新人教版小学数学1-6年级知识点【全】培训讲学.doc

新人教版小学数学1-6年级知识点【全】

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小学数学知识整理
第一部分：数与代数
一、数的认识
（一）整数
【1】我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3，……叫做自然数。一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。自然数的单位是1。自然数和0都是整数。连续自然数相差1。
【2】像…，-3，-2，-1，0，1，2，3…这样的数统称整数。整数的个数是无限的。
【3】一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10，这样的计数法叫做十进制计数法。整数和小数都是按照十进制计数法写出的数。计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。一个整数含有数位的个数叫做位数。最小的一位数是1。
【4】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。（例如）10250200050读作：一百零二亿五千零二十万零五十。
【5】整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。（例如）七十亿零三百万四千写作：7003004000。
【6】准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。（例如）把 1254300000 改写成以“万”做单位的数是 125430 万；改写成以“亿”做单位的数 12.543 亿。
【7】近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。（例如）1302490015 省略“亿”后面的尾数约是 13 亿。
【8】四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。（例如）省略 345900 “万”后面的尾数约是 35 万；省略 4725097420 “亿”后面的尾数约是 47 亿。
【9】整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。（例如）6÷3=2（或2×3=6），那么我们就说6能被3整除（或6能被2整除），或3能整除6（或2能整除6）。
【10】如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或a的约数）。倍数和约数是相互依存的。（例如）6÷3=2（或2×3=6），那么6就是3和2的倍数，2和3就是6的因数（或a的约数）。
【11】一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。一个数最小的倍数等于它最大的约数。（例如）9的最小的因数是1，最大的因数是9，最小的倍数是9。
【12】个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。（例如）2758的个位是8，所以2758能被2整除。个位上是0或者5的数，都能被5整除。（例如）975的个位是5，所以975能被5整除。一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。（例如）2748的各位和2＋7＋4＋8=21，因为21能被3整除，所以2748就能被3整除。
【13】一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。（例如）2745的各位和2＋7＋4＋5=18，因为18能被9整除，所以2745就能被9整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。（例如）10316的末两位是16，因为16能被4整除，所以10316就能被4整除；1350的末两位是50，因为50能被25整除，所以1350就能被25整除。一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。（例如）10816的末三位是816，因为816能被8整除，所以10816就能被8整除；7250的末三位是250，因为250能被125整除，所以7250就能被125整除。
【14】能被2整除的数叫做偶数。0也是偶数。最小的偶数是0。连续偶数相差2。不能被2整除的数叫做奇数。最小的奇数是1。连续奇数相差2 。
【15】一个数，如果只有1和它本身两个因数，叫做质数（或素数）。（例如）因为37只有1和37这两个因数，所以37是质数。最小的质数是2。100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。既是质数又是偶数的数只有2。 一个数，如果除了1和它本身，还有别的因数，叫做合数。（例如）因为91除了有因数1和91外，还有因数7、13，所以91是合数。最小的合数是4。1既不是质数也不是合数。
【16】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。（例如）把48分解质因数：48=2×2×2×2×3。把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。
【17】几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
【18】公因数只有1的两个数是互质数。一定是互质数的情况有：①1和任何自然数；②相邻的两个自然数；③两个不同的质数。如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
【19】自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数；自然数按约数的个数分为质数、合数和1。
【20】如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1，最小公倍数是它们的乘积；（例如）3和5因为是互质数，所以3和5的最大公因数是1，最小公倍数是3×5=15。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数，较小数就是这两个数的最大公因数。（例如）24和6因为24是6的倍数，所以24和6的最大公因数是6，最小公倍数是24。
【21】求几个数的最大公因数的方法是：先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公因数。
【22】求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公因数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。

（二）小数
【1】把整数“1”平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……
【2】一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数是整数部分，从右向左依次分别是个位、十位、百位、千位……；小数点右边的数是小数部分，从左向右依次分别是十分位、百分位、千分位……
【3】小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
【4】小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
【5】在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高位是十分位；整数部分的最低位是个位。
【6】数位顺序表：

整数部分
小
数
点
小数部分
…
亿级
万级
个级
数位
…
千亿位
百亿位
十亿位
亿
位
千万位
百万位
十万位
万
位
千
位
百
位
十
位
个
位
十分位
百分位
千分位
万分位
…
计数单位
…
千亿
百亿
十亿
亿
千万
百万
十万
万
千
百
十
一（个）
十分之一
百分之一
千分之一
万分之一
…
【7】小数的分类（有限小数和无限小数）
（1）小数的小数部分的位数是有限的，就叫做有限小数（纯小数和带小数）。
①、整数部分是零的小数，叫做纯小数。
②、整数部分不是零的小数，叫做带小数。
（2）小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数（无限循环小数和无限不循环小数）。
①、一个小数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做（无限）循环小数（纯循环小数和混循环小数）。
Ⅰ：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。
Ⅱ：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。
②、一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。
【8】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。
【9】小数的性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。
10、小数点的移动引起小数的大小变化：小数点向右移动一位、二位、三位……原来的数分别扩大10倍、100倍、1000倍……；小数点向左移动一位、二位、三位……原来的数分别缩小10倍、100倍、1000倍……
（三）分数
【1】把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
【2】在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
【3】分数的读法：读分数时，先读分母，再读“分之”，然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。
【4】分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子。
【5】两个整数相除，它们的商可以用分数表示。即：a÷b＝ (b≠0)
【6】分数的分类（真分数和假分数）
（1）分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
（2）分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。
①、分子是分母倍数的假分数，可以化成整数。
②、分子不是分母倍数的假分数，可以化成带分数（假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数）。
【7】把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
【8】把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
【9】分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数。
【10】表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数（也叫做百分率或百分比）。百分数通常用"%"来表示。
【11】百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。
【12】百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
【13】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（零除外），分数大小不变。
【14】商店降价出售商品，叫做打折扣出售，统称“打折”。几折表示十分之几或者百分之几十。打几折表示按原价的百分之几十出售。如：八五折就是原价的85%。
【15】农业收入，经常用“成数”来表示，几成就表示十分之几或者百分之几十。
（四）正数和负数
【1】像-16，-，-0.4,…这样的数叫做负数。负数有负整数、负小数、负分数……
【2】像16，，0.4，…这样的数叫做正数。正数前面可以加上“＋”号，也可以省去“＋”号。正数有正整数、正小数、正分数……
【3】０既不是正数，也不是负数。
（五）数的互化
【1】小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。
【2】分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，除不尽的，一般按“四舍五入”法，保留三位小数。一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
【3】小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
【4】百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
【5】分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。
【6】百分数化成分数：把百分数写成分数形式。能约分的要约成最简分数。

（六）数的大小比较
【1】比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。
【2】比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……
【3】比较分数的大小：分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再按同分母（或同分子）分数比较大小的方法比较大小。
【5】整数、小数、分数、百分数的混合比较：一般先统一化成小数，再比较大小。
5、负数都比０小，而正数都比０大。负数都比正数小。
二、数的运算
（一）四则运算的意义
【1】加法（一级运算）：把两个数合并成一个数的运算。
关系式：加数＋加数＝和         一个加数＝和－另一个加数
【2】减法（一级运算）：己知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。
关系式: 被减数－减数＝差      减数＝被减数－差       被减数＝差＋减数
【3】乘法（二级运算）：求几个相同加数的和的简便运算。
关系式: 因数×因数＝积        一个因数＝积÷另一个因数
【4】除法（二级运算）：已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
关系式: 被除数÷除数＝商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数
【5】加法和减法互为逆运算；乘法和除法互为逆运算。

（二）运算定律
【1】加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 字母表示：a＋b=b＋a
【2】加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。字母表示：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)
【3】乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。字母表示：a×b=b×a
【4】乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。字母表示：(a×b)×c=a×(b×c)
【5】乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。字母表示：(a＋b)×c=a×c＋b×c
【6】减法的性质：从一个数里连续减去几个数，等于从这个数里减去这几个减数的和。字母表示：a－b－c=a－（b＋c）
【7】除法的性质：
（1）一个数连续除以几个数，等于这个数除以这几个除数的积。
用字母表示为：a÷b÷c=a÷（b×c）
（2）被除数和除数同时乘以（或除以）相同的数（0除外），商不变。
用字母表示为：a÷b=（a×c）÷（b×c）或a÷b=（a÷c）÷（b÷c）
【8】加法的性质：一个加数加上（或减去）一个数，另一个加数减去（或加上）相同的数，和不变。字母表示：a＋b＝（a＋c）＋（b－c）
【9】乘法的性质：一个因数乘以（或除以）不为0的数，另一个因数除以（或乘以）相同的数，积不变。字母表示：a×b＝（a×c）×（b÷c）（c≠0）
【10】有趣的括号：括号前面是减号（或除号），去掉括号，括号里面的数所带符号变为逆运算符号；括号前面是加号（或乘号），去掉括号，括号里面的数所带符号不变。
字母表示为：a－(b－c)=a－b＋c或a÷(b÷c)=a÷b×c
a＋(b－c)=a＋b－c或a×(b÷c)=a×b÷c
（三）计算法则
【1】整数加、减法：把相同数位对齐，再把相同计数单位上的数相加或相减，哪一位满十就向前一位进一。
【2】小数加、减法：把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐）， 再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点。（得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。）
【3】整数乘法：从右起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对个因数的哪一位对齐；然后把几次乘得的数加起来。（整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0。）
【4】小数乘法：按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位，点上小数点。（得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉）。
【5】整数除法：从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商；每次除后余下的数必须比除数小。
【6】小数除法：
（1）除数是整数的小数除法法则：按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补零，再继续除。
（2）除数是小数的小数除法法则：先看除数中有几位小数，就把被除数的小数点向右移动几位，数位不够的用零补足；然后按照除数是整数的小数除法来除。
【7】分数加、减法：同分母的分数相加、减，只把分子相加（或相减），分母不变。异分母的分数相加、减，先通分，然后按同分母分数加、减方法计算。计算结果能约分的要约分。异分母分数不能直接相加减，是因为它们的分数单位不同。
【8】分数乘法：
（1）分数乘整数（表示求几个几分之几是多少？）：分子与整数能约分的先约分，然后用分子与整数的乘积做分子，分母不变。
（2）一个数乘分数（表示求一个数的几分之几是多少？）：
①、整数乘分数：整数与分子能约分的先约分，然后用分子与整数的乘积做分子，分母不变。
②、分数乘分数：能约分的先约分，然后用分数分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。
③、小数乘分数：把小数化成分数（或者把分数化成小数，也可以让小数与分母同时除以不为0的数进行化简），然后再乘。
【9】分数除法：甲数乘以乙数（乙数≠0）等于甲数乘以乙数的倒数。
【10】乘积是1的两个数互为倒数。分数的倒数：把原分数的分子、分母调换位置；整数的倒数：用整数做分母，分子是1的分数；小数的倒数：先把小数化成分数，然后按求分数倒数的方法找。百分数的倒数：先把百分数改写成分数形式，然后按求分数倒数的方法找。

（四）混合运算
【1】在四则运算中，加、减法叫做第一级运算，乘、除法叫做第二级运算。
【2】在一个没有括号的算式里，如果含有同一级运算，要从左往右依次计算（有时为了计算简便，可以改变运算顺序，但必须遵循“数字带着运算符号移”的原则，例如：172＋39－72=172－72＋39=100＋39=139）；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算。
【3】在一个有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

（五）特殊数字的计算
【1】“0”的计算：0＋A=A，A－0=A，0×A=0，0÷A=0
【2】“1”的计算：1×A=A，A÷1=A
【3】同数（A≠0）的计算：A×A=，A÷A=1，A＋A=2A，A－A=0

（六）计算中的大小变化
【1】加法（或乘法）中：一个加数（或因数）不变，另一个加数（或因数）越大，和（或积）越大；另一个加数（或因数）越小，和（或积）越小。
【2】减法（或除法）中：减数（或除数）不变，被减数（或被除数）越大，差（或商）越大；被减数（或被除数）越小，差（或商）越小。被减数（或被除数）不变，减数（或除数）越大，差（或商）越小；减数（或除数）越小，差（或商）越大。
【3】乘法中：一个因数＞1，积＞另一个因数；一个因数＜1，积＜另一个因数
【4】除法中：除数＞1，商＜被除数；除数＜1，商＞被除数

三、式与方程
【1】含有未知数的等式叫做方程。方程一定是等式，但等式不一定是方程。
【2】用字母表示数可以简明地表达数量关系，运算定律和计算公式。
（1）数与字母相乘，可以省略乘号，数字写在字母的前面，
（例如）a×3可以简写成：a·3或3a；
（2）字母与字母相乘，可以省略乘号，也可以写成乘号的简写法，
（例如）不同字母相乘：a×b可以简写成：a·b或ab；
相同字母相乘：a×a可以简写成：a·a或a（读作：“a的平方”或“a的二次方”）；
（3）注意：数与数相乘不能省略乘号。
【3】使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
【4】求方程的解的过程，叫做解方程。解方程不一定是解比例，但解比例是解方程。
【5】当n表示任何一个自然数时：2n表示偶数；2n＋1表示奇数。
【6】等式的性质：等式两边同时乘以（或除以、或加上、或减去）一个相同的数（0除外），等式仍然成立。
【7】比较2a和a
（1）2a表示两个a相加（也就是2乘a），即表示：a＋a
（2）a表示两个ａ相乘，即表示：ａ×ａ
（3）比较大小
①、当ａ＜２，2a＞a；如ａ＝１时，2a＝2×１＝２，a=1×1=1，2＞1。
②、当ａ=２，2a= a；如ａ＝2时，2a＝2×2＝4，a=2×2=4，4=4。
③当ａ＞２，2a＜a；如ａ＝3时，2a＝２×3＝6，a=3×3=9，6＜9。
【8】解方程及检验方程（举例）
（1）2x＋4=16 （2）12－3x=9
2x＋4－4=16－4 3x=12－9（依据“减数=被减数－差”）
2x=12 3x=3
2x÷2=12÷2 x=3÷3
X=6 x=1
（3） 4x－x=9 （4）18÷2x=3
（4－1）x=9 2x=18÷3（依据“除数=被除数÷商”）
3x=9 2x=6
X=9÷3 x=6÷2
X=3 x=3
检验：把x=3代入原方程， 检验： 把x=3代入原方程，
左边=4x－x =4×3－3=12－3=9， 左边=18÷2x =18÷（2×3）=18÷6=3，
右边=9， 右边=3
左边=右边， 左边=右边，
所以x=3是方程4x－x=9的解。 所以x=3是方程18÷2x=3的解。

四、常见的量
（一）名数及改写
【1】把计量得到的数和单位名称合起来叫做名数。
【2】只带有一个单位名称的叫做单名数。
【3】带有两个或两个以上单位名称的叫做复名数。
【4】名数的改写方法：高级单位的名数改写成低级单位的名数，乘进率；低级单位的名数改写成高级单位的名数，除以进率。（例如）
（1）12千米=（12000）米。想：要把高级单位改写成低级单位，即：12×1000=12000米。
（2）40分=（）时。想：要把低级单位改写成高级单位，即：40÷60=时。
（3）50吨70千克=（50070）千克。想：先把50吨改写成50×1000=50000千克，再用70千＋50000千克=50070千克，即：50×1000＋70=50070千克。
（4）50吨70千克=（50.07）吨。想：先把70千克改写成70÷1000=0.07吨，再用0.07吨＋50吨=50.07吨，即：50＋70÷1000=50.07吨
（5）6270=（6）(270) 。想：要把低级单位改写成高级单位，即：6270÷1000=6余270。
（6）8.03=（8）（30）。想：取8.03的整数部分的8表示为的量，剩余的0.03，按照把高级单位改写成低级单位的方法改写成，即：0.03×1000=30。
（7）5时=（5）时（40）分。想：取5时的整数部分的5表示为“时”量，剩余的时，按照把高级单位改写成低级单位的方法改写成“分”，即：×60=40分。

（二）常用单位名称及进率
【1】长度单位
（1）单位名称及对应字母：千米（公里）---km、米---m、分米---dm、厘米---cm、毫米---mm。（除过千米和米）其它相邻长度单位进率都是10。
（2）单位大小（实物参照）：1米（小方桌边长）；1分米（粉笔盒棱长）；1厘米（手指宽度）；1毫米（缝衣针孔宽度）。
（3）常用进率：
1公里＝1千米    1千米＝1000米    1米＝10分米    1分米＝10厘米   
1厘米＝10毫米 1米＝100厘米 1千米＝100000厘米
【2】面积单位
（1）单位名称及对应字母：平方千米---、公顷、（公亩）、平方米---、平方分米---、平方厘米---、平方毫米---。相邻面积单位进率都是100。
（2）单位大小（实物参照）：边长1000米的正方形面积是1平方千米；边长100米的正方形面积是1公顷；边长10米的正方形面积是1（公亩）；边长1米的正方形面积是1平方米（小方桌面）；边长1分米的正方形面积是1平方分米（粉笔盒一个面）；边长1厘米的正方形面积是1平方厘米（手指甲盖）；边长1毫米的正方形面积是1平方毫米（缝衣针孔）。
（3）常用进率：
1平方千米=100公顷 1公顷=100（公亩） 1（公亩）=100平方米
1平方米＝100平方分米    1平方分米＝100平方厘米    1平方厘米＝100平方毫米
1公顷=10000平方米 1平方米＝10000平方厘米 1平方千米=1000000平方米
【3】体积（或容积）单位
（1）单位名称及对应字母：立方米---、立方分米（升）---、立方厘米（毫升）---、立方毫米---。相邻体积（或容积）单位进率都是1000。
（2）单位大小（实物参照）：棱长1米的正方体体积是1立方米（小方桌所占空间）；棱长1分米的正方体体积是1立方分米（粉笔盒所占空间）；棱长1厘米的正方体体积是1立方厘米（手指尖所占空间）；棱长1毫米的正方体体积是1立方毫米（缝衣针孔所占空间）。
（3）常用进率：
1立方米＝1000立方分米     1立方分米＝1000立方厘米    1立方厘米＝1000立方毫米
1升＝1000毫升 1升＝1立方分米 1毫升＝1立方厘米
【4】重量单位
（1）单位名称及对应字母：吨---t、千克（公斤）---kg、克---g。相邻重量单位进率都是1000。
（2）常用进率：1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤
【5】人民币单位
（1）单位名称：元、角、分。相邻人民币单位进率都是10。
（2）常用进率：1元=10角 1角=10分 1元=100分
【6】时间单位
（1）单位名称：世纪、年、季度、月、旬、日、时、分、秒，
（2）常用进率：
①、1世纪=100年 1年=12月 1年（平年）=365天 1年（闰年）=366天
②、 一个月的天数：
大月有31天（包括：1、3、5、7、8、10、12月）
小月有30天（包括：4、6、9、11月）
平年2月有28天 闰年2月有29天
③、1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒
④、一年有4个季度，每个季度3个月
第一季度：1、2、3月；
第二季度：4、5、6月；
第三季度：7、8、9月；
第一季度：10、11、12月。
⑤、一年大约有52个星期；一星期有7天。
⑥、一个月有三旬（上旬：1～10日；中旬：11～20日；下旬：21～月底）。
⑦、判断某年是闰年或平年：
▲公历年份是4的倍数的一般是闰年；否则都是平年。
（例如）1980÷4=495，1980是4的倍数，所以1980年是闰年；1982÷4=495余2，1982不是4的倍数，所以1982年是平年；
▲公历年份是整百数的，必须是400的倍数才是闰年；否则都是平年。
（例如）1900÷400=4余300，1900不是400的倍数，所以1900年是平年；2000÷400=5，2000是400的倍数，所以2000年是闰年；

五、比和比例
（一）比
【1】两个数相除又叫做两个数的比。比有前项（比号前的数）和后项（比号后的数）。
【2】比的基本性质：比的前项和后项都乘上或除以相同的数（0除外），比值不变。
【3】求比值：比的前项除以后项，所得的商（结果可能是：整数、小数、分数）。
【4】化简比：根据比的基本性质，使比的前项和后项成两个互质的整数（结果还是一个比）。
【5】比、分数和除法的联系与区别：

联系
区别
比
前项
比号
后项
比值
两个数之间的倍数关系
分数
分子
分数线
分母
分数值
一个数
除法
被除数
除号
除数
商
一种运算
（二）比例
【1】两个比相等的式子叫做比例。比例中的四个数叫做比例的项，两端的两项叫比例的外项，中间的两项叫比例的内项。
【2】比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两个外项的积。
【3】根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，可以求出另外一个未知项。求比例中未知项的过程，叫做解比例。
【4】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。正比例关系式表示为：。
【5】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。反比例关系式表示为：x·y = k( k一定)。

六、数学思考
（一）点连线段：有n个点，可以连成“(n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋…＋1”条线段，或用公式“n×(n－1)÷2”计算线段条数。
（二）射线组角：从一点引出n条射线，能组成“(n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋…＋1”个角，或用公式“n×(n－1)÷2”计算角的个数。
（三）等差数列
【1】等差数列的意义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差相等，这个数列就叫做等差数列；这个相等的差叫做等差数列的公差；这一列数的个数叫做项数。
【2】等差数列的公式
（1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（2）和＝（首项＋末项）×项数÷2
（3）末项=首项＋（项数－1）×公差
（四）加法、乘法原理
【1】加法原理：做一件事，完成它可以有n种办法，在第一类办法中有A种不同的方法，在第二类办法中有B种不同的方法，……，在第n类办法中有C种不同的方法，那么完成这件事共有“A＋B＋…＋C”种不同方法。
【2】乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有A种不同的方法，做第二步有B种不同的方法，……，做第n步有C种不同的方法，那么完成这件事共有“A×B×…×C”种不同的方法。
（五）打电话通知人
（每分钟通知一个人），那么１分钟通知到１人；２分钟通知到：1×2＋1=3人；３分钟通知到：3×2＋1=7人；４分钟通知到：7×2＋1=15人；5分钟通知到：15×2＋1=31人……n分钟通知到：（n－1）分钟通知到的人数×2＋1 =n分钟通知到的人数。
（六）数字与编码
【1】数不仅可以用来表示数量和顺序，还可以用来编码。
【2】邮政编码由六位阿拉伯数字组成，如448268，它的前两位数表示省、自治区、直辖市，如44表示湖北省；第三位数表示邮区代号，如448代表湖北省荆门邮区；第四位数表示县（市）的编号，如4482代表湖北省荆门市沙洋县邮局；最后两位代表邮件投寄局（所），所以448268表示的就是：湖北省荆门市沙洋县五里邮电支局的投递局。
【3】身份证号码是由18位数字组成：前6位为行政区划代码，第7至14位为出生日期码，第15至17位为顺序码（第17位数字也表示性别区分，奇数为男，偶数为女），第18位为效验码。
（七）“烙煎饼”类问题
（八）“找次品”类问题
（九）“合理安排”问题
（十）“抽屉问题”
第二部分：空间与图形
一、基本概念
（一）平面图形
【1】线
（1）直线上两点间的一段叫做线段；线段有两个端点；线段是直线的一部分。把线段的一端无限延长，就得到一条射线；射线只有一个端点。线段的两端无限延长，就得到一条直线，直线没有端点。
（2）两条直线相交成直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。过直线外一点向已知直线的连线中，垂线最短。
（3）同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 。平行线之间垂直线段的长度都相等。
【2】角
（1）由一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这两条射线叫做角的边。角通常用符号“∠”来表示。角的大小与两边叉开的大小有关，与角的两边画出的长短没有关系。在放大镜下看角，角的大小不变。
（2）角的度量：角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。把半圆分成180等份，每一份所对的角叫做1度的角，记作1°。用量角器量角的时候，把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，0°该度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。
（3）角的分类：大于0°，而小于90°的角叫做锐角。等于90°的角叫做直角。大于90°而小于180°的角叫做钝角。角的两边成一条直线，等于180°的角叫做平角。一条射线绕它的端点旋转一周所成为一个360°的角叫做周角。
（4）1周角=2平角=4直角，1平角=2直角。
【3】三角形
（1）由三条线段围成（每相邻两条线段的端点相连）的图形叫三角形。从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形具有稳定性。
（2）三角形内角和是