高中数学：柯西不等式演示教学.doc

高中数学：柯西不等式

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类型一：利用柯西不等式求最值
例1．求函数的最大值
解：∵且， 函数的定义域为，且，

即时函数取最大值，最大值为
法二：∵且， ∴函数的定义域为
由，得
即，解得∴时函数取最大值，最大值为.
当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解
【变式1】设　且，求的最大值及最小值。
　利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10
【变式2】已知，，求的最值.
　法一：由柯西不等式

于是的最大值为，最小值为.
法二：由柯西不等式

于是的最大值为，最小值为.
【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．
　根据柯西不等式
　　，
　　故。
　当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，
　变式4：设= (1，0，- 2)，= (x，y，z)，若x2 + y2 + z2 = 16，则的最大值为　　　　　。
【解】∵　= (1，0，- 2)，= (x，y，z)　∴　．= x - 2z
由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x2 + y2 + z2) ³ (x + 0 - 2z)2
Þ　5 ´ 16 ³ (x - 2z)2　Þ　- 4£ x £ 4
Þ　- 4£ ． £ 4，故．的最大值为4:
变式5：设x，y，z Î R，若x2 + y2 + z2 = 4，则x - 2y + 2z之最小值为　　时，(x，y，z) = 　　　　　
解(x - 2y + 2z)2 £ (x2 + y2 + z2)[12 + ( - 2) 2 + 22] = 4．9 = 36
∴　x - 2y + 2z最小值为 - 6，公式法求 (x，y，z) 此时 ∴　，，
变式6：设x, y, zR，若，则之最小值为________，又此时________。
解析：∴最小值

　　　∴　　　∴
变式7：设a，b，c均为正数且a + b + c = 9，则之最小值为　　　　　
解： ()(a + b + c)
Þ　()．9 ³ (2 + 3 + 4)2 = 81 Þ　³ = 9
变式8：设a, b, c均为正数，且，则之最小值为________
解：:
　　　∴，最小值为18
变式9：设x，y，z Î R且，求x + y + z之最大、小值:
【解】∵　由柯西不等式知
[42+（)2 + 22] ³
　Þ　25 ´ 1 ³ (x + y + z - 2)2　Þ　5 ³ |x + y + z - 2| Þ　- 5 £ x + y + z - 2 £ 5　∴　- 3 £ x + y + z £ 7
故x + y + z之最大值为7，最小值为 - 3
类型二：利用柯西不等式证明不等式
　基本方法：（1）巧拆常数 （例1） （2）重新安排某些项的次序（例2）
（3）改变结构 （例3） （4）添项（例4）
例1．设、、为正数且各不相等，求证：

　　又、、各不相等，故等号不能成立∴。
例2．、为非负数，+=1，，求证：
　∴
　　即
例3．若>>，求证：
解：，，∴，∴所证结论改为证

　　∴
例4．，求证：
　左端变形，
∴只需证此式即可。

【变式1】设a,b,c为正数，求证：．
　，即。
　同理，．　将上面三个同向不等式相加得，
　．
【变式2】设a,b,c为正数，求证：　　
于是即
【变式3】已知正数满足 证明。
解：　
又因为
　　在此不等式两边同乘以2，再加上得：
，故。
类型三：柯西不等式在几何上的应用
6．△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：

　　证明：由三角形中的正弦定理得，所以，
　　　　　同理，
于是左边=　。
【变式】ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形内部一点，P到三边的距离分別为x，y，z，求的最小值。

　　且
　　4x+5y+6z=
　　由柯西不等式(4x+5y+6z)2≥(x2+y2+z2)(42+52+62)
　　≥(x2+y2+z2)×77x2+y2+z2≥。
柯西不等式

等号当且仅当或时成立（k为常数，）
利用柯西不等式可处理以下问题：
1） 证明不等式
例2:已知正数满足 证明
证明：

又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得：
故
2） 解三角形的相关问题
例3 设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明
证明：
记为的面积，则

3） 求最值
例4已知实数满足， 试求的最值
解： 即
由条件可得，
解得，当且仅当 时等号成立，
代入时，
时
5）利用柯西不等式解方程
例5．在实数集内解方程
解： ①

又,.
即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得
，它与联立，可得

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