈L => L α
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内.
C
·
B
·
A
·
α
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
P
·
α
L
β
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
共面直线
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
=>a∥c
a∥b
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：

a ∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
P
a
L
2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
　　α
2、 二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
第三章 直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
当时，； 当时，； 当时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式： （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）
注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k与P1、P2的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点斜式：直线斜率k，且过点
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点式：（）直线两点，
④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式：（A，B不全为0）
注意：各式的适用范围 特殊的方程如：
平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）；
（6）两直线平行与垂直
当，时，
；

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组的一组解。
方程组无解 ； 方程组有无数解与重合
（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，
则
（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离
（10）两平行直线距离公式
已知两条平行线直线和的一般式方程为：，
：，则与的距离为
第四章 圆与方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程，圆心，半径为r；
点与圆的位置关系：
当>，点在圆外 当=，点在圆上
当<，点在圆内
（2）一般方程
当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为
当时，表示一个点；
当时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线，圆，圆心到l的距离为 ，则有；；

（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条；
当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当时，两圆内含； 当时，为同心圆。
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

第一章 空间几何体题
一、选择题
1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．

主视图 左视图 俯视图
(第1题)
A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．正八面体
2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．
A．2＋ B． C． D．
3．棱长都是的三棱锥的表面积为( )．
A． B．2 C．3 D．4
4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．
A．25π B．50π C．125π D．都不对
5．正方体的棱长和外接球的半径之比为(　　)．
A．∶1 B．∶2 C．2∶ D．∶3
6．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．
A．π B．π C．π D．π
7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．
A．130 B．140 C．150 D．160
8．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，且EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为( )．
(第8题)

A． B．5 C．6 D．
9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是( )．
A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形
B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．

(第10题)
二、填空题
11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．
12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．
13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．
14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．

(第14题)
15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．
16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．
三、解答题
17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm，求它的深度．

18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]

19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．

(第19题)

20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？
第二章 点、直线、平面之间的位置关系A组
一、选择题
1．设 a，b为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且la，m，有如下的两个命题：①若 a∥b，则l∥m；②若l⊥m，则 a⊥b．那么( )．
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题
2．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )．
(第2题)
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1角为60°
3．关于直线m，n与平面 a，b，有下列四个命题：
①m∥a，n∥b 且 a∥b，则m∥n； ②m⊥a，n⊥b 且 a⊥b，则m⊥n；
③m⊥a，n∥b 且 a∥b，则m⊥n； ④m∥a，n⊥b 且 a⊥b，则m∥n．
其中真命题的序号是( )． A．①② B．③④ C．①④ D．②③
4．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线
其中假命题的个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列命题中正确的个数是( )．
①若直线l上有无数个点不在平面 a 内，则l∥a
②若直线l与平面 a 平行，则l与平面 a 内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行
④若直线l与平面 a 平行，则l与平面 a 内的任意一条直线都没有公共点
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6． 两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面( )．
A．不存在 B．有唯一的一个 C．有无数个 D．只有两个
7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )．
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．下列说法中不正确的是( )．
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
9．给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直
其中真命题的个数是( )． A．4 B．3 C．2 D．1
10．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为( 　 )．
A．[30°，90°] B．[60°，90°] C．[30°，60°] D．[30°，120°]
二、填空题
11．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为 ．
12．P是△ABC 所在平面 a 外一点，过P作PO⊥平面 a，垂足是O，连PA，PB，PC．
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC 的 心；
(2)PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则O是△ABC 的 心；
(3)若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是△ABC 的 心；
(4)若PA＝PB＝PC，∠C＝90º，则O是AB边的 点；
J
(第13题)
(5)若PA＝PB＝PC，AB＝AC，则点O在△ABC的 线上．
13．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为 ．

14．直线l与平面 a 所成角为30°，l∩a＝A，直线m∈a，则m与l所成角的取值范围是 ．
15．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为 ．
16．直二面角 a－l－b 的棱上有一点A，在平面 a，b 内各有一条射线AB，AC与l成45°，ABa，ACb，则∠BAC＝ ．
三、解答题
17．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
(1)求证：BC⊥AD；
(第17题)
(2)若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－BC－D的正弦值；
(3)设二面角A－BC－D的大小为 q，猜想 q 为何值时，四面体A－BCD的体积最大．(不要求证明)

18． 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．
(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；
(2)求二面角E－DB－C的正切值.

(第18题)

19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，
SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝．
(1)求四棱锥S—ABCD的体积；
(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
(提示：延长 BA，CD 相交于点 E，则直线 SE 是
所求二面角的棱.)
20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在 AA1 上取一点 P，过 P 作棱柱的截面，使 AA1 垂直于这个截面.)

(第20题)

第三章 直线与方程 A组
一、选择题
1．若直线x＝1的倾斜角为 a，则 a( )．
A．等于0 B．等于p C．等于 D．不存在
2．图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )．
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
(第2题)

3．已知直线l1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l2经过两点(2，1)、(x，6)，且l1∥l2，则x＝( )．
A．2 B．－2 C．4 D．1
4．已知直线l与过点M(－，)，N(，－)的直线垂直，则直线l的倾斜角是( )．
A． B． C． D．
5．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( )．
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0
7．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )．
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝ 0 D．3x＋19y＝0
8．直线l1：x＋a2y＋6＝0和直线l2 : (a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是( )．
A．3 B．－3 C．1 D．－1
9．将直线l沿y轴的负方向平移a(a＞0)个单位，再沿x轴正方向平移a＋1个单位得直线l'，此时直线l' 与l重合，则直线l' 的斜率为( )．
A． B． C． D．
10．点(4，0)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是( )．
A．(－6，8) B．(－8，－6) C．(6，8) D．(－6，－8)
二、填空题
11．已知直线l1的倾斜角 a1＝15°，直线l1与l2的交点为A，把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到和直线l1重合时所转的最小正角为60°，则直线l2的斜率k2的值为 ．
12．若三点A(－2，3)，B(3，－2)，C(，m)共线，则m的值为 ．
13．已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标为 ．
14．求直线3x＋ay＝1的斜率 ．
15．已知点A(－2，1)，B(1，－2)，直线y＝2上一点P，使|AP|＝|BP|，则P点坐标为 ．
16．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是　　　　　　　 ．
17．若一束光线沿着直线x－2y＋5＝0射到x轴上一点，经x轴反射后其反射线所在直线的方程是 ．
三、解答题
18．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6(m∈R，m≠－1)，根据下列条件分别求m的值：
①l在x轴上的截距是－3； ②斜率为1．

19．已知△ABC的三顶点是A(－1，－1)，B(3，1)，C(1，6)．直线l平行于AB，交AC，BC分别于E，F，△CEF的面积是△CAB面积的．求直线l的方程．

20．一直线被两直线l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程．

.
21．直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．

第四章 圆与方程
一、选择题
1．若圆C的圆心坐标为(2，－3)，且圆C经过点M(5，－7)，则圆C的半径为( )．
A． B．5 C．25 D．
2．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )．
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
3．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( )．
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16 C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝19
4．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为( )．
A．0或2 B．2 C． D．无解
5．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是( )．
A．8 B．6 C．6 D．4
6．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为( )．
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
7．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是( )．
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
8．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有( )．
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
9．在空间直角坐标系中，已知点M(a，b，c)，有下列叙述：
点M关于x轴对称点的坐标是M1(a，－b，c)； 点M关于yoz平面对称的点的坐标是M2(a，－b，－c)；
点M关于y轴对称的点的坐标是M3(a，－b，c)； 点M关于原点对称的点的坐标是M4(－a，－b，－c)．
其中正确的叙述的个数是( )．
A．3 B．2 C．1 D．0
10．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是( )．
A．2 B．2 C．9 D．
二、填空题
11．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为 ．
12．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ．
13．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是 ．
14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，试确定常数a的值 ．
15．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为 ．
16．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是 ．
三、解答题
17．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．

18．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．

19．求经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．

20．求经过点(8，3)，并且和直线x＝6与x＝10都相切的圆的方程．

期末测试题
考试时间：90分钟 试卷满分：100分
一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．在直角坐标系中，已知A(－1，2)，B(3，0)，那么线段AB中点的坐标为( )．
A．(2，2) B．(1，1) C．(－2，－2) D．(－1，－1)
正视图
侧视图
俯视图
(第2题)
2．右面三视图所表示的几何体是( )．

A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥

3．如果直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为( )．
A．2 B． C．－2 D．－
4．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下面图形中是正方体展开图的是( )．
A B C D
(第5题)
6．圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的圆心坐标是( )．
A．(－2，4) B．(2，－4) C．(－1，2) D．(1，2)
7．直线y＝2x＋1关于y轴对称的直线方程为( )．
A．y＝－2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－1 D．y＝－x－1
8．已知两条相交直线a，b，a∥平面 a，则b与 a 的位置关系是( )．
A．b平面a B．b⊥平面a C．b∥平面a D．b与平面a相交，或b∥平面a
9．在空间中，a，b是不重合的直线，a，b是不重合的平面，则下列条件中可推出a∥b的是( )．
A．aa，bb，a∥b B．a∥a，bb C．a⊥a，b⊥a D．a⊥a，ba
10． 圆x2＋y2＝1和圆x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系是( )．
A．外切 B．内切 C．外离 D．内含

(第11题)
11．如图，正方体ABCD—A'B'C'D'中，直线D'A与DB所成的角可以表示为( )．
A．∠D'DB B．∠AD' C'
C．∠ADB D．∠DBC'

12． 圆(x－1)2＋(y－1)2＝2被轴截得的弦长等于( )．
A． 1 B． C． 2 D． 3
A1
B1
C1
A
B
E
C
(第13题)
13．如图，三棱柱A1B1C1—ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )．
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面A1B1BA
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
14．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 cm，高为12 cm．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计)． 如果每0.5 kg涂料可以涂1 m2，那么为这批笔筒涂色约需涂料．
A．1.23 kg B．1.76 kg C．2.46 kg D．3.52 kg
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
15．坐标原点到直线4x＋3y－12＝0的距离为 ．
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
(第17题)
16．以点A(2，0)为圆心，且经过点B(－1，1)的圆的方程是 ．
17．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱锥A1——ABCD的体积与长方体的体积之比为_______________．
18．在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________．
三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．已知直线l经过点(0，－2)，其倾斜角是60°．
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．

A
C
P
B
D
E
(第20题)
20．如图，在三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，
AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．
(1)求证：DE∥平面PAC；
(2)求证：AB⊥PB；
(3)若PC＝BC，求二面角P—AB—C的大小．

21．已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切．
(1)求圆C的方程；
(2)设直线ax－y＋5＝0与圆C相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
(3) 在(2)的条件下，是否存在实数a，使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

期末测试题
参考答案
一、选择题
1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．D 7．A 8．D 9．C
10．A 11．D 12．C 13．C 14．D
二、填空题
15．．
16．(x－2)2＋y2＝10．
17．1:3．
18．到四个面的距离之和为定值．
三、解答题
19．解：(1)因为直线l的倾斜角的大小为60°,故其斜率为tan 60°＝，又直线l经过点(0，－2)，所以其方程为x－y－2＝0．
(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是，－2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S＝··2＝． 　　　
A
C
P
B
D
E
(第20题)
20．(1)证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，
所以DE∥PA．
因为PA平面PAC，且DE平面PAC，
所以DE∥平面PAC．

(2)因为PC⊥平面ABC，且AB平面ABC，
所以AB⊥PC．又因为AB⊥BC，且PC∩BC＝C．
所以AB⊥平面PBC．
又因为PB平面PBC，
所以AB⊥PB．
(3)由(2)知，PB⊥AB，BC⊥AB，
所以，∠PBC为二面角P—AB—C的平面角．
因为PC＝BC，∠PCB＝90°，
所以∠PBC＝45°，
所以二面角P—AB—C的大小为45°．
21．解：(1)设圆心为M(m，0)(m∈Z)．
由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，所以，＝5，
即|4m－29|＝25．
因为m为整数，故m＝1．
故所求的圆的方程是(x－1)2＋y2＝25．
(2)直线ax－y＋5＝0即y＝ax＋5．代入圆的方程，消去y整理，得
(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0．
由于直线ax－y＋