高中数学常见的知识类比复习进程.doc
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1、高中数学常见的知识类比精品文档专题 高中数学常见的知识类比一、类比的定义:由两类对象具有某些类似特征,和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的一般步骤: 找出两类事物之间的相似性或一致性;用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);一般地,事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的,而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似,那么它们在另一些性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的;在一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题
2、就越可靠。类比推理的特点:类比是人们已经掌握了事物的属性,推测正在研究的事物的属性,它以已有认识作基础,类比出新的结果;类比是从一种事物的特殊属性推测出另一种事物的特殊属性;类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却具有发现的功能二、常见的几种类比:代数方面:加乘,减除,乘乘方,除开方,实数与向量.数与式(分数对分式、整数对整式、有理数对有理式).等式不等式,等差数列等比数列等等。几何方面:平面(二维)立体(三维),线段面,面积体积,平面角二面角.解析几何方面:圆椭圆,椭圆双曲线【1】 类比实数的加法和乘法,并列出它们类似的性质。类比角度实数的加法实数的乘法运算结果若a,bR,则a+bR若a,b
3、R,则abR运算律(交换律和结合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)ab=ba(ab)c=a(bc)逆运算加法的逆运算是减法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a乘法的逆运算是除法,使得ax=1有唯一解x=1/a单位元a+0=aa1=a【2】根据等式的性质猜想不等式的性质等式的性质: 猜想不等式的性质:(1) a=ba+c=b+c; (1) aba+cb+c;(2) a=b ac=bc; (2) ab acbc;(3) a=ba2=b2;等等。 (3) aba2b2;等等【3】实数系与向量系的类比:实数系向量系实数0、单位1 数a的相反数a实数a的绝对值| a |零向量、单位向量向量
4、的相反向量向量的模|运算规律:交换律:abba结合律:(ab)ca(bc),(ab)ca(bc)分配律:a(bc)abac消去律:若abac,a0,则bc若ab0,则a0,或b0公式:(ab)(ab)=a2b2(ab)2a22abb2 | ab | a | b |运算规律:交换律:结合律:()() ()()(乘法不满足)分配律:()不满足消去律:若,那么与不一定相等.若0,那么不一定或. 公式:()()22 ()2222 | a | b | ab | a | b |【4】利用平面向量的性质类比空间向量的性质【5】平面几何与立体几何的类比:平面几何立体几何角及角平分线二面角及角平分面线段的垂直平
5、分线线段的垂直平分面三角形的三条边四面体的四个面平行四边形对角线相交一点,并且被平分平行六面体的对角线相交于一点,并且被平分【6】试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球弦截面圆直径大圆周长表面积面积体积圆的性质球的性质圆的周长Cpd(d为直径)球的表面积Spd2(d为球直径)圆的面积Spr2(r为半径)球的体积Vpr3(r为球半径)(这一点不是很好的类比)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两条弦长相等;与圆心距离不等的两弦不等,距
6、圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆的面积相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心引申:试通过圆与球的类比,由“半径为R的圆的内接矩形中,以正方形的面积为最大,最大值为2R2 ”,猜测关于球的相应命题为_【7】三角形与四面体的性质类比:三角形四面体三角形两边之和大于第三边四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半四面体的中位面
7、(同一顶点发出的三条棱中点确定的截面)平行于第四个面,面积等于第四个面的三角形三边的中垂线交于一点,且这一点是三角形外接圆的圆心(外心)四面体的六条棱的中垂面(经过棱的中点且垂直于棱的平面)交于一点,且这一点是四面体外接球的球心,(或经过各个面三角形外心且垂直该面的垂线交于一点,这一点是四面体外接球的球心)三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心(内心)四面体的四个面构成的六个二面角的平分面交于一点,且这个点是四面体的内切球的球心三角形的三条中线相交于一点(重心),这点把每条中线分成2:1.四面体的每个顶点与对面三角形的重心的连线相交于一点(重心),且被该点分成3:1三角形
8、的面积Sah四面体的体积VSh三角形的面积为(r为三角形内切圆的半径,a,b,c为三角形三边长)则四面体的体积为V=R(S1+S2+S3+S4)(R为四面体内切球半径,S1,S2,S3,S3分别为四个面的面积【8】直角三角形与直角四面体的类比:直角三角形直角四面体(在四面体中,若有一顶点发出的三条棱两两互相垂直,则改四面体成为直角四面体)如图,RtCAB中,C90,OABcabhH如图,在四面体OABC中,OAOB,OBOC,OCOA,O为直角顶点:OABCHabcAB2OA2OB2(c2a2b2)S2ABCS2OABS2OBCS2OCAcos2Acos2B1cos2acos2bcos2g1(
9、a、b、g是侧面与底面所成的角)外接圆半径R外接球半径R内切圆半径r内切球半径r【9】等差数列与等比数列的类比:等差数列an(公差为d)等比数列bn(公比为q)通项:ana1(n1)d通项:bnb1qn1aman(mn)dqmn若a10,s,t是互不相等的正整数,则有(s1)at(t1)as若b10,s,t是互不相等的正整数,则有bts1bst1若mnpr,其中m、n、p、rN*,则amanapar若mnpr,其中m、n、p、rN*,则bmbnbpbr若mn2p,其中m、n、pN*,aman2ap若mn2p,其中m、n、pN*,bmbnbp2Sn,S2nSn,S3nS2n构成等差数列Sn,S2
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