2018年4月稽阳联谊学校高三联考数学试卷和答案复习课程.doc

2018年4月稽阳联谊学校高三联考数学试卷和答案

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2018年4月稽阳联谊学校高三联考
数学试题

注意事项：
1.本科目考试分试题卷和答题卷，考生必须在答题卷上作答.答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；
2.本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。满分150分, 考试时间120分钟。
参考公式：
如果事件A, B互斥, 那么 柱体的体积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh
如果事件A, B相互独立, 那么 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
P(A·B)=P(A)·P(B) 锥体的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n V=Sh
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
Pn(k)=Cpk (1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n) 球的表面积公式
台体的体积公式 S = 4πR2
球的体积公式
其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积, V=πR3
h表示台体的高 其中R表示球的半径

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第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题.目要求的．
1.已知集合，，则 ( ▲ )
A. B. C. D.
2. 若是曲线C:的一条渐近线，则C的离心率为（ ▲ ）
A.3 B. C. D.
3. 已知实数满足，则下列关系式中恒成立的是 （ ▲ ）
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，不等式组（）表示的平面区域为，为内（含边界）的点，当的最大值为8时，的面积为 （ ▲ ）
A. 12 B. 8 C. 4 D. 6

5.已知满足：对任意，不等式 恒成立，则的范围是 （ ▲ ）
A. B. C. D.
6．已知数列是等比数列，前项和为，则“”是“”的 （ ▲ ）
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件　　
C．充要条件　 　 D．既不充分也不必要条件
7.函数的图象上关于坐标原点对称的点共有 （ ▲ ）

A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
8.甲乙两个人玩一种游戏，甲乙两人分别在两张纸片上各写一个数字，分别记为，其中必须是集合中的元素，如果满足，我们就称两人是“友好对”. 现在任意找两人玩这种游戏，则他们是”友好对”的概率为 （ ▲ ）
A . B. C. . D.
9.过点作直线（不同时为零）的垂线，垂足为，已知点，则当变化时，的取值范围是 （ ▲ ）
A. B. C. D.
10. 是定义在R上的函数，若，对任意，满足：及，则的值为 （ ▲ ）
A. 2017 B.2018 C.2019 D.2020

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共7小题, 多空题每小题6分，单空题每小题4分, 共36分．
11.若复数满足，则等于 ▲ .
12. 若，则 ▲ ， ▲ .
第14题
13. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中有一道数列问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几日相逢及各行几何？”请研究本题，并给出下列结果：两马同时出发后第9天，良马日行 ▲ 里， 从长安出发后第 ▲ 天两马第一次相遇.
14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ▲ ，体积为 ▲ .
15.锐角三角形的三个内角的对边分别为，若，，则= ▲ , 的取值范围是 ▲ .
16.现将7个不同的小球放入编号分别为1,2,3的三个盒子里，要求每个盒子内的小球数不能小于其编号数，则符合要求的放法有 ▲ 种.（用数字作答）.
17. 中，，点为三角形的垂心，若，则的值为 ▲ .
三、解答题：本大题共5小题, 共74分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．
18.（本题满分14分）
已知函数.（）的值域为.
（1）若函数的图象关于直线对称，求的最小值.
（2）当时，方程有四个实数根，求的取值范围.

19．(本小题满分15分）
如图，四边形是正方形,.
（Ⅰ）若平面平面，求证：平面；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.

20．(本小题满分15分）
已知函数，.
（Ⅰ）设，求在上的最大值；
（Ⅱ）当时，求证：.

21．(本小题满分15分）
已知离心率为的椭圆过点，与坐标轴不平行的直线与椭圆交于两点，其中为关于轴的对称点，，为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）分别记的面积为，当三点共线时，求的最大值.

22. (本小题满分15分）
已知数列满足：，.
（1） 求证：当时，
（2） 求证：
①任意的正整数，有.
②不存在,使得对任意正整数，有.

2018年4月稽阳联谊学校高三联考
数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1.【答案】：D.
解析：,P,Q无公共元素，所以交集为空集.
2.【答案】B
解析：
3.【答案】 D
解析：由条件知结合幂函数的单调性，可知D正确.
4.【答案】D.
解析：在处取得最大值，所以，由三角形面积公式可得结果.
5.【答案】：B
解析：由条件可知，函数在上为减函数，从而；另一方面，由函数在R上有定义，可得，从而，的范围是.
6.【答案】:A
解析：，因为，所以，即；另一方面对于各项为负的常数列：满足，但不能推出出
7.【答案】：C
解析：作出函数的图象关于原点的对称图形C，C与有两个交点.
8. 【答案】D
【解析】这是一个古典概型，共有36个基本事件，“友好对”的结果有（1,1），（1,2），（2,1）（2,2）（2,3）（3，2）（3，3）（3,4）（4,3）（4，4）（4,5）（5,4）（5，5）（5,6）（6,5）（6,6），共16个，所以所求概率为.
9.【答案】；A
【解析】：直线,整理为： 从而可得直线过定点Q，如图，或者M与P,Q之一重合， ,故点M在以PQ为直径的圆上运动，设该圆的圆心为F，则线段MN满足的范围为,所以： 的取值范围是
10. 【答案】：C.
解析：因为 所以 ，进而有，上述三式子相加得到，结合条件我们有. 于是：
=.
所以，.

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共7小题, 多空题每小题6分，单空题每小题4分, 共36分．
11.【答案】：
解析：.
12.【答案】 ;-4
【解析】取即得；分别取和，将所得两式相减即得到.
13【.答案】：297，16.
解析：分别用数列表示良马和驽马每日所行里程，则两个数列均为等差数列，其中，。于是，
设两马经过n天相遇，则有.
整理得：.令，则所以，，也就是说，出发后第16天两马相遇.
14.【答案】：，
解析：该几何体如图所示：易求，所以，所以表面积为；体积为同底面高正棱柱体积的一半，所以体积是.
15.【答案】2；
解析：，所以,
另一方面，,所以，，
16.【答案】455
解析：共有三种情况：
（1）1,2,3号盒子放的球数分别为（2,2,3），此时的放法数为.
(2)1,2,3号盒子放的球数分别为（1,3,3），此时的放法数为
(3)1,2,3号盒子放的球数分别为（1,2,4），此时的放法数为
由加法原理即得结果。
17.【答案】：
【解析】 过H作AB和AC的平行线HE,HF，得到平行四边形，.因为H为垂心，所以：

所以，
于是，
这样一来，
三、解答题：本大题共5小题, 共74分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．

18.(本小题满分14分）
解：（1） .................2分
由题意
解得： ......................4分

由的图象关于直线对称得：.
所以，, ...............6分
所以，的最小值为. ..................7分
（2）如图，在，，上单调递增，在和上单调递减，结合可知..........................14分
（注：本小题通过单调性、极值判断或者画出草图直接判断均不扣分.）

19(本小题满分15分）
解:（Ⅰ）是正方形是正方形，
又平面平面，平面平面，平面，可得； ................. 3分
又，不妨设，,可求，可得，所以平面. ..............6分
（Ⅱ）过作，连接交与点，过作交与点，连接，作交与点，，，又由，
所以，所以，即在上...9分
又由，可得，所以，所以到平面的距离为,，，又，所以到平面的距离为，设直线与平面所成角为，则. .......................（15分）
法二：以为原点，建立如图坐标系，则，，，，. ............................... （8分）
设，由题意可得：
，坐标代入，
解得，即，...................... 10分
设平面的法向量为，
则，即，令，则，即，
.....................................12分
设设直线与平面所成角为，，
则，
所以直线与平面所成角正弦值为................15分.
20. (本小题满分15分）
解.（Ⅰ）令，，.....2分
令，则，所以当时，，即在单调递减，又，故，所以在上单调递增.............5分
即当时，最大值为............6分
（Ⅱ），令，，由，得，由得.
在上单调递减，上单调递增，.............9分
又由，，，所以可得在上必有一零点.在上单调递增，在上单调递减.所以；................13分
又因为在上单调递减，所以.
综上所述，当时，.......................15分.

21.(本小题满分15分）
解：（Ⅰ），，把过点，代入椭圆方程可得，解得，所以椭圆方程为................5分.
（Ⅱ）设点坐标，点坐标，则为，设直线的方程为，联立椭圆方程可得
所以，因为三点共线，所以，代入得
，化简得，解得或（舍去）....9分
设两点到直线的距离为，直线的方程为，，
所以，化简可得
....13分
又因为，所以当时，.........15分.

22. (本小题满分15分）
解:（1）用数学归纳法证明
当，，不等式成立.
假设 当时，成立
则
于是，当时不等式也成立。
综上所述，不等式成立. ....................5分
(2)
即：
累加得①
，，显然单调递增，，于是：

即：
进而有：
对任意的正整数，. （1）.........10分
②注意到，以及我们有：

，

所以，当时， 于是， （2）
于是，不存在,使得对任意正整数，有 15分.