高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题讲解学习.doc

高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题

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第一章 解三角形
1、正弦定理：
在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有： ．
2、正弦定理的变形公式：
①，，；
②，，；
③；
④．
注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
2、已知两角和一边，求其余的量。
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想
D
bsinA
A
b
a
C
画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：
当无交点则B无解、
当有一个交点则B有一解、
当有两个交点则B有两个解。
法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：
当a<bsinA，则B无解
当bsinA<a≤b,则B有两解
当a=bsinA或a>b时，B有一解
注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式：
．
4、余弦定理：
在中，有， ，
．
5、余弦定理的推论：
，
，
．
(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)
6、如何判断三角形的形状：
设、、是的角、、的对边，则：
①若，则；
②若，则；
C
A
B
D
③若，则．
7、正余弦定理的综合应用：
如图所示：隔河看两目标A、B,
但不能到达，在岸边选取相距千米的C、D两点，
并测得∠ACB=75O, ∠BCD=45O, ∠ADC=30O,
∠ADB=45O(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。

附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.

练习题
一、选择题
1、在△ABC中，＝10，B=60°,C=45°,则等于 （ B ）
A． B． C． D．
2、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为
A．52 B． C．16 D．4
3、在△ABC中，若，则（ C ）
A B C D
4 、在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ D ）
A．b = 10，A = 45°，B = 70° B．a = 60，c = 48，B = 100°
C．a = 7，b = 5，A = 80° D．a = 14，b = 16，A = 45°
5、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，则A∶B∶C等于(　A　)
　　A．1∶2∶3 B．2∶3∶1
C． 1：3：2 D．3：1：2
6、若△ABC的周长等于20，面积是，A＝60°，则BC边的长是（ C ）
A． 5 B．6 C．7 D．8
二、填空题（每题5分,共25分）
7、在中，已知，则___________
8、在△ABC中，A=60°, b=1, 面积为，则=
9、在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线，那么BC=
10、在中，已知角、、所对的边分别是、、，边，且，又的面积为，则________________
三．解答题（2小题，共40分）
13、在ABC中，, sinB=.（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积.

知识点巩固练习（一）
一、选择题
1．在△ABC中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．若为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，角均为锐角，且
则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，
则底边长为（ ）A． B． C． D．
5．在△中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．在△ABC中，，则的最大值是_______________。
2．在△ABC中，若_________。
3．在△ABC中，若_________。
4．在△ABC中，若∶∶∶∶，则_____________。
三、解答题
1． 在△ABC中，若则△ABC的形状是什么？

2．在△ABC中，求证：

3．在锐角△ABC中，求证：。

知识点巩固练习（二）
一、选择题
1．在△ABC中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，若角为钝角，则的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
3．在△ABC中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．不能确定 D．等腰三角形
5．在△ABC中，若则 ( )
A． B． C． D．
6．在△ABC中，若，则最大角的余弦是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．若在△ABC中，则=_______。
2．若是锐角三角形的两内角，则_____（填>或<）。
3．在△ABC中，若_________。
4．在△ABC中，若则△ABC的形状是_________。
5．在△ABC中，若_________。
三、解答题
1． 在△ABC中，，求。

2． 在锐角△ABC中，求证：。

3． 在△ABC中，求证：。

4． 在△ABC中，若，则求证：。

5． 在△ABC中，若，则求证：

知识点巩固练习（三）
一、选择题
1．为△ABC的内角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，若则三边的比等于（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，若，则其面积等于（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，，，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．不能确定 D．等腰三角形
二、填空题
1．在△ABC中，若则一定大于，对吗？填_________（对或错）
2．在△ABC中，若则△ABC的形状是______________。
3．在△ABC中，∠C是钝角，设
则的大小关系是___________________________。
4．在△ABC中，若，则______。
5．在△ABC中，若则B的取值范围是_______________。
6．在△ABC中，若，则的值是_________。
三、解答题
1．在△ABC中，若，请判断三角形的形状。

2． 如果△ABC内接于半径为的圆，且
求△ABC的面积的最大值。

3． 已知△ABC的三边且，求

4．在△ABC中，若，且，边上的高为，求角的大小与边的长

答案
知识点巩固练习（一）
一、选择题
1.C
2.A
3.C 都是锐角，则
4.D 作出图形
5.D 或
6.B 设中间角为，则为所求
二、填空题
1.
2.
3.
4. ∶∶∶∶∶∶，
令
三、解答题
1. 解：

或，得或
所以△ABC是直角三角形。
2. 证明：将，代入右边
得右边
左边，
∴
3．证明：∵△ABC是锐角三角形，∴即
∴，即；同理；
∴

知识点巩固练习（二）
一、选择题
1.C
2.A ，且都是锐角，
3.D
4.D

，等腰三角形
5.B

6.C ，为最大角，
二、填空题
1.

2. ，即
，
3.

4. 锐角三角形 为最大角，为锐角
5.
三、解答题
1.解：
，而
所以
2. 证明：∵△ABC是锐角三角形，∴即
∴，即；同理；
∴
∴
3. 证明：∵

∴
4．证明：要证，只要证，
即
而∵∴

∴原式成立。
5．证明：∵
∴
即
∴
即，∴
知识点巩固练习（三）
一、选择题
1.C
而
2.B

3.D
4.D 则，
，
5.C
6.B

二、填空题
1. 对 则
2. 直角三角形

3.

4．

则

5.

6．

三、解答题
1. 解：

∴等腰或直角三角形
2. 解：

另法：

此时取得等号
3. 解：

4. 解：

，联合
得，即
当时，
当时，
∴当时，
当时，。

解三角形单元测试题
一、 选择题：
1、在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于（ ）
A． 30° B．45° C．60° D．120°
2、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于 （ ）
A． B． C． D．
3、在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则A等于（ ）
A．30° B．60° C．30°或120° D． 30°或150°
4、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（ ）
A．无解 B．一解 C． 二解 D．不能确定
5、在△ABC中，已知，则角A为（ ）
A． B． C． D． 或
6、在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
8、在△ABC中，已知,那么△ABC一定是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
9、△ABC中，已知 60°，如果△ABC 两组解，则x的取值范围( )
A． B． C． D．
10、在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：① ② ③ ④ 其中成立的个数是 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11、在△ABC中，,,∠A＝30°，则△ABC面积为 （ ）
A． B． C．或 D． 或
12、已知△ABC的面积为，且，则∠A等于 （ ）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
13、已知△ABC的三边长，则△ABC的面积为 （ ）
A
C
B

30米
20米
A． B． C． D．
14、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ）
A． 450a元 B．225a元 C． 150a元 D． 300a元
15、甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）
A． 分钟 B．分钟 C．21.5分钟 D．2.15分钟
16、飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为（ ）
A． 5000米 B．5000 米 C．4000米 D． 米
17、在△ABC中，°，°，∠C＝70°，那么△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
18、若△ABC的周长等于20，面积是，A＝60°，则BC边的长是（ ）
A． 5 B．6 C．7 D．8
19、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20、在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．有一内角为30°的直角三角形 B．等腰直角三角形
C．有一内角为30°的等腰三角形 D．等边三角形

二、填空题
21、在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则
22、在△ABC中，150°，则b＝
23、在△ABC中，A＝60°，B＝45°，，则a＝ ；b＝
24、已知△ABC中，121°，则此三角形解的情况是
25、已知三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 .
26、在△ABC中，，则△ABC的最大内角的度数是
三、解答题
27、在△ABC中，已知，A＝45°，在BC边的长分别为20，，5的情况下，求相应角C。

28、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。求：(1)角C的度数； (2)AB的长度。

29、在△ABC中，证明：。

30、在△ABC中，，cosC是方程的一个根，求△ABC周长的最小值。

解三角形单元测试答案
一、选择题
1-5. CBCBC 6-10. DBBCC 11-15. BDBDA 16-20. ACCBB
二、填空题
21、 22、7 23、,
24、无解 25、1 26、120°
三、解答题
27、解：由正弦定理得
（1）当BC＝20时，sinC＝； °
（2）当BC＝时， sinC＝；
有两解 或120°
（3）当BC＝5时，sinC＝2>1； 不存在
28、解：（1） C＝120°
（2）由题设：

29、证明：
由正弦定理得：

30、解：
又是方程的一个根
由余弦定理可得：
则：
当时，c最小且 此时
△ABC周长的最小值为
31、解：（1）由
可得 即C＝90°
△ABC是以C为直角顶点得直角三角形
（2）内切圆半径

内切圆半径的取值范围是

1．常见三角不等式
（1）若，则.
(2) 若，则.
(3) .
2.同角三角函数的基本关系式
，=，.
3.正弦、余弦的诱导公式
(n为偶数)

(n为奇数)

(n为偶数)

(n为奇数)

4.和角与差角公式
;
;
.
(平方正弦公式);
.
=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).
45.二倍角公式
.
.
.
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