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高等数学——导数练习题

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一．选择题
1.若，则等于( )
A. B. C. D.以上都不是
2.若f（x）=sinα－cosx，则f'a等于 ( )
A．sinα B．cosα
C．sinα+cosα D．2sinα
3.f（x）=ax3+3x2+2，若f'-1=4,则a的值等于( )
A． B．
C． D．
4.函数y=sinx的导数为( )
A．y′=2sinx+cosx B．y′=+cosx
C．y′=+cosx D．y′=－cosx
5.函数y=x2cosx的导数为( )
A．y′=2xcosx－x2sinx B．y′=2xcosx+x2sinx
C．y′=x2cosx－2xsinx D．y′=xcosx－x2sinx
6.函数y=（a>0）的导数为0，那么x等于（ ）
A．a B．±a
C．－a D．a2
7. 函数y=的导数为（ ）
A．y′= B．y′=
C．y′= D．y′=
8.函数y=的导数是（ ）
A． B． C．－ D．－
9.已知y=sin2x+sinx，那么y′是（ ）
A．仅有最小值的奇函数 B．既有最大值，又有最小值的偶函数
C．仅有最大值的偶函数 D．非奇非偶函数
10.函数y=sin3（3x+）的导数为（ ）
A．3sin2（3x+）cos（3x+） B．9sin2（3x+）cos（3x+）
C．9sin2（3x+） D．－9sin2（3x+）cos（3x+）
11.函数y=cos（sinx）的导数为（ ）
A．－［sin（sinx）］cosx B．－sin（sinx）
C．［sin（sinx）］cosx D．sin（cosx）
12.函数y=cos2x+sin的导数为（ ）
A．－2sin2x+ B．2sin2x+
C．－2sin2x+ D．2sin2x－
13.过曲线y=上点P（1，）且与过P点的切线夹角最大的直线的方程为（ ）
A．2y－8x+7=0 B．2y+8x+7=0
C．2y+8x－9=0 D．2y－8x+9=0
14.函数y=ln（3－2x－x2）的导数为（ ）
A． B．
C． D．
15.函数y=lncos2x的导数为（ ）
A．－tan2x B．－2tan2x
C．2tanx D．2tan2x
16.已知是上的单调增函数，则的取值范围是( )
A. 　 B. C. 　　D.
17.函数的单调递增区间是 ( )
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
18.函数y=（a>0且a≠1），那么y'为（ ）
A．lna B．2（lna）
C．2（x－1）·lna D．（x－1）lna
19.函数y=sin32x的导数为（ ）
A．2（cos32x）·32x·ln3 B．（ln3）·32x·cos32x
C．cos32x D．32x·cos32x
20.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
21.曲线在点（1，－1）处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
22.函数在处的导数等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
23.已知函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
24.函数，已知在时取得极值，则=（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
25.函数是减函数的区间为( )
A. B. C. D.
26.函数有（ ）
A.极大值5，极小值－27 B.极大值5，极小值－11
C.极大值5，无极小值 D.极小值－27，无极大
27.三次函数在内是增函数，则（ ）
A. B.
C. D.
28.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0

29.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个
30.下列求导运算正确的是（ ）
A、 B、log2x'=1xln2
C、x2cosx'=-2xsinx D、 3x'=3xlog3e
31.已知函数f(x)=ax2＋c,且=2,则a的值为( )
A．0 B． C．－1 D．1
32.函数的递增区间是（ ）
A． B． C． D．
33. 函数y=的导数为（ ）
A．2x B．
C． D．
34.设为过抛物线的焦点的弦，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
35.函数的极大值为，极小值为，则为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
36.函数单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
37.函数在上（ ）
A．是增函数 B．是减函数 C．有最大值 D．有最小值
38.函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题
1.是的导函数，则的值是 。
2.已知函数的图象在点处的切线方程是，则 。
3.曲线在点处的切线方程是 。
4.若y=(2x2-3)(x2-4),则y’= 。
5.若y=3cosx-4sinx ,则y’= 。
6.与直线2x－6y+1=0垂直，且与曲线y=x3+3x2－1相切的直线方程是 。
7.质点运动方程是s=t2（1+sint），则当t=时，瞬时速度为 。
8.求曲线y=x3+x2-1在点P（-1，-1）处的切线方程 。
9.若则y’= 。
10.若则y’= 。
11.若则y’= 。
12.已知f（x）=，则f′（x）=___________。
13.已知f（x）=，则f′（x）=___________。
14.已知f（x）=，则f′（x）=___________。
15.若y=（sinx-cosx，则y’= 。
16.若y=，则y’= 。
17.若y=sin3(4x+3)，则y’= 。
18.函数y=（1+sin3x）3是由___________两个函数复合而成。
19.曲线y=sin3x在点P（，0）处切线的斜率为___________。
20.函数y=xsin（2x－）cos（2x+）的导数是______________。
21.函数y=的导数为______________。
22.函数y=cos3的导数是___________。
23.在曲线y=的切线中，经过原点的切线为________________。
24.函数y=log3cosx的导数为___________。
25.函数y=x2lnx的导数为 。
26.函数y=ln（lnx）的导数为 。
27.函数y=lg(1+cosx)的导数为 。
28.设y=，则y′=___________。
29.函数y=的导数为y′=___________。
30.曲线y=ex－elnx在点（e，1）处的切线方程为___________。
31.是的导函数，则的值是 。
32.曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为__________。
33.已知曲线，则过点“改为在点”的切线方程是______________。
34.已知是对函数连续进行n次求导，若，对于任意，都有=0，则n的最少值为 。
35.函数y=的导数为_________________。
36.函数在区间上的最大值是 。
37.若在增函数，则的关系式为是 。
38.曲线在点M(e,1)处的切线的方程为_______________。
三．计算题
1.求函数y=ln的导数。

2.求函数y=ln的导数。

3.求函数y=ln（－x）的导数。

4.求函数y=e2xlnx 的导数。

5.求函数y=xx（x>0）的导数。

6.设函数在点处可导，试求下列各极限的值．
（1）；
（2）
（3）若，则

7.求函数在处的导数。

8.求函数（a、b为常数）的导数。

9.利用洛必达法则求下列极限：
；

；

；

；

；

；

；

；

10.求下列函数的单调增减区间：
；

2y=x4-2x2+2；

；

11.求下列函数的极值：
；

；

；

；

；

；

四．解答题
1.求曲线y=x3+x2-1在点P（-1，-1）处的切线方程。

2.求过点（2，0）且与曲线y=相切的直线的方程。

3.质点的运动方程是求质点在时刻t=4时的速度。

4.求曲线处的切线方程。

5.求曲线处的切线方程。

6.已知曲线C：，直线，且直线与曲线C相切于点，求直线的方程及切点坐标。

7.已知在R上是减函数，求的取值范围。

8.设函数在及时取得极值。
（1）求a、b的值；
（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。

9.已知为实数，。求导数；（2）若，求在区间上的最大值和最小值。

10.设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为。
（1）求，，的值；
（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值。

11.已知曲线上一点，用斜率定义求：
（1）点A的切线的斜率
（2）点A处的切线方程

12.已知函数，判断在处是否可导？

13.已知函数，当时，取得极大值7；当时，取得极小值．求这个极小值及的值。

14.已知函数。
（1）求的单调减区间；
（2）若在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

15.设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。
（1）用表示；
（2）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围。

16.设函数，已知是奇函数。
（1）求、的值。
（2）求的单调区间与极值。

17.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

18.已知函数在区间，内各有一个极值点。
（1）求a2-4b的最大值；
（2）当a2-4b=8时，设函数y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线为l，若l在点A处穿过函数y=f(x)的图象（即动点在点A附近沿曲线y=f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f(x)的表达式。

19.设函数，若在点处可导，求与的值。

20.设函数，当为何值时，在点处连续。

21.设，求函数的极值，曲线的拐点。

22.利用二阶导数，判断下列函数的极值：
；

23.曲线过原点，在点处有水平切线，且点是该曲线的拐点，求。

24.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
；

；

；

。

25.已知函数，在区间上的最大值为，最小值为，求的值。

26.欲做一个底为正方形，容积为的长方体开口容器，怎样做所用材料最省？

27.确定下列曲线的凹向与拐点：
；

；

；

；

；

28.某厂生产某种商品，其年销量为万件，每批生产需增加准备费元，而每件的库存费为元，如果年销售率是均匀的，且上批销售完成后，立即再生产下一批（此时商品库存数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备费及库存费之和最小？

29.某化工厂日产能力最高为吨，每天的生产总成本（单位：元）是日产量（单位：吨）的函数：
（1）求当日产量为吨时的边际成本；
（2）求当日产量为吨时的平均单位成本。

30.生产单位某产品的总成本为的函数：，求：
（1）生产单位时的总成本和平均单位成本；
（2）生产单位到单位时的总成本的平均变化率；
（3）生产单位和单位时的边际成本。

31.设生产单位某产品，总收益为的函数：，求：生产50单位产品时的总收益、平均收益和边际收益。

32.生产单位某种商品的利润是的函数：，问生产多少单位时获得的利润最大？

33.某厂每批生产某种商品单位的费用为，得到的收益是，问每批生产多少单位时才能使利润最大？

34.某商品的价格与需求量的关系为，求（1）求需求量为及时的总收益、平均收益及边际收益；（2）为多少时总收益最大？

35.某工厂生产某产品，日总成本为元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元。该商品的需求函数为，求为多少时，工厂日总利润最大？

36.已知函数的图象与x轴切于点（1，0），求的极大值与极小值。

37.已知的图象经过点，且在处的切线方程是。
（1）求的解析式；
（2）求的单调递增区间。

38.已知函数在处有极值，其图象在处的切线
与直线平行.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围。

39.已知是函数的一个极值点（）。
（1）求实数的值；
（2）求函数在的最大值和最小值．

40.已知函数的图象如图所示．
（1）求的值；
（2）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围。

41.已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）函数的图像在处切线的斜率为若函数在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围。

42.已知常数，为自然对数的底数，函数，．
（1）写出的单调递增区间，并证明；
（2）讨论函数在区间上零点的个数．

43.已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．
（1）求实数的取值范围；
（2）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；
（3）对于（II）中的函数，对任意，求证：．

44.已知函数．
（1）当时，求函数的最大值；
（2）若函数没有零点，求实数的取值范围；

45.定义：
（1）令函数，写出函数的定义域；
（2）令函数的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在处有斜率为－8的切线，求实数的取值范围；
（3）当且时，求证。

46.已知函数
（1）当a=18时，求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最小值。

47.已知函数在上不具有单调性．
（1）求实数的取值范围；
（2）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立。

48.已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若

49.已知函数．
（1）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；
（2）若，设，求证：当时，不等式成立。

50.设曲线：（），表示导函数．
（1）求函数的极值；
（2）对于曲线上的不同两点，，，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于。

五．求证题
1.证明：若函数在点处可导，则函数在点处连续。

2.证明：当时，恒等式成立。

3.设在上连续，在内可导，且，证明在内存在一点，
使

4.已知函数在上连续，在内可导，且，证明在内至少存在一点a，使得f'a=-faa。

5.证明不等式：。

6.证明不等式：。

7.证明函数单调增加。

8.证明函数 单调减少。

9.证明不等式：。

10.证明：当时， 。

11.证明方程在内只有一个实根。

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