初中数学最值问题-专题复习课程.doc

初中数学最值问题 专题

精品资料
中考数学最值问题
【例题1】（经典题）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为　 　．
【例题2】（2018江西）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是　 　．

【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值；
（4）若点Q为线段OC上的一动点，问AQ＋QC是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

练 习
1.（2018河南）要使代数式有意义，则x的（ ）
A.最大值为 B.最小值为 C.最大值为 D.最大值为
2.（2018四川绵阳）不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。
3.（2018齐齐哈尔）设a、b为实数，那么的最小值为_______。
4.（2018云南）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为　 　．

5.（2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
时间(天)
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售价(元/斤)
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格

销量(斤)
80－3x
120－x
储存和损耗费用(元)
40＋3x
3x2－64x＋400
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第
15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为，。
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
7.（2018吉林）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？
8.（经典题）求的最大值与最小值。
9.（经典题）求代数式的最大值和最小值。
10.（经典题）求函数的最大值。
11. （2018山东济南）已知x、y为实数，且满足，，求实数m最大值与最小值。
12.（2019年黑龙江省大庆市）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？

13.（2019年宁夏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．
（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；
（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；
（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．

本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．
14. （2019广东深圳）如图所示，抛物线过点A（－1，0），点C（0，3），且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值，
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标．

15.（2019广西省贵港）已知：是等腰直角三角形，，将绕点顺时针方向旋转得到△，记旋转角为，当时，作，垂足为，与交于点．

（1）如图1，当时，作的平分线交于点．
①写出旋转角的度数；
②求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，设是直线上的一个动点，连接，，若，求线段的最小值．（结果保留根号）.
16.（2019贵州省安顺市）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

17.（2019广西贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过，，三点．
（1）求，两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．

18.（2019内蒙古赤峰）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

19.（2019•湘潭）如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0，）三点

（1）求该抛物线的解析式；
（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≤y2，求P点横坐标x1的取值范围；
（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．
20.（2019•辽阳）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．

【例题1】（经典题）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为　 　．
【答案】﹣4．
【解析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答．
二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），
所以最小值为﹣4．
【例题2】（2018江西）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是　 　．

【答案】．
【解析】根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．

如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN=BC，
∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，
连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，
∵BC′是⊙O的直径，
∴∠BAC′=90°．
∵∠ACB=45°，AB=5，
∴∠AC′B=45°，
∴BC′===5，
∴MN最大=．
【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值；
（4）若点Q为线段OC上的一动点，问AQ＋QC是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

【思路分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a、b、c的值（当然用两根式做更方便）；（2）先证四边形AMBD为矩形，再证该矩形有一组邻边相等，即可证明该四边形为正方形；（3）如答图2，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点E，令P(m，m2－4m＋3)，易知直线BC的解析式为y＝－x＋3，则E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m．再由S△PBC＝S△PBE＋S△CPE，转化为PE•OB＝×3×(－m2＋3m)，最后将二次函数化为顶点式即可锁定S△PBC的最大值与点P坐标；（4）解决本问按两步走：一找（如答图3，设OQ＝t，则CQ＝3－t，AQ＋QC＝，取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作⊙Q，则当⊙Q过点A时，AQ＋QC＝⊙Q的直径最小）、二求（由 AQ＝QC，解关于t的方程即可）．
【解题过程】（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，
∴令抛物线解析为y＝a(x－1)(x－3)．
∵该抛物线过点C(0，3)，
∴3＝a×(0－1)×(0－3)，解得a＝1．
∴抛物线的解析式为y＝(x－1)(x－3)，即y＝x2－4x＋3．
∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴抛物线的顶点D的坐标为(2，－1)．
综上，所求抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3，顶点坐标为(2，－1)．
（2）如答图1，连接AD、BD，易知DA＝DB．
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠MBA＝45°．
∵D(2，－1)，A(3，0)，
∴∠DBA＝45°．
∴∠DBM＝90°．
同理，∠DAM＝90°．
又∵AM⊥BC，
∴四边形ADBM为矩形．
又∵DA＝DB，
∴四边形ADBM为正方形．
图1

（3）如答图2，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点E，令P(m，m2－4m＋3)，易知直线BC的解析式为y＝－x＋3，则E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m．
图2
图3

∵S△PBC＝S△PBE＋S△CPE＝PE•BF＋PE•OF＝PE•OB＝×3×(－m2＋3m)
＝－ (m－)2＋，
∴当m＝时，S△PBC有最大值为，此时P点的坐标为(，－)．
（4） 如答图3，设OQ＝t，则CQ＝3－t，AQ＋QC＝，
取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作⊙Q，则当⊙Q过点A时，AQ＋QC＝⊙Q的直径最小，
此时，，解得t＝－1，
于是AQ＋QC的最小值为3－t＝3－(－1)＝4－．
专题典型训练题

1.（2018河南）要使代数式有意义，则x的（ ）
A.最大值为 B.最小值为
C.最大值为 D.最大值为
【答案】A.
【解析】要使代数式有意义，必须使2-3x≥0，即x≤，所以x的最大值为。
2.（2018四川绵阳）不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。
【答案】5
【解析】设a、b、c三边上高分别为4、12、h
因为，所以
又因为，代入
得，所以
又因为，代入
得，所以
所以3<h<6，故整数h的最大值为5。
3.（2018齐齐哈尔）设a、b为实数，那么的最小值为_______。
【答案】-1
【解析】

当，，即时，
上式等号成立。故所求的最小值为－1。
4.（2018云南）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为　 　．

【答案】2．
【解析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，

连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，
∴=，
∵∠AMN=40°，
∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，
∴∠A′OB=120°，
过O作OQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′OQ中，OA′=2，
∴A′B=2A′Q=2，
即PA+PB的最小值2．
5.（2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
时间(天)
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售价(元/斤)
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格

销量(斤)
80－3x
120－x
储存和损耗费用(元)
40＋3x
3x2－64x＋400
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第
15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
【答案】看解析。
【解析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为10(1－x)，第二次降价后的价格为10(1－x)2，进而可得方程；（2）分两种情况考虑，先利用“利润＝(售价－进价)×销量－储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论；（3）设第15天在第14天的价格基础上降a元，利用不等关系“（2）中最大利润－[(8.1－a－4.1)×销量－储存和损耗费用]≤127.5”求解．
解答：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，依题意得：
10(1－x)2＝8.1．
解方程得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)
答：该种水果每次降价的百分率为10%．
（2） 第一次降价后的销售价格为：10×(1－10%)＝9(元/斤)，
当1≤x＜9时，y＝(9－4.1)(80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352；
当9≤x＜15时，y＝(8.1－4.1)(120－x)－(3x2－64x＋400)＝－3x2＋60x＋80，
综上，y与x的函数关系式为：y＝
当1≤x＜9时，y＝－17.7x＋352，∴当x＝1时，y最大＝334.3(元)；
当9≤x＜15时，y＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，∴当x＝10时，y最大＝380(元)；
∵334.3＜380，∴在第10天时销售利润最大．
（3）设第15天在第14天的价格上最多可降a元，依题意得：
380－[(8.1－a－4.1)(120－15)－(3×152－64×15＋400)]≤127.5，
解得：a≤0.5，
则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元．
6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为，。
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】看解析。
【解析】（1）根据题意得：

整理得
解得，（不合题意，舍去）
（2）由题意知，利润为

所以当时，最大利润为1950元。
7.（2018吉林）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？
【答案】看解析。
【解析】设招聘甲种工种的工人为x人，则乙种工种的工人为人，
由题意得： 所以
设所招聘的工人共需付月工资y元，
则有： （）
因为y随x的增大而减小
所以当时，（元）
8.（经典题）求的最大值与最小值。
【答案】最大值是3，最小值是。
【解析】此题要求出最大值与最小值，直接求则较困难，若根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。
设，整理得
即
因为x是实数，所以
即
解得
所以的最大值是3，最小值是。
9.（经典题）求代数式的最大值和最小值。
【答案】最大值为1/2，最小值为-1/2.
【解析】设，，再令，，则有

所以得y的最大值为1/2，最小值为-1/2.
10.（经典题）求函数的最大值。
【答案】0
【解析】本题先用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
易知该函数有两个零点、
当时

当时

当时，得

当时，
综上所述，当时，y有最大值为
11. （2018山东济南）已知x、y为实数，且满足，，求实数m最大值与最小值。
【答案】 m的最大值是，m的最小值是－1。
【解析】由题意得
所以x、y是关于t的方程的两实数根，
所以
即
解得
m的最大值是，m的最小值是－1。
12.（2019年黑龙江省大庆市）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？

【答案】见解析。
【解析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．
（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式.
动点D运动x秒后，BD＝2x．
又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．
（2）由S＝•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．
S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．
当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．
13.（2019年宁夏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．
（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；
（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；
（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．

【答案】见解析。
【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键．
（1）∵MQ⊥BC，
∴∠MQB＝90°，
∴∠MQB＝∠CAB，又∠QBM＝∠ABC，
∴△QBM∽△ABC；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；
当BQ＝MN时，四边形BMNQ为平行四边形，
∵MN∥BQ，BQ＝MN，
∴四边形BMNQ为平行四边形；
（3）根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可．
∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵△QBM∽△ABC，
∴＝＝，即＝＝，
解得，QM＝x，BM＝x，
∵MN∥BC，
∴＝，即＝，
解得，MN＝5﹣x，
则四边形BMNQ的面积＝×（5﹣x+x）×x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．
14. （2019广东深圳）如图所示，抛物线过点A（－1，0），点C（0，3），且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值，
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标．

【思路分析】（1）先求出点B的坐标，然后把A、B、C三点坐标代入解析式得出方程组，解方程组即可得出a，b，c的值，得解析式，再用配方法或对称轴公式或中点公式可得对称轴方程；（2）利用轴对称原理作出点C的对称点，求出四边形CDEA的周长的最小值；（3）方法1：设CP与x轴交于点E，先根据面积关系得出BE：AE=3:5或5:3，求出点E的坐标，进而求出直线CE的解析式，解直线CE与抛物线的解析式联立所得的方程组求出点P的坐标；方法2：设P（x，－x2+2x+3），用含x的式子表示四边形CBPA的面积，然后求出CB的解析式，再用含x的式子表示出△CBP的面积，利用面积比建立方程，解方程求出x的值，得出P的坐标．
【解题过程】（1）∵点C（0，3），OB=OC，∴点B（3，0）．
把A（－1，0），C（0，3），B（3，0）代入，得
解得
∴抛物线的解析式为y=－x2+2x+3．
∵y=－x2+2x+3=－（x－1）2+4，
∴抛物线的对称轴为x=1．
（2）如图，作点C关于x=1的对称点C′（2，3），则CD=C′D．
取A′（－1，1），又∵DE=1，可证A′D=AE．
在Rt△AOC中，AC===．
四边形ACDE的周长=AC+DE+CD+AE =+1+CD+AE．
要求四边形ACDE的周长的最小值，就是求CD+AE的最小值．
∵CD+AE=C′D+A′D，
∴当A′D，C′三点共线时，C′D+A′D有最小值为，
∴四边形ACDE的周长的最小值=+1+．

（3）方法1：由题意知点P在x轴下方，连接CP，设PC与x轴交于点E，
∵直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，
又∵S△CBE：S△CAE=S△PBE：S△PAE=BE：AE，
∴BE：AE=3:5或5:3，
∴点E1（，0），E2（，0）．
设直线CE的解析式为y=kx+b，（，0）和（0，3）代入，得
解得
∴直线CE的解析式为y=－2x+3．
同理可得，当E2（，0）时，直线CE的解析式为y=－6x+3．
由直线CE的解析式和抛物线的解析式联立解得P1（4，－5），P2（8，－45）.

方法2：由题意得S△CBP=S四边形CBPA或S△CBP=S四边形CBPA．
令P（x，－x2+2x+3），
S四边形CBPA=S△CAB+S△PAB=6+×4·（x2－2x－3）=2x2－4x．
直线CB的解析式为y=－x+3，
作PH∥y轴交直线CB于点H，则H（x，－x+3），
S△CBP=OB·PH=×3·（－x+3+x2－2x－3）=x2－x．
当S△CBP=S四边形CBPA时，x2－x=（2x2－4x），
解得x1=0（舍），x2=4，
∴P1（4，－5）．
当S△CBP=S四边形CBPA时，x2－x=（2x2－4x），
解得x3=0（舍），x4=8，
∴P2（8，－45）．

15.（2019广西省贵港）已知：是等腰直角三角形，，将绕点顺时针方向旋转得到△，记旋转角为，当时，作，垂足为，与交于点．

（1）如图1，当时，作的平分线交于点．
①写出旋转角的度数；
②求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，设是直线上的一个动点，连接，，若，求线段的最小值．（结果保留根号）.
【思路分析】（1）①解直角三角形求出即可解决问题．
②连接，设交于点．在时截取，连接．首先证明是等边三角形，再证明△，即可解决问题．
（2）如图2中，连接，，，作交的延长线于．证明△△，推出，推出，关于对称，推出，推出，求出即可解决问题．
【解题过程】（1）①解：旋转角为．
理由：如图1中，

，
，
，
，
，
旋转角为．
②证明：连接，设交于点．在时截取，连接．
，
，
平分，
，
，
，，
△，
，
，
，
，
，
△是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
△，
，
．
（2）解：如图2中，连接，，，作交的延长线于．

由②可知，，，，
△△，
，
，关于对称，
，
，
在△中，，，
，，
．
的最小值为．
16.（2019贵州省安顺市）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路分析】（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）分当点B、C、M三点不共线时、当点B、C、M三点共线时，两种情况分别求解即可；
（3）分当时、当时两种情况，分别求解即可．
【解题过程】（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：
，解得：，
∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；
（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，
∵A （0，3），∴B（﹣4，1）
①当点B、C、M三点不共线时，
|MB﹣MC|＜BC
②当点B、C、M三点共线时，
|MB﹣MC|＝BC
∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，
过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，

∴|MB﹣MC|取最大值为；
（3）存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
设点P坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）
在Rt△BEC中，∵BE＝CE＝1，∴∠BCE＝45°，
在Rt△ACO中，∵AO＝CO＝3，∴∠ACO＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣450﹣450＝900，AC＝3，
过点P作PQ⊥PA于点P，则∠APQ＝90°，
过点P作PQ⊥y轴于点G，∵∠PQA＝∠APQ＝90°
∠PAG＝∠QAP，∴△PGA∽△QPA
∵∠PGA＝∠ACB＝90°
∴①当时，
△PAG∽△BAC，
∴，
解得x1＝1，x2＝0，（舍去）
∴点P的纵坐标为×12+×1+3＝6，
∴点P为（1，6）；
②当时，
△PAG∽△ABC，
∴，
解得x1＝﹣（舍去），x2＝0（舍去），
∴此时无符合条件的点P
综上所述，存在点P（1，6）．
17.（2019广西贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过，，三点．
（1）求，两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．

【思路分析】（1），即可求解；
（2）抛物线的表达式为：，即可求解；
（3），即可求解．
【解题过程】（1），
故点、的坐标分别为、；
（2）抛物线的表达式为：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（3）直线过点，设其函数表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：，
故直线的表达式为：，
过点作轴的平行线交于点，

，，
轴，，
设点，则点，
，
，有最大值，当时，其最大值为，
此时点．
18.（2019内蒙古赤峰）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

【思路分析】（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，即可求解；
（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解．
【解题过程】（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）；
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，

函数顶点坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），
将CD的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为：y＝7x﹣3，
当y＝0时，x，故点E（，x）；
（3）①当点P在x轴上方时，如下图2，

∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，
过点B作BH⊥AH，设PH＝AH＝m，
则PB＝PAm，
由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，
16＝m2+（m﹣m）2，解得：m（负值已舍去），
则PBm＝1，
则yP；
②当点P在x轴下方时，
则yP＝﹣（）；
故点P的坐标为（1，）或（1，）．
19.（2019•湘潭）如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0，）三点

（1）求该抛物线的解析式；
（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≤y2，求P点横坐标x1的取值范围；
（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．
【分析】（1）将三个点的坐标代入，求出a、b、c，即可求出关系式；
（2）可以求出点Q（4，y2）关于对称轴的对称点的横坐标为：x＝﹣2，根据函数的增减性，可以求出当y1≤y2时P点横坐标x1的取值范围；
（3）由于点F是BC的中点，可求出点F的坐标，根据对称找出F关于直线CD、CE的对称点，连接两个对称点的直线与CD、CE的交点M、N，此时三角形的周长最小，周长就等于这两个对称点之间的线段的长，根据坐标，和勾股定理可求．
【解答】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）B（3.0）、C（0，）三点
∴解得：a＝，b＝，c＝；
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x+．
（2）抛物线的对称轴为x＝1，抛物线上与Q（4，y2）相对称的点Q′（﹣2，y2）
P（x1，y1在该抛物线上，y1≤y2，根据抛物线的增减性得：
∴x1≤﹣2或x1≥4
答：P点横坐标x1的取值范围：x1≤﹣2或x1≥4．
（3）∵C（0，），B，（3，0），D（1，0）
∴OC＝，OB＝3，OD，＝1
∵F是BC的中点，∴F（，）
当点F关于直线CE的对称点为F′，关于直线CD的对称点为F″，直线F′F″与CE、CD交点为M、N，此时△FMN的周长最小，周长为F′F″的长，由对称可得到：F′（，），F″（0，0）即点O，
F′F″＝F′O＝＝3，
即：△FMN的周长最小值为3，

20.（2019•辽阳）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）S△ACQ＝×DQ×BC，即可求解；
（3）分EC是菱形一条边、EC是菱形一对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
则点A（1，4）；
（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6，
点P（1，4﹣t），则点D（，4﹣t），设点Q（，4﹣），
S△ACQ＝×DQ×BC＝﹣t2+t，
∵﹣＜0，故S△ACQ有最大值，当t＝2时，其最大值为1；
（3）设点P（1，m），点M（x，y），
①当EC是菱形一条边时，
当点M在x轴下方时，
点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C，
则点P平移3个单位、向下平移3个单位得到M，
则1+3＝x，m﹣3＝y，
而MP＝EP得：1+（m﹣3）2＝（x﹣1）2+（y﹣m）2，
解得：y＝m﹣3＝，
故点M（4，）；
当点M在x轴上方时，
同理可得：点M（﹣2，3+）；
②当EC是菱形一对角线时，
则EC中点即为PM中点，
则x+1＝3，y+m＝3，
而PE＝PC，即1+（m﹣3）2＝4+（m﹣2）2，
解得：m＝1，
故x＝2，y＝3﹣m＝3﹣1＝2，
故点M（2，2）；
综上，点M（4，）或（﹣2，3+）或M（2，2）．

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢34