2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(4)(文科数学含答案详解)讲课讲稿.doc

2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(4)(文科数学含答案详解)

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2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（4）
文科数学
本试题卷共6页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题，，则是成立的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分有不必要 D．充要
【答案】B
【解析】，因为，所以是成立的必要不充分条件，选B．
2．已知复数，，，是虚数单位，若是实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】复数，，
．
若是实数，则，解得．故选A．
3．下列函数中既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A是奇函数，故不满足条件；B是偶函数，且在上单调递增，故满足条件；C是偶函数，在上单调递减，不满足条件；D是偶函数但是在上不单调．故答案为B．
4．已知变量，之间满足线性相关关系，且，之间的相关数据如下表所示：

1
2
3
4

0.1

3.1
4
则（ ）
A．0.8 B．1.8 C．0.6 D．1.6
【答案】B
【解析】由题意，，代入线性回归方程为，可得，
，，故选B．
5．若变量，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．0 B．2 C．5 D．6
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点处取得最大值，．本题选C．
6．已知等差数列的公差和首项都不为，且成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由成等比数列得，，，，，，选C．
7．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-（8+6+5）+1=60．
故选C．
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥，其中三棱锥的高为2，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，表面积为，故选A．
9．若函数的图象经过点，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递增
【答案】D
【解析】由题意得，
∵函数的图象经过点，∴，
又，∴，∴．
对于选项A，C，当时，，故函数不单调，A，C不正确；
对于选项B，D，当时，，函数单调递增，故D正确．
选D．
10．已知，是函数的图象上的相异两点，若点，到直线的距离相等，则点，的横坐标之和的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，则，因为，所以，由基本不等式有，故，所以，选B．
11．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1，，，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，三棱锥中，，，，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将看作底面，则当平面平面时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高，△BCD是等腰直角三角形，则，综上可得，三棱锥的体积的最大值为．本题选择A选项．

12．已知双曲线的左、右两个焦点分别为，，，为其左右顶点，以线段，为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程为，以，为直径的圆的方程为，将直线代入圆的方程，可得：（负的舍去），，即有，又，，则直线的斜率，又，则，即有，则离心率，故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_________．
【答案】
【解析】∵，∴，即，
∴，∴．
14．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________．

【答案】
【解析】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知：当，时，，，，运算程序依次继续：，，；，，；，，；，，；，运算程序结束，输出，应填答案．
15．在中，，，是的外心，若，则______________．
【答案】
【解析】由题意可得：，，，则：
，
，
如图所示，作，，
则，，
综上有：，求解方程组可得：，故．
16．已知函数满足，且当时．若在区间内，函数有两个不同零点，则的范围为__________．
【答案】
【解析】，，当时，；
，故函数，
作函数与的图象如下，

过点时，，，，；故，故，故实数的取值范围是．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分，每个试题12分．
17．已知在中，，且．
（1）求角，，的大小；
（2）设数列满足，前项和为，若，求的值．
【答案】（1），，；（2）或．
【解析】（1）由已知，又，所以．又由，
所以，所以，
所以为直角三角形，，．
（2）．
所以，，
由，得，所以，所以，所以或．
18．某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：

（1）求的值及这50名同学数学成绩的平均数；
（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在的同学中选出3位作为代表进行座谈，若已知成绩在的同学中男女比例为2：1，求至少有一名女生参加座谈的概率．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由题，解得，

．
（2）由频率分布直方图可知，成绩在的同学有（人），
由比例可知男生4人，女生2人，记男生分别为A、B、C、D；女生分别为x、y，
则从6名同学中选出3人的所有可能如下：ABC、ABD、ABx、ABy、ACD、ACx、ACy、ADx、ADy、BCD、BCx、BCy、BDx、BDy、CDx、CDy、Axy、Bxy、Cxy、Dxy——共20种，其中不含女生的有4种ABC、ABD、ACD、BCD；
设：至少有一名女生参加座谈为事件A，则．
19．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，为的中点．
（1）在侧棱上找一点，使∥平面，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）为的中点．
取的中点为，连，
为正方形，为的中点，平行且等于，，
又，平面平面，平面．
（2）为的中点，，，
为正四棱锥，在平面的射影为的中点，
，，，，．
20．已知椭圆： 的离心率为，焦距为，抛物线：的焦点是椭圆的顶点．
（1）求与的标准方程；
（2）上不同于的两点，满足，且直线与相切，求的面积．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设椭圆的焦距为，依题意有，，
解得，，故椭圆的标准方程为．
又抛物线：开口向上，故是椭圆的上顶点，，，故抛物线的标准方程为．
（2）显然，直线的斜率存在．设直线的方程为，设，，则，，
，
即，
联立，消去整理得，．
依题意，，是方程的两根，，
，，
将和代入得，
解得，（不合题意，应舍去）
联立，消去整理得，，
令，解得．经检验，，符合要求．
此时，，
．
21．设函数．
（1）求证：；
（2）当时，函数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）原不等式等价于，设，
所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
又因为，所以．所以．
（2）当时，恒成立，即恒成立．
当时，；
当时，而，所以．
（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数程为（为参数），设直线与的交点为，当变化时点的轨迹为曲线．
（1）求出曲线的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点为曲线的动点，求点到直线的距离的最小值．
【答案】（1）的普通方程为；（2）的最小值为．
【解析】（1）将，的参数方程转化为普通方程；
，① ，②
①×②消可得：，
因为，所以，所以的普通方程为．
（2）直线的直角坐标方程为：．
由（1）知曲线与直线无公共点，
由于的参数方程为（为参数，，），
所以曲线上的点到直线的距离为：
，
所以当时，的最小值为．
23．已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）当时，原不等式可化为，
①当时，原不等式可化为，解得，所以；
②当时，原不等式可化为，解得，所以．
③当时，原不等式可化为，解得，所以，
综上所述，当时，不等式的解集为或．
（2）不等式可化为，
依题意不等式在恒成立，
所以，即，即，所以，
解得，故所求实数的取值范围是．

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