初等数学研究课后习题答案教学提纲.doc

初等数学研究课后习题答案

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初等代数研究课后习题
20071115033 数学院 07（1） 杨明
1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即
（1）对任何，当且仅当时，.
（2））对任何，在，，中有且只有一个成立.
证明：对任何，设，
（1）“” ，则,使，,
“” ，则,使，,
综上 对任何，
（2）由（1） 与不可能同时成立，
假设与同时成立，则,使且，
与B为有限集矛盾，与不可能同时成立，
综上，对任何，在，，中有且只有一个成立..
2、证明自然数的加法满足交换律.
证明：对任何设M为使等式成立的所有b组成的集合
先证 ，设满足此式的组成集合k，显然有1+1=1+1成立
，设，，则

，， 取定，则，设，则

对任何，
3、证明自然数的乘法是唯一存在的
证明：唯一性：取定，反证：假设至少有两个对应关系，对，有
，设是由使成立的所有的组成的集合，
设则
，， 即，
乘法是唯一的
存在性：设乘法存在的所有组成集合 当时，，
，设，，
有与它对应，且，，对，令

即乘法存在
p24—5、解：满足条件的有，，，
，，，
基数和为
p24—6、证明：，中的与中的对应
，

p24—8、证明：1）3+4=7

2）

p24—12、证明：1）

2）

p26—36、已知对任何满足

求证：1）
2）
3）
证明：1)当时，结论成立，
假设时，结论成立，即，
当时，

所以对一切自然数结论都成立
2）当时，结论成立
假设时，结论成立，即
当时，

所以对一切自然数结论都成立
3）当时，结论成立
假设时，结论成立，即
当时，

所以对一切自然数结论都成立
p62—1、证明定理2.1
证明：，
因为自然数加法满足交换律
而
，

以为自然数满足加法结合律
即整数加法满足交换律和结合律
p62—2、已知，求证的充要条件是
证明：“” 已知则

“” 已知则，

p62—4、已知，求证
证明：
p62—5、已知，求证
证明：左边
右边
所以左边等于右边
p62—7、已知，求证当且仅当时
证明：“” 已知，
因为 是负数，
“” 已知则
因为是负数，
p62—9、已知，求证：1） ，2）
证明：设
1）
而

2）
而

p63—12、名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第名胜负的次数各为，
，求证：
证明：对于，必存在一个使得

p63—16、已知，，求证
证明：由已知：使，

p63—17、设2不整除，求证
证明：因为2不整除，所以存在唯一一对，使，其中
，
p63—20、设，求证是奇数的平方
证明：

肯定一奇一偶肯定为偶数
肯定为奇数
p63—22、证明：前n个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9
证明：前n个自然数的和为
因为：n个自然数的和仍为自然数
1+n与n中必定一个为奇数一个为偶数
若个位数码为2
则1+n与n的个位数码只能是1,4或4,1
而（1+n）- n=1 个位数码不能为2
若个位数码为4
则1+n与n的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立
若个位数码为7
则1+n与n的个位数码有2种可能，则2,7或1,14
也不可能成立，若个位数码为9
则1+n与n的个位数码有2种可能，即2,9或1,18
也不可能成立，
综上，前n个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9
p63—26、证明2.3定理1（）=（）
证明：因为：（）是的公因数中的最大数
所以R需考虑非负整数 （）=（）
p63—29、证明2.3定理4的推论的充要条件是有使得
证明：因为 不全为0
“” 由定理4 使
“” 设则，
p63—30、证明2.3定理6及其推论。定理6：若，则
证明：若都为0，则显然成立
若不全为零，则使
而
因为，

而
推论：设是的公因数，则的充要条件是
证明：“” 是的公因数
“” 因为 ，使
，使
p64—32、证明2.3定理七及其推论
定理七：若，，中至少有一个不为0，则
证明：中至少有一个不为0 使
因为 因为
推论：若，，则
证明：因为，不为零
p64—33、已知是奇数，，求证
证明：因为
，因为是奇数，
p64—36、已知，求证
证明：

p64—40、已知，求证中的倍数的个数等于
证明：当时，结论成立，
当时，，令，，则可改写为
因为所以其中一定包括
都是的倍数，共有个
p64—42、已知是异于3的奇素数，求证
证明：是异于3的奇素数，为偶数，
其中都为合数，且都大于3
都可被2、3中的一个整除，若，则由
，因为
p64—44、已知整数都大于1，是素数，求证且是素数
证明：反证 不是素数 当时不是素数与已知矛盾，所以是素数
p64—45、求不大于50的一切素数
解：平方不大于50的素数是2,3,5,7则不大于50的一切素数
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47
p64—46、求下列各数的标准分解式：1）82798848
解：82798848=
p64—49、已知整数都大于1，求证
证明：
p66—69、已知是奇素数，求证1）
2）
证明：1）因为
，，…

因为

2），，…

p66—70、设是相异素数，求证
证明：，，
同理
即
p66—72、已知是素数，，求证
证明：因为是素数，所以

因为
p66—73、计算
解：66150的标准分解式为

p66—74、已知整数，求证
证明：设的标准分解式为，其中为素数
，若显然，
当时，一定且为偶数，
综上所述时

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