2020年普通高等学校招生全国I卷五省优创名校2020届高三入学摸底第一次联考数学理科试题(word版带答案)复习.docx

2020年普通高等学校招生全国I卷五省优创名校2020届高三入学摸底第一次联考数学理科试题(word版带答案)

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2020年普通高等学校招生全国Ⅰ卷五省优创名校入学摸底第一次联考
数学（理科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A. B.
C. D.
2.设复数在复平面内对应的点为，，若复数的实部为1，则
A. B.
C. D.
3.已知，，，则的大小关系为
A. B.
C. D.
4.函数的部分图象大致为

5.如图，四边形为正方形，为等腰直角三角形，为线段的中点，设向量，，则
A. B.
C. D.

6.执行右边的程序框图，如果输入的，那么输出的
A.167
B.168
C.104
D.105
7.十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、已蛇 、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相.现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学一次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，一同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是
A. B. C. D.
8.若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
9.正八面体是由八个全等的正三角形围成的几何体，如图，关于正八面体有以下结论：①，且；②；③与，，，所成的角都是；④，其中所有正确结论的编号是
A.①③ B.②④ C.①③④ D.①②③
10.从地到地有三条路线：1号路线，2号路线，3号路线，小王想自驾从地到地，因担心堵车，于是向三位司机咨询，司机甲说：“2号路线不堵车，3号路线不堵车”，司机乙说：“1号路线不堵车，2号路线不堵车”，司机丙说：“1号路线堵车，2号路线不堵车”.如果三位司机只有一位说法是完全正确的，那么小王最应该选择的路线是
A.1号路线 B.2号路线
C.3号路线 D.2号路线或3号路线
11.已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于两点，则的最小值为
A.2 B.1 C.5 D.
12.设数列的前项和为，且满足，，用表示不超过的最大整数，设，数列的前项和为，则使成立的最小正整数是
A.5 B.6 C.7 D.8
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上.
13.已知函数，将的图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图象，则函数的最小正周期是 ，最大值是 .（本题第一空2分，第二空3分）
14.设是公差不为0的等差数列的前项和，且，则 .
15.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高，他独自一人解决项目的概率为；同时，有个水平相同的人也在研究项目，他们各自独立的解决项目的概率都是0.5.现在李某单独研究项目，且这个人组成的团队也同时研究项目，且这个人研究项目的结果相互独立.设这个人团队解决项目的概率为，若，则的最小值是 .
16.已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线右支上的一点，若直线与直线平行且的周长为，则双曲线的离心率为 .

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做大.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
已知的内角的对边分别为，且，.
（1）求角；
（2）当的面积最大时，求，并求出最大面积.

18.（12分）
如图，在四棱柱中，，，且，，与交于点，点在底面内的投影刚好是点.
（1） 证明：.
（2） 求直线和平面所成角的正弦值.

19.（12分）
已知椭圆的离心率为，一个焦点在直线上，另一条直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为.
（1） 求该椭圆的方程.
（2） 若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

20.（12分）
2019超长“三伏”来袭，虽然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物，但随着气温的不断攀升，仍然无法阻挡冷饮品销量的暴增.现在，某知名冷饮品销售公司通过随机抽样的方式，得到其100家加盟超市3天内进货总价的统计结果如下表所示：
组别（单位：百元）

频数
3
11
20
27
26
13
（1） 由频数分布表大致可以认为，被抽查超市3天内进货总价，近似为这100家超市3天内进货总价的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用正态分布，求；
（2） 在（1）的条件下，该公司为增加销售额，特别是这100家超市制定如下抽奖方案：
①令表示“超市3天内进货总价超过的百分点”，其中.若，则该超市获得1次抽奖机会；，则该超市获得2次抽奖机会；，则该超市获得3次抽奖机会；，则该超市获得4次抽奖机会；，则该超市获得5次抽奖机会；，则该超市获得6次抽奖机会.另外，规定3天内进货总价低于的超市没有抽奖机会；
②每次抽奖中奖获得的奖金金额为1000元，每次抽奖中奖的概率为.
设超市参加了抽查，求超市在3天内进货总价百元.记（单位：元）表示超市获得的奖金总额，求的分布列与数学期望.
附参考数据与公式：，若，则，，.

21.（12分）
已知函数.
（1） 证明：当时，有且仅有一个零点.
（2） 当，函数的最小值为，求函数的值域.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4—4,：坐标系与参数方程]（1分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极值，轴正半轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1） 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2） 若直线与曲线交于两点，为直线上一点，求.

23.[选修4—5,：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1） 求不等式的解集；
（2） 若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

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