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高等数学上学期期末考试试卷及答案四份

精品文档
高等数学试卷（B卷）答案及评分标准
2004-2005年度第一学期

科目: 高等数学I 班级: 姓名: 学号: 成绩:

一、填空题（）
1、的定义域是_
2、
3、

4、如果函数，在处有极值，则
5、

二、单项选择题（）
1、当时，下列变量中与等价的无穷小量是（ ）
A . B . C . D .
2、。
A． B．
C． D．
3、设在上函数满足条件则曲线在该区间上（ ）
A. 上升且凹的 B. 上升且凸的 C. 下降且凹的 D. 下降且凸的
4、设函数具有连续的导数，则以下等式中错误的是（ ）
A. 　　 　B.
C. 　　 D.
5、反常积分（ ）
A. 发散 B. 收敛于1 C. 收敛于 D. 收敛于
三、算题（）
1、求极限

2、求

3、求曲线在当处的切线方程和法线方程

4、已知函数，计算
5、求积分

6、求积分

7、计算曲线与轴围成的图形面积，并求该图形绕y轴所产生的旋转体体积。

8、计算星型线的全长.

四、求函数求的单调区间、极值点、凹凸区间、拐点（）

五、设, 证明：方程在[0,1]上有且仅有一根（）

六、设f (x)连续, 计算 （）

七、 , 计算：（）

答案：
一、 填空题
1、（2，3）∪（3，+∞） 2、2 3、
4、2 5、
二、
1、 D 2、A 3、B 4、A 5、C

三、 计算题
1、解：==
2’ 4’
2、解：===
3、解: 当曲线过点, 由于, 4’
所以, 当处的切线方程和法线方程分别为: 1’
1’
4、 解:
解: 令, 则: 1’
解: 令, 则: 1’
5、 令,
=
6、解: =
7、解:面积 2’
体积微分元 1’
所求体积 3’
8、解: 弧微分 2’
弧长 4’
四、解: 1’

由上可知:函数的单调增区间为: (-∞,-2),(2,+∞); 函数的单调减区间为:(-2,2) 2’
函数的极大值点:(-2,26),极小值点(2,-6) 1’
凹区间为:(0,+∞),凸区间为:(-∞,0) 1’
拐点为:(0,10)
五、证: 构造函数, 函数在[0,1]上连续,在区间内可导 1’
,
由连续函数的零点定理知,存在ξ在(0,1)内使 2’
又因为所以函数在(0,1)的零点唯一. 2’
原命题得证.
六、解: 令:, 2’
=
七、解:当 2’
当

《高等数学IV1》课程考试试卷
（A卷）
学院 专业 班级
学号 姓名

题
号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
阅卷
教师
得
分

………………………………………………………………………………………………………………

得
分

一、选择题（每小题3 分，共12分）
1、设使存在的最高阶数为（ 　　）
(A) (B) (C) (D)
2、函数有极大值点（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、已知函数的一个原函数是，则（ ）
(A) (B)
(C) (D)
4、是函数的 （ ）
（A）连续点 （B）可去间断点 （C）第一类不可去间断点 （D）第二类间断点

得
分

二、填空题（每小题3 分，共12分）
1、函数的图形的拐点是 。
2、曲线的渐进线是 。
3、设，则 。
4、 。
得
分

三、求下列极限（每小题6分，共12分）。
1、。

2、。

得
分

四、计算下列微分或导数（每小题6分，共18分）。
1、，求。

2、。

3、设 ，求。

得
分

五、计算下列积分（每小题6分，共18分）。
1、。

2、求。

3、。

得
分

六、若，证明不等式（8分）。

得
分

七、
求： (1) D的面积S； (2) D绕轴旋转一周所得的旋转体体积。（10分）

得
分

八、求微分方程的通解（10分）。

《高等数学IV1》统考试题（A）答案及评分标准
一、 选择（每题3分，共12分）
１、B　　２、D　　　３、A　　４、C　
二、 填空（每题3分，共12分）
１、　２、　３、 　4、
三、计算下列极限（每小题6分，共12分）。
1、解：原式= （2分）
（4分）
（6分）
2、 解：原式= （3分）
（3分）
四、 求下列导数和微分（每小题6分，共18分）。
1、解： （3分）
（6分）
２、解： （2分）
（4分）
= （6分）

３、解：解： （3分）
（6分）

五、计算下列积分（每小题6分，共18分）。
1、解： （3分）
（6分）
2、解：

（6分）
3、解：令, (1分)
原式= （6分）
六、解：即证 ， （1分）
令 ， （2分）
, （4分）
当时, , 且, . （6分）
且 （8分）
七、解：解: (1分)
(1) D=； (5分)
(2) 。 (10分)

八、解：首先求对应的齐次方程的通解：
（1分）

（4分）
用常数变易法，把变成，即令
，则有 （5分）
（6分）
代入到原方程中得
，两边积分得 （8分）
，故原方程的通解为 （9分）
（10分）

高等数学A参考答案及评分标准
考试科目：高等数学A 上 考试班级：
考试方式： 闭卷 命题教师：
一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共4小题，每题4分，共16分）
1．已知当时，与是等价无穷小，则常数 。

2．，则 。

3．微分方程的通解为 。

4． 。
二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共4小题，每题4分，共16分）
1．如果处处可导，则（ ）。
； ； ； 。
2．函数在处连续，且取得极大值，则在处必有（ ）。
；
； 。
3．若为的一个原函数，则（ ）。
； ； ； 。
4．微分方程的通解是( )。
； ；
； ；
三、解答下列各题（本大题共2小题，共14分）
1．（本小题7分）
求极限

2．（本小题7分）
设，求。

四、解答下列各题（本大题共4小题，共28分）
1．（本小题7分）
，求的极值及在上的最值。

2．（本小题7分）
。

3．（本小题7分）
，计算。

7分
4．（本小题7分）
求积分。

五、解答下列各题（本大题共3小题，共26分）
1．（本小题9分）
求由曲线，轴及该曲线过原点的切线所围成平面图形的面积。

2．（本小题9分）
求微分方程的通解。

3．（本小题8分）设可导，且，，证明。

答案：

一、 填空题
1、 2、 3、 4
二、 选择题
1、 B 2、C 3、D 4、A

三、 计算题
1、解：= 3分

2、解：取对数 2分
两边对求导： 5分

四、1、解： 2分
则，令，解得
，，所以时，的极大值是；
，所以时，的极小值是； 5分
，，比较得在上的最大值是，最小值是。
2、解：令，
5分

3、解： 3分

4、解： 4分

五、1、解：设切点为，则切线方程
又切线过原点，将代入得切点，则切线 5分

2、解：齐方程的特征方程，特征根
齐方程的通解是 4分
设非齐次方程的一个特解为，代入原方程
解得，故 8分
非齐次方程的通解；
3、证明：令，则
3分

8分
课程名称： 高等数学A (上) 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷
注意事项：1、本试卷满分100分。
2、考试时间 120分钟。

题号
一
二
三
四
五
六
七
八
得分
得分

评阅人

得分

一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共18分）
1. D ；2 C；3 B；4 B； 5 B；6 A。
得分

二、填空题（每小题3分，共18分）

1. ；2 2 ；3
4 ；5 ；6
得分

三、计算下列各题（每小题5分，共30分）
1.
解： （2分）
（4分）
（5分）
2. 已知可导，，求
解 （4分）
（5分）
3. 由方程确定，求.
解：两边同时求导得：
（2分）
对上式两边同时求导得：
即：
所以： （5分）
4
解： （3分）
（5分）
5
解：设 （2分）
（4分）
（5分）

6
解： （2分）
（4分）
（5分）
得分

四．设选择合适的，使得处处可导。（本题6分）
解： 因为在处连续，所以有

即 （3分）
又因为在处可导，所以有

即 （6分）
得分

五. 设，常数，证明 （本题6分）
解：设 （2分）

所以单调减少，而，当时， （5分）
即 （6分）
六 设函数，讨论函数的单调区间和函数图形的凹凸性
得分

（本题6分）

解： （2分）
在，所以函数在单调减少 （3分）
在，所以函数在单调增加 （4分）
，所以该函数的图形是凹的 （6分）

得分

七 解微分方程（本题6分）
解 微分方程变形为
（1分）
令 ，则 （2分）
将上式分离变量两边积分得
（4分）
则
即 （6分）

八 设曲线上某点处作一切线，使之与曲线以及轴围成的面积为，试求
（1）过切点的切线方程
（2）有上述所围成的平面图形绕轴一周所得旋转体的体积（本题10分）
得分

解：（1）设的坐标为，那么过的切线方程
可表示为 （2分）
切线与轴的交点，所以所围成的面积为
（5分）
所以，即 （6分）
（2）平面图形绕轴一周所得旋转体的体积为
（10分）

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