高等数学二知识分享.doc
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1、高等数学二精品文档第一章 函数、极限和连续第一节 函 数一、函数的概念1. 函数的定义 (了解) 设在某个变化过程中有两个变量和,变量随变量的变化而变化。当变量在一个非空实数集合上取某一个数值时,变量依照某一对应规则总有唯一确定的数值与之对应,则称变量是变量的函数,记为,其中叫做自变量,叫做因变量或函数。 数集称为这个函数的定义域,记为或。 当取定值时所对应的的数值或,称为当时,函数的函数值。 全体函数值的集合称为函数的值域,记为或。2.分段函数 (了解)函数不能用一个统一的公式表示出来,必须要用两个或两个以上的公式来表示,这类函数称为分段函数。形如:例如:就是定义在内的分段函数。3.隐函数
2、(了解)函数与自变量的对应规则用一个方程表示的函数,称为隐函数。例如就是一个隐函数。4.反函数 (了解)二、函数的简单性质1.函数的单调性 (了解)设函数在区间内有定义,如果对于内的任意两点,若恒有,则称在区间内单调增加;若恒有,则称在区间内单调减少;若恒有,则称在区间内严格单调增加;若恒有,则称在区间内严格单调减少。2.函数的奇偶性: (了解)设函数的定义区间D关于原点对称(即若,则有)。如果对于定义区间内的任意点,恒有,则称为D内的偶函数;如果恒有,则称为内的奇函数。 偶函数: 奇函数: 3.函数的周期性 (了解) 周期函数:, 周期:T最小的正数 4.函数的有界性 (了解) ,三、基本初
3、等函数1.常数函数: y=c , (c为常数)2.幂函数: y=xn , (n为实数)3.指数函数: (a0、a1)4.对数函数: ,(a0、a1)5.三角函数: y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x四、复合函数和初等函数1.复合函数 2.初等函数 (了解) 由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数第二节 极 限一、极限的概念1.数列的极限: 定义 对于数列,如
4、果当时,数列无限地趋于一个固定的常数A,则称n趋于无穷大时,数列以常数A为极限,或称数列收敛于A,记作 或 (当时)称数列以常数A为极限;或称数列收敛于A.定理: 若的极限存在必定有界.2.函数的极限: 当时,的极限: 当时,的极限:(重点) 左极限: 右极限:函数极限存在的充要条件:二、无穷大量和无穷小量1、无穷大量: 称在该变化过程中为无穷大量。 X在某个变化过程是指: 2、无穷小量: 称在该变化过程中为无穷小量。3、无穷大量与无穷小量的关系: 定理:4、无穷小量的比较: 若,则称是比较高阶的无穷小量;若(c为常数),则称与同阶的无穷小量; 若,则称与是等价的无穷小量,记作:; 若,则称是
5、比较低阶的无穷小量。定理:若: 则: 三、夹逼性定理1、数列极限存在的判定准则: 设: (n=1、2、3) 且: 则:2、函数极限存在的判定准则: 设:对于点x0的某个邻域内的一切点 (点x0除外)有: 且: 则:四、极限的运算规则(重点) 若: 则: 推论: 五、两个重要极限(重点) 1 或 2 第三节 连 续一、函数的边续性1、函数在处连续定义1 设函数在点的某个邻域内有定义,如果当自变量的改变量趋于0时,相应的函数该变量也趋于0,即,则称函数在点处连续。定义2 设函数在点的某个邻域内有定义,如果当时,函数的极限值存在,且等于处的函数值,即则称函数在点处连续。2、左连续、右连续 定义 设函
6、数,如果,则称函数在点处左连续;设函数,如果,则称函数在点处右连续。 3、函数在处连续的必要条件: 定理:在处连续在处极限存在4、函数在处连续的充要条件: 定理: 5、函数在上连续 定义 如果函数在上每一点都连续,则称在内连续。如果在内连续,且在左端点处右连续,即;在右端点处左连续,即,则称函数在上连续。 二、函数的间断点若在处不连续,则为的间断点。间断点有三种情况: 1o在处无定义; 2o不存在;3o在处有定义,且存在,但。三、函数在处连续的性质1、连续函数的四则运算 设, 1o 2o 3o 2、复合函数的连续性(了解) 则:3、反函数的连续性(了解) 四、函数在上连续的性质1、最大值与最小
7、值定理:在上连续在上一定存在最大值与最小值。2、有界定理: 在上连续在上一定有界。3、介值定理: 在上连续在内至少存在一点 ,使得:, 其中: 推论(零点定理): 在上连续,且与异号 在内至少存在一点c,使得:。4.初等函数的连续性: 初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章 一元函数微分学第一节 导数与微分一、导数的概念1导数的定义定义 设函数在的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量(点仍在该领域内)时,相应地函数y取得增量。如果当时,函数的增量与自变量的增量之比的极限存在,则称此极限值为函数在处的导数,并称函数在处可导,记作,即。由于,则,当时也即,于是上式又可写成 2左导数与右导数左导
8、数:右导数:定理:在的左(或右)邻域上连续在其内可导,且极限存在; 则:(或:)3.函数可导的必要条件: 定理:在处可导在处连续 4. 函数可导的充要条件: 定理:存在, 二、求导法则 1、基本求导公式:(1)(为常数) (2)(为任意常数,只要掌握为整数)(3) , (4) , (5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (11) 2、导数的四则运算: 1o 2o 3o 3、复合函数的导数: ,或 注意与的区别: 表示复合函数对自变量求导; 表示复合函数对中间变量求导。4、隐函数的导数5、高阶导数: 函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。三、微分的概念 1、微分:在的某个邻域内有定
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