南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题及答案演示教学.doc
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南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题及答案 精品文档 南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试 数 学 试 题 (总分160分,考试时间120分钟) 注意事项: 1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分. 3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 参考公式: 柱体体积公式:,其中为底面积,为高. 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上) 1.已知集合,,则 ▲ . 2.设复数为虚数单位),若为纯虚数,则的值为 ▲ . 3.为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在(单位:分钟)内的学生人数为 ▲ . 时间(单位:分钟) 频率 组距 50 60 70 80 90 100 0.035 a 0.020 0.010 0.005 第3题图 Read If Then Else End If Print 第4题图 4.执行如图所示的伪代码,若,则输出的的值为 ▲ . 5.口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ . 6.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数的值为 ▲ . 7.设函数的值域为,若,则实数的取值范围是 ▲ . 8.已知锐角满足,则的值为 ▲ . 9.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是 ▲ . 10.设为等差数列的前项和,若的前2017项中的奇数项和为2018, 则的值为 ▲ . 11.设函数是偶函数,当x≥0时,=,若函数 有四个不同的零点,则实数m的取值范围是 ▲ . A B 第13题图 12.在平面直角坐标系中,若直线上存在一点,圆上存在一点,满足,则实数的最小值为 ▲ . 13.如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若四点均位于图中的“晶格点”处,且的位置所图所示,则的最大值为 ▲ . 14.若不等式对任意都成立,则实数的最小值为 ▲ . 二、解答题(本大题共6小题,计90分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分14分) A B C A1 B1 C1 M N 第15题图 如图所示,在直三棱柱中,,点分别是的中点. (1)求证:∥平面; (2)若,求证:. 16.(本小题满分14分) 在中,角的对边分别为 已知. (1)若,求的值; (2)若,求的值. 17.(本小题满分14分) 有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边长为6分米,另一边足够长.现从中截 取矩形(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中是以为圆心、的扇形,且弧,分别与边,相切于点,. (1)当长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积; A D C B E G F O M N H 第17题-图甲 N E F G H 第17题-图乙 M N (2)当的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大? 18. (本小题满分16分) 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的下顶点为,点是椭圆上异于点的动点,直线分别与轴交于点,且点是线段的中点.当点运动到点处时,点的坐标为. (1)求椭圆的标准方程; x y O B N M P Q D 第18题图 (2)设直线交轴于点,当点均在轴右侧,且时,求直线的方程. 19.(本小题满分16分) 设数列满足,其中,且,为常数. (1)若是等差数列,且公差,求的值; (2)若,且存在,使得对任意的都成立,求的最小值; (3)若,且数列不是常数列,如果存在正整数,使得对任意的均成立. 求所有满足条件的数列中的最小值. 20.(本小题满分16分) 设函数,(). (1)当时,若函数与的图象在处有相同的切线,求的值; (2)当时,若对任意和任意,总存在不相等的正实数,使得,求的最小值; (3)当时,设函数与的图象交于两点.求证:. 南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试 数学附加题部分 (本部分满分40分,考试时间30分钟) 21.[选做题](在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内) A.(选修4-1:几何证明选讲) A B E D F O · 第21(A)图 如图,已知为⊙的直径,直线与⊙相切于点,垂直于点. 若,求切点到直径的距离. B.(选修4-2:矩阵与变换) 已知矩阵,求圆在矩阵的变换下所得的曲线方程. C.(选修4-4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,直线与曲线()相切,求的值. D.(选修4-5:不等式选讲) 已知实数满足,求当取最大值时的值. [必做题](第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内) 22.(本小题满分10分) 如图,四棱锥的底面是菱形,与交于点,底面,点为中点,. (1)求直线与所成角的余弦值; (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. M A B C D O P 第22题图 23.(本小题满分10分) 已知,. (1)求的值; (2)试猜想的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想. 南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分. 1. 2.1 3.1200 4.1 5. 6.6 7. 8. 9. 10.4034 11. 12. 13.24 14.100 二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.证明:(1)因为是直三棱柱,所以,且, 又点分别是的中点,所以,且. 所以四边形是平行四边形,从而. ……………4分 又平面,平面,所以∥面. ……………6分 (2)因为是直三棱柱,所以底面,而侧面, 所以侧面底面. 又,且是的中点,所以. 则由侧面底面,侧面底面, ,且底面,得侧面. ……………8分 又侧面,所以. ……………10分 又,平面,且, 所以平面. ……………12分 又平面,所以. ……………14分 16.解:(1)因为,则由正弦定理,得. ……………2分 又,所以,即. ……………4分 又是的内角,所以,故. ……………6分 (2)因为, 所以,则由余弦定理, 得,得. ……………10分 从而, ……………12分 又,所以. 从而. ……………14分 17.解:(1)在图甲中,连接交于点.设, 在中,因为,所以,则. 从而,即. ……………2分 A D C B E G F O M N H T 故所得柱体的底面积 . ……………4分 又所得柱体的高, 所以. 答:当长为1分米时,折卷成的包装盒的容积 为立方分米. …………………6分 (2)设,则,所以所得柱体的底面积 . 又所得柱体的高, 所以,其中. …………………10分 令,则由, 解得. …………………12分 列表如下: + 0 - 增 极大值 减 所以当时,取得最大值. 答:当的长为2分米时,折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分 18.解:(1)由,得直线的方程为. …………………2分 令,得点的坐标为. 所以椭圆的方程为. …………………4分 将点的坐标代入,得,解得. 所以椭圆的标准方程为. …………………8分 (2)方法一:设直线的斜率为,则直线的方程为. 在中,令,得,而点是线段的中点,所以. 所以直线的斜率. ………………10分 联立,消去,得,解得. 用代,得. ………………12分 又,所以,得. ………………14分 故,又,解得. 所以直线的方程为. ………………16分 方法二:设点的坐标分别为. 由,得直线的方程为,令,得. 同理,得. 而点是线段的中点,所以,故. …………………10分 又,所以,得,从而, 解得. …………………12分 将代入到椭圆C的方程中,得. 又,所以,即, 解得(舍)或.又,所以点的坐标为.……………14分 故直线的方程为. …………………16分 19.解:(1)由题意,可得, 化简得,又,所以. ………………4分 (2)将代入条件,可得,解得, 所以,所以数列是首项为1,公比的等比数列,所以. ……6分 欲存在,使得,即对任意都成立, 则,所以对任意都成立. ………………8分 令,则, 所以当时,;当时,;当时,. 所以的最大值为,所以的最小值为. ………………10分 (3)因为数列不是常数列,所以. ①若,则恒成立,从而,,所以, 所以,又,所以,可得是常数列.矛盾. 所以不合题意. ………………12分 ②若,取(*),满足恒成立. ………………14分 由,得. 则条件式变为. 由,知; 由,知; 由,知. 所以,数列(*)适合题意. 所以的最小值为. ………………16分 20.解:(1)由,得,又,所以,. 当时,,所以,所以. ………………2分 因为函数与的图象在处有相同的切线, 所以,即,解得. ………………4分 (2)当时,则,又,设, 则题意可转化为方程在上有相异两实根. ………………6分 即关于的方程在上有相异两实根. 所以,得, 所以对恒成立. ………………8分 因为,所以(当且仅当时取等号), 又,所以的取值范围是,所以. 故的最小值为. ………………10分 (3)当时,因为函数与的图象交于两点, 所以,两式相减,得. ………………12分 要证明,即证, 即证,即证. ………………14分 令,则,此时即证. 令,所以,所以当时,函数单调递增. 又,所以,即成立; 再令,所以,所以当时,函数单调递减, 又,所以,即也成立. 综上所述, 实数满足. ………………16分 附加题答案 A B E D F O · 第21(A)图 21.(A)解:如图,连接,, 因为直线与⊙相切于点,所以, 又因为垂直于,所以,所以,① 在⊙中,所以,② ………………5分 由①②得,即, 又,, 所以,所以,又,所以, 即到直径的距离为4. ………………10分 (B)解:设是圆上任意一点,则, 设点在矩阵对应的变换下所得的点为,则, 即,解得, ………………5分 代入,得,即为所求的曲线方程. ………………10分 (C)解:以极点O为原点,极轴为轴建立平面直角坐标系, 由,得, 得直线的直角坐标方程为. ………………5分 曲线,即圆, 所以圆心到直线的距离为. 因为直线与曲线()相切,所以,即. ……………10分 (D)解:由柯西不等式,得, 即. 而,所以,所以, ………………5分 由,得,所以当且仅当时,. 所以当取最大值时的值为. ………………10分 22.解:(1)因为是菱形,所以.又底面,以为原点,直线 分别为轴,轴,轴,建立如图所示空间直角坐标系. 则,,,,. M A B C D O P 第22题图 x y z 所以,,, ,. 则. 故直线与所成角的余弦值为. ………5分 (2),. 设平面的一个法向量为, 则,得,令,得,. 得平面的一个法向量为. 又平面的一个法向量为,所以,,. 则. 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. ………………10分 23.解:(1)由条件, ①, 在①中令,得. ………………1分 在①中令,得,得. ………………2分 在①中令,得,得. ………………3分 (2)猜想=(或=). ………………5分 欲证猜想成立,只要证等式成立. 方法一:当时,等式显然成立, 当时,因为, 故. 故只需证明. 即证. 而,故即证 ②. 由等式可得,左边的系数为. 而右边, 所以的系数为. 由恒成立可得②成立. 综上,成立. ………………10分 方法二:构造一个组合模型,一个袋中装有个小球,其中n个是编号为1,2,…,n的白球,其余n-1个是编号为1,2,…,n-1的黑球,现从袋中任意摸出n个小球,一方面,由分步计数原理其中含有个黑球(个白球)的n个小球的组合的个数为,,由分类计数原理有从袋中任意摸出n个小球的组合的总数为. 另一方面,从袋中个小球中任意摸出n个小球的组合的个数为. 故,即②成立. 余下同方法一. ………………10分 方法三:由二项式定理,得 ③. 两边求导,得 ④. ③×④, 得 ⑤. 左边的系数为. 右边的系数为 . 由⑤恒成立,可得. 故成立. ………………10分 收集于网络,如有侵权请联系管理员删除- 配套讲稿:
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