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高二下期末数学试卷(理科)

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高二下期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．
1．对具有线性相关关系的变量、，有一组观测数据，，2，，，其回归方程为，且，，则实数的值是　　
A．2 B． C．1 D．
2．某住宅小区有1500名户，各户每月的用电量近似服从正态分布，则月用电量在220度以上的户数估计约为　　（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，
A．17 B．23 C．34 D．46
3．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，则甲、乙不相邻的排法种数为　　
A．6 B．12 C．18 D．24
4．函数的单调递减区间是　　
A．，， B．，， C．， D．，
5．给出下列三个命题
①离散型随机变量，则；
②将一组数据中的每个数据都减去同一个非零数后，则平均值与方差均没有变化；
③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5，16，27，38，49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60．
其中正确的命题的个数为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知函数，为的导函数，则的值为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
7．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为　　
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
8．若，则的值为　　
A． B． C．2 D．0
9．若函数为定义在上的偶函数，其导函数为，对任意实数满足，则不等式的解集是　　
A． B．，
C． D．，，
10．如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为　　

A．60 B．480 C．420 D．70
二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．（把正确答案填在答题卡的相应位置）
11．在口袋中有不同编号的5个白球和4个黑球，如果不放回地依次取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取得白球的概率是　 　．
12．已知随机变量，满足，且，则　 　．
13．函数在区间上存在极值点，则实数的取值范围为　 　．
14．设，则二项式展开式中含项的系数是　 　．
15．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为．若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数“．现给出如下命题：
①区间上的凸函数在其图象上任意一点，处的切线的斜率随的增大而减小；
②函数在任意正实数区间上都是凸函数；
③若函数，都是区间上的凸函数，则函数也是区间上的凸函数；
④若在区间上恒成立，则对任意，，都有，其中正确命题的序号是　 　（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6个小题共75分，解答时要求写出必要的文字、说明证明过程或推理步骤．
16．（12分）已知二项式的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512，求二项式的展开式的所有有理项．
17．（12分）某单位有男职工600名，女职工400人，在单位想了解本单位职工的运动状态，根据性别采取分层抽样的方法从全体职工中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该单位职工平均每天运动的时间范围是，．若规定平均每天运动的时间不少于1小时的为“运动达人”，低于1小时的为“非运动达人”．根据调查的数据，按性别与是否为运动达人进行统计，得到如下列联表．
运动时间
性别
运动达人
非运动达人
合计
男
36

女

26

合计

100
（Ⅰ）请根据题目信息，将列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为性别与是否为运动达人有关；
（Ⅱ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该单位的3名男职工，设调查的3人中运动达人的人数为随机变量，求的分布列和数学期望及方差．
附表及公式：

　0.15
0.10　
0.05　
0.025　
0.010　

　2.072
2.706　
3.841　
　5.024
6.635
，其中．
18．（12分）已知函数的图象过点，且在点，（2）处的切线方程是．
（1）求函数的极大值和极小值；
（2）求函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积．
19．（12分）在纸箱内装有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从箱中任意摸出1个球，得到黑球的概率是，从箱中摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．
（1）求箱中各色球的个数；
（2）从箱中任意摸出3个球，记白球的个数为，求随机变量的分布列及数学期望．
20．（13分）已知函数在区间，上是增函数．
（1）求实数的取值范围的组成集合．
（2）关于的方程的两个非零实根为，．试问是否存在实数，使得不等式对任意及，恒成立，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（14分）已知函数．
（1）求函数在，（1）处的切线方程；
（2）设，若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围；
（3）设，试比较与的大小，并说明理由．

2015-2016学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．
1．对具有线性相关关系的变量、，有一组观测数据，，2，，，其回归方程为，且，，则实数的值是　　
A．2 B． C．1 D．
【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于的方程，解方程即可．
【解答】解：，，
，
这组数据的样本中心点是，，
把样本中心点代入回归直线方程得：，
故选：．
【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．属于基础题．
2．某住宅小区有1500名户，各户每月的用电量近似服从正态分布，则月用电量在220度以上的户数估计约为　　（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，
A．17 B．23 C．34 D．46
【分析】根据正态分布，求出，，在区间的概率为0.9544，由此可求用电量在220度以上的户数．
【解答】解：由题意，，，在区间的概率为0.9544，
用电量在220度以上的概率为，
用电量在220度以上的户数估计约为，
故选：．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
3．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，则甲、乙不相邻的排法种数为　　
A．6 B．12 C．18 D．24
【分析】先排列丙、丁2个人，再把甲、乙插入到丙、丁二人形成的3个空中，再根据分步计数原理求得结果．
【解答】解：先排列丙、丁2个人，方法有种，
再把甲、乙插入到丙、丁二人形成的3个空中，方法有种，
再根据分步计数原理求得甲乙两人不相邻的排法种数是种，
故选：．
【点评】本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用，注意不相邻问题用插空法，属于中档题．
4．函数的单调递减区间是　　
A．，， B．，， C．， D．，
【分析】求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求．
【解答】解：的定义域是，
，
令，解得：，
故选：．
【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
5．给出下列三个命题
①离散型随机变量，则；
②将一组数据中的每个数据都减去同一个非零数后，则平均值与方差均没有变化；
③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5，16，27，38，49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60．
其中正确的命题的个数为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①根据二项分布的方差公式进行计算即可．
②根据平均值和方差的定义和性质进行判断．
③利用系统抽样的定义进行求解判断．
【解答】解：①，
；故①正确，
②将一组数据中的每个数据都减去同一个非零数后，则平均值发生变化，但方差均没有变化，故②错误，
③样本间隔为，则对应的人数可能为人，故③错误．
故选：．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大．
6．已知函数，为的导函数，则的值为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先求导，再带值计算．
【解答】解：，
则，
则，
故选：．
【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．
7．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为　　
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．
【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足，
该同学通过测试的概率为．
故选：．
【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．
8．若，则的值为　　
A． B． C．2 D．0
【分析】利用赋值法，令，可得，再令，可得的值，从而求出要求的结果．
【解答】解：，
令，可得，
再令，可得，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应根据代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，是基础题．
9．若函数为定义在上的偶函数，其导函数为，对任意实数满足，则不等式的解集是　　
A． B．，
C． D．，，
【分析】构造函数，求出函数的导数，得到在递增，得到，问题转化为，解出即可．
【解答】解：函数为定义在上的偶函数，
故，
故对任意实数满足，
即，
令，，
在递增，
若不等式，
则，则，解得：，
故选：．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数是解题的关键，本题是一道中档题．
10．如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为　　

A．60 B．480 C．420 D．70
【分析】分两步，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原理可求解．
【解答】解：分两步，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原理可求解．由题设，四棱锥的顶点，，所染的颜色互不相同，它们共有种染色方法．
当，，染好时，不妨设所染颜色依次为1，2，3，若染2，则可染3或4或5，有3种染法；若染4，则可染3或5，有2种染法；若染5，则可染3或4，有2种染法，即当，，染好时，，还有7种染法．
故不同的染色方法有种．
故选：．
【点评】本题主要排列与组合及两个基本原理，总体需分类，每类再分步，综合利用两个原理解决，属中档题．
二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．（把正确答案填在答题卡的相应位置）
11．在口袋中有不同编号的5个白球和4个黑球，如果不放回地依次取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取得白球的概率是　　．
【分析】设已知第一次取出的是白球为事件，第二次也取到白球为事件，先求出的概率，然后利用条件概率公式进行计算即可．
【解答】解：设已知第一次取出的是白球为事件，第二次也取到白球为事件．
则由题意知，（A），，
所以已知第一次取出的是白球，则第二次也取到白球的概率为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键．
12．已知随机变量，满足，且，则　2　．
【分析】随机变量，，先求出，由此能求出．
【解答】解：随机变量，，
，，
，
故答案为：2．
【点评】本题考查均值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．
13．函数在区间上存在极值点，则实数的取值范围为　，，　．
【分析】求导函数，求出函数的极值点，利用函数在区间上存在极值点，建立不等式，即可求实数的取值范围．
【解答】解：函数的导数为，
令，则或，
上单调递减，，上单调递增，
或是函数的极值点，
函数在区间上存在极值点，
或，
或．
故答案为：，，．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．
14．设，则二项式展开式中含项的系数是　60　．
【分析】由定积分的运算求得的值，代入求得展开式，当，解得，代入即可求得展开式中含项的系数．
【解答】解：
，，
展开式为：，
含项的系数：，解得：，
展开式中含项的系数，
，
，
故答案为：60．
【点评】本题考查定积分的应用，考查二项式定理，考查计算能力，属于中档题．
15．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为．若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数“．现给出如下命题：
①区间上的凸函数在其图象上任意一点，处的切线的斜率随的增大而减小；
②函数在任意正实数区间上都是凸函数；
③若函数，都是区间上的凸函数，则函数也是区间上的凸函数；
④若在区间上恒成立，则对任意，，都有，其中正确命题的序号是　①②④　（写出所有正确命题的序号）
【分析】根据函数的凹凸性的定义，函数的单调性判断①②④，举例判断③．
【解答】解：①因为在区间上，恒成立，
所以在区间单调减，所以结论成立，故①正确；
②，，恒成立，
故在任意正实数区间上都是凸函数，故②正确；
③举反例说明：如：函数，在区间都是凸函数，
但是在区间不是凸函数，③错误；
④若在区间上恒成立，函数在上为“凸函数“．
在其图象上任意一点，处的切线的斜率随的增大而减小，
根据图象可知对任意，，都有，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了函数的单调性，导数的应用，“凸函数”的定义．
三、解答题：本大题共6个小题共75分，解答时要求写出必要的文字、说明证明过程或推理步骤．
16．（12分）已知二项式的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512，求二项式的展开式的所有有理项．
【分析】二项式的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512，可得，解得．再利用通项公式即可得出．
【解答】解：二项式的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512，
，解得．
的通项公式：．，1，2，，．
，，4，8，
所有有理项为，，．
【点评】本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（12分）某单位有男职工600名，女职工400人，在单位想了解本单位职工的运动状态，根据性别采取分层抽样的方法从全体职工中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该单位职工平均每天运动的时间范围是，．若规定平均每天运动的时间不少于1小时的为“运动达人”，低于1小时的为“非运动达人”．根据调查的数据，按性别与是否为运动达人进行统计，得到如下列联表．
运动时间
性别
运动达人
非运动达人
合计
男
36

女

26

合计

100
（Ⅰ）请根据题目信息，将列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为性别与是否为运动达人有关；
（Ⅱ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该单位的3名男职工，设调查的3人中运动达人的人数为随机变量，求的分布列和数学期望及方差．
附表及公式：

　0.15
0.10　
0.05　
0.025　
0.010　

　2.072
2.706　
3.841　
　5.024
6.635
，其中．
【分析】计算，根据临界值表作出结论；
分别计算，1，2，3时的概率得出分布列，根据分布列得出数学期望和方差．
【解答】解：由题意，该单位根据性别采取分层抽样的方法抽取的100人中，有60人为男职工，40人为女职工，据此列联表中的数据补充如下．

运动时间
性别
运动达人
非运动达人
合计
男
36
24
60
女
14
26
40
合计
50
50
100
（2分）
由表中数据得观测值，
所以在犯错误概率不超过0.025的前提下，可以认为性别与是否为运动达人有关．
（2）随机调查一名男生，则这名男生为运动达人的概率为．
的可能取值为0，1，2，3．
，，
，．
的分布列为：

0
1
2
3

．．（12分）
【点评】本题考查了独立性检验的应用，离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，是中档题．
18．（12分）已知函数的图象过点，且在点，（2）处的切线方程是．
（1）求函数的极大值和极小值；
（2）求函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积．
【分析】（1）将代入，求出的值，求出的导数，结合函数的切线求出的值，从而求出函数的表达式，得到函数的单调性和极值即可；
（2）联立方程组，求出端点值，根据定积分的应用求出图形的面积即可．
【解答】解：（1）因为函数的图象过点，所以，
所以，，
又函数在点，（2）处的切线方程是，
所以（2），解得：，
所以，
，令，得，或1，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值（1）；
（2）由，得 或，
所以所求的面积为：
．
【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及定积分的应用，是一道中档题．
19．（12分）在纸箱内装有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从箱中任意摸出1个球，得到黑球的概率是，从箱中摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．
（1）求箱中各色球的个数；
（2）从箱中任意摸出3个球，记白球的个数为，求随机变量的分布列及数学期望．
【分析】（1）从箱中任意摸出1球得到黑球的概率是，设黑球个数为，则，解得．设白球的个数为，从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，可得，，解得，即可得出．
（2）由题设知的所有取值是0，1，2，3，利用超几何分布列的计算公式即可得出，进而得出数学期望．
【解答】解：（1）从箱中任意摸出1球得到黑球的概率是，
设黑球个数为，则，解得．
设白球的个数为，从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，
则，，解得．
箱中黑球4个，白球3个，红球3个．
（2）由题设知的所有取值是0，1，2，3，
则：，，，．
分布列表为：

0
1
2
3

．
【点评】本题考查了离散型超几何分布列的计算公式、数学期望、古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（13分）已知函数在区间，上是增函数．
（1）求实数的取值范围的组成集合．
（2）关于的方程的两个非零实根为，．试问是否存在实数，使得不等式对任意及，恒成立，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令在，上恒成立，根据二次函数的性质列出不等式得出的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得出的最大值，利用二次函数的性质列出不等式得出的范围．
【解答】解：（1），在区间，上是增函数，
在，上恒成立，即在，上恒成立．
令，则，
解得，．
（2）由得，△．
，是方程的两个非零实根，且．
，，
要使得不等式对任意及，恒成立，
只需，即对，恒成立，
或，
解得或，
所以存在实数，其范围是或．
【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题．
21．（14分）已知函数．
（1）求函数在，（1）处的切线方程；
（2）设，若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围；
（3）设，试比较与的大小，并说明理由．
【分析】（1），可得（1），又（1），即可得出函数在，（1）处的切线方程．
（2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，可得，．令，利用导数研究其单调性极值与最值可得：（e）．对于任意的，都有成立，等价于，．
（3），设，则是过上两点，连线的斜率，利用割线斜率与切线斜率的割线可得：．利用就不不等式的性质可得：，即可得出．
【解答】解：（1），（1），又（1），
函数在，（1）处的切线方程为．
（2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
（1），．
令，则，
在上单调递增，在上单调递减，
（e），
对于任意的，都有成立，等价于，．
故，解得，又，．
（3），设，则是过上两点，连线的斜率，
，．
又，
，即．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、不等式的解法、基本不等式的性质、导数的几何意义及其应用，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题．

日期：2019/4/11 15:23:54；用户：13021608589；邮箱：13021608589；学号：21882437
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