新北师大版七年级下数学知识点讲课稿.doc

新北师大版七年级下数学知识点

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北师大版《数学》（七年级下册）知识点总结

第一章：整式的运算
1、同底数幂乘法的运算法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：am﹒an=am+n。逆用，即：am+n = am﹒an。
2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（am）n =amn。逆用，即：amn =（am）n=（an）m。
3、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（ab）n=anbn。逆用，即：anbn =（ab）n。
4、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：am÷an=am-n（a≠0）。逆用，即：am-n = am÷an（a≠0）。
5、零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a0=1（a≠0）。
6、负指数幂：任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即：
7、单项式与单项式相乘
单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
8、单项式与多项式相乘
单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。
（注意）运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
9、多项式与多项式相乘
多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
（注意）多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。
10、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。
11、平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。
关键找准a和b。符号相同的是a。符号不同的是b

简算118×122=（120-2）（120+2）=120-2=14400-4=14396
12、完全平方公式即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
简算199=（200-1）=200-2×200×1+1=40000-400+1=39601
***掌握理解完全平方公式的变形公式：
（1）
（2）
（3）
完全平方式：我们把形如:的二次三项式称作完全平方式。
完全平方公式可以逆用，即：
13、整式的除法
单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
（注意）单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。
多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。用字母表示为：
多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号。
14、看到2n想到偶数，看到2n+1或2n-1想到奇数
15、（x-y）如果n为偶数可颠倒x与y的位置即（x-y）=（y-x）.如果n为奇数颠倒x与y的位置后，要在括号前添负号，即（x-y）=-(y-x)

第二章　平行线与相交线
1、余角 ；如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余。
2、补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补。
3、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
4、余角和补角的性质用数学语言可表示为：
（1）则(同角的余角（或补角）相等)。
（2）且则(等角的余角（或补角）相等)。
5、对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
6、对顶角的性质：对顶角相等。
7、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。
8、垂直：直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
9、垂线的性质：
性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
10、点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度
11、同一平面内，两条直线的位置关系：相交（垂直）或平行。
12、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。
同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。
内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。
12、平行线：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
注意：
（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
13、平行线公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
补充平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行。
（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。
（3）平行线的定义。
14、平行线的判定方法
（1）、同位角相等，两直线平行。
（2）、内错角相等，两直线平行。
（3）、同旁内角互补，两直线平行。
（4）、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
（5）、在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。
15、平行线的性质
（1）、两直线平行，同位角相等。
（2）、两直线平行，内错角相等。
（3）、两直线平行，同旁内角互补。
16、平行线的判定与性质具备互逆的特征，其关系如下：

17、尺规作线段和角：在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。
18、尺规作图的关键：取半径相等的弧，取弧的宽度相等。不要忘记答。（。。。就是所求的。。。）

第三章　三角形
1、三角形概念：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。
顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；
2、三角形中三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
两边之差< 第三边<两边之和
3、判断三条线段能否组成三角形：当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
4、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
5、三角形按内角的大小可分为三类：
（1）锐角三角形
（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。
注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形
6、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。
7、三角形的角平分线：
（1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。
8、三角形的中线：
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
（2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。
9、三角形的高线：
（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。
（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。
10、全等图形：两个能够重合的图形称为全等图形。
全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。
全等图形的面积或周长均相等。
11、全等三角形：能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”。用“≌”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
12、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。这是今后证明边、角相等的重要依据。
13、全等三角形的判定
（1）、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
（2）、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。
（3）、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。
（4）、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。
14、三角形具有稳定性
15、作三角形：熟练以下三种三角形的作法及依据。
（1）已知三角形的两边及其夹角，作三角形。
（2）已知三角形的两角及其夹边，作三角形。
（3）已知三角形的三边，作三角形。
16、利用三角形全等测距离：利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），
、运用全等三角形解决实际问题的步骤：
17、直角三角形全等的条件：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
注意：书写时要规范，即在三角形前面必须加上“Rt”字样。

第四章 变量之间的关系
1、表示变量间的关系的方法（1）表格（2）关系式（3）图象
2、变量、自变量、因变量
在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。
3、自变量与因变量的确定：
（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。
（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
（3）常量（不发生变化的量）
（4）在一个变化的关系式中只有一个自变量和一个因变量，且因变量需要写在等号左边。
4、图像法。用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。
5、速度图象
1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；
2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；
（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止；
（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。
6、路程图象
1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；
2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：
（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；
（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；
（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。
七、三种变量之间关系的表达方法与特点：
表达方法
特　　点
表格法
多个变量可以同时出现在同一张表格中
关系式法
准确地反映了因变量与自变量的数值关系
图象法
直观、形象地给出了因变量随自变量的变化趋势

第五章 生活中的轴对称
1、轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；
对称轴是直线而不是线段；
2、轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。

轴对称图形
轴对称
区别
是一个图形自身的对称特性
是两个图形之间的对称关系
对称轴可能不止一条
对称轴只有一条
共同点
沿某条直线对折后都能够互相重合
如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；
如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
3、角平分线的性质
（1）、角平分线所在的直线是该角的对称轴。
（2）、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（距离强调垂直）
4、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
5、等腰三角形：等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。
6、三线合一：等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一”。
7、等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。
8、等边三角形：等边三角形是指三边都相等的三角形，又称正三角形
等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。
9、等边三角形的三边都相等，三个内角都是600。

图形
定义
性质
等腰三角形

有两边相等的三角形
1、两腰相等，两底角相等。
2、顶角=1800-2×底角。底角=（1800-顶角）/2。
3、顶角的平分线、底边上的中线和高“三线合一”。
4、轴对称图形，有一条对称轴。
等边三角形（又叫正三角形）

三边都相等的三角形
1、三边都相等，三内角相等，且每个内角都等于600。
2、具有等腰三角形的所有性质。
3、轴对称图形，有三条对称轴。

10、轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分（2）那么对应线段（3）对应角都相等。
11、全等的图形不一定轴对称，但轴对称的图形一定全等。
12、频数：事物出现的次数
频率：频数/总次数

第六章　概率

必然事件（一定会发生）
确定事件 不可能事件 （一定不会发生）
1、事件
不确定事件（也称随机事件）

2、概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示，P（A）=事件A可能出现的结果数/所有可能出现的结果数。
必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1；
不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；
不确定事件发生的概率在0∽1之间，记作0<P（不确定事件）<1。
3、概率的计算：
（1）直接数数法：即直接数出所有可能出现的结果的总数n，再数出事件A可能出现的结果数m，利用概率公式直接得出事件A的概率。
（2）对于较复杂的题目，我们可采用“列表法”或画“树状图法”。
四、几何概率：事件A发生的概率等于此事件A发生的可能结果所组成的面积（用SA表示）除以所有可能结果组成图形的面积（用S全表示），所以几何概率公式可表示为P（A）=SA/S全
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