福建省莆田市中考数学二检试卷复习进程.doc

2019年福建省莆田市中考数学二检试卷

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2019年福建省莆田市中考数学二检试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）下列四个数中，最大的数是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．|﹣3|
2．（4分）下列几何体中，俯视图为三角形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）下列式子中，可以表示为2﹣3的是（　　）
A．22÷25 B．25÷22
C．22×25 D．（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）
4．（4分）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
5．（4分）若4＜k＜5，则k的可能值是（　　）
A． B． C．2 D．
6．（4分）点E（m，n）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标（m+1，n﹣1）对应的点可能是（　　）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
7．（4分）某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（　　）
A．平均数变小，中位数变小
B．平均数变小，中位数变大
C．平均数变大，中位数变小
D．平均数变大，中位数变大
8．（4分）下列直线与过（﹣2，0），（0，3）的直线的交点在第一象限的是（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝3 C．y＝﹣3 D．y＝3
9．（4分）如图，AB，AC均为⊙O的切线，切点分别为B，C，点D是优弧BC上一点，则下列关系式中，一定成立的是（　　）

A．∠A+∠D＝180° B．∠A+2∠D＝180°
C．∠B+∠C＝270° D．∠B+2∠C＝270°
10．（4分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（　　）

A．4.25分钟 B．4.00分钟 C．3.75分钟 D．3.50分钟
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分
11．（4分）莆田市政府推出“Youbike微笑自行车”的社会公共服务项目，旨在发展全民健身打造健康莆田，预计2019年年底将建设970个公共自行车租赁站点，投入自行车31000辆．将31000写成科学记数法为　 　．
12．（4分）方程组的解是　 　．
13．（4分）如图，△ABC中，AB+AC＝6，BC的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则△ACD的周长为　 　．

14．（4分）在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，任意摸出两个球，这两个球中有白球的概率是　 　．
15．（4分）尺规作图特有的魅力使无数人沉湎其中．传说拿破仑曾通过下列尺规作图将圆等分：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，两弧相交于点G；
③连接OG，以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆等分．顺次连接这些等分点构成的多边形面积为　 　．

16．（4分）如图，点P为函数y＝（x＞0）图象上一点，过点P作x轴、y轴的平行线，分别与函数y＝（x＞0）的图象交于点A、B，则△AOB的面积为　 　．

三、解答题：本大题共9小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤.
17．（8分）计算：
18．（8分）求证：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
19．（8分）化简求值，其中m＝2
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，点D，E分别在边AB，AC上，且DA＝DE＝CE．
（1）求作点F，使得四边形BDEF为平行四边形；（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（2）连接CF，写出图中经过旋转可完全重合的两个三角形，并指出旋转中心和旋转角．

21．（8分）我市“木兰溪左岸绿道”工程已全部建成并投入使用，10公里的河堤便道铺满了彩色的透水沥青，堤岸旁的各类花草争奇斗艳，与木兰溪河滩上的特色花草相映成趣，吸引着众多市民在此休闲锻炼、散步观光．某小区随机调查了部分居民在一周内前往“木兰溪左岸绿道”锻炼的次数，并制成如图不完整的统计图表：
居民前往“木兰溪左岸绿道”锻炼的次数统计表
锻炼次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　．
（2）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
（3）若该小区共有2000名居民，根据调查结果，估计该小区居民在一周内前往木兰溪左岸绿道”锻炼“4次及以上”的人数．

22．（10分）如图，在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，连接AB，CD，BC
（1）求证：∠AOB+∠COD＝180°；
（2）若AB＝8，CD＝6，求⊙O的直径．

23．（10分）直觉的误差：有一张8cm×8cm的正方形纸片，面积是64cm2．把这些纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个13cm×5cm的长方形，面积是65cm2，面积多了1cm2，这是为什么？
小明给出如下证明：如图2，可知，tan∠CEF＝，tan∠EAB＝，∵tan∠CEF＞tan∠EAB，∴∠CEF＞∠EAB，∵EF∥AB，∴∠EAB+∠AEF＝180°，∴CEF+∠AEF＞180°，因此A、E、C三点不共线．同理A、G、C三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了1cm2
（1）小红给出的证明思路为：以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成她的证明；
（2）将13cmx13cm的正方形按上述方法剪开拼合，是否可以拼合成一个长方形，但面积少了1cm2？如果能，求出剪开的三角形的短边长；如果不能，说明理由．

24．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接BD交CE于点F．
（1）如图2，当α＝45°时，求证：CF＝EF；
（2）在旋转过程中，
①问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
②连接CD，当△CDF为等腰直角三角形时，求tan的值．

25．（14分）函数y1＝kx2+ax+a的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），函数y2＝kx2+bx+b，的图象与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），其中k≠0，a≠b．
（1）求证：函数y1与y2的图象交点落在一条定直线上；
（2）若AB＝CD，求a，b和k应满足的关系式；
（3）是否存在函数y1和y2，使得B，C为线段AD的三等分点？若存在，求的值，若不存在，说明理由

2019年福建省莆田市中考数学二检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）下列四个数中，最大的数是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．|﹣3|
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小进行比较即可．
【解答】解：因为|﹣3|＝3，
四个数中最大的数是|﹣3|，
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的大小比较，关键是掌握比较大小的法则．
2．（4分）下列几何体中，俯视图为三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：A、俯视图是圆，故A不符合题意；
B、俯视图是矩形，故B不符合题意；
C、俯视图是三角形，故C符合题意；
D、俯视图是四边形，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
3．（4分）下列式子中，可以表示为2﹣3的是（　　）
A．22÷25 B．25÷22
C．22×25 D．（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）
【分析】根据整数指数幂的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝22﹣5＝2﹣3；
（B）原式＝25﹣2＝23；
（C）原式＝22+5＝27；
（D）原式＝（﹣2）3＝﹣23；
故选：A．
【点评】本题考查指数幂的运算，解题的关键是熟练运用指数幂的运算法则，本题属于基础题型．
4．（4分）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】由DE∥AF得∠AFD＝∠CDE＝40°，再根据三角形的外角性质可得答案．
【解答】解：由题意知DE∥AF，
∴∠AFD＝∠CDE＝40°，
∵∠B＝30°，
∴∠BAF＝∠AFD﹣∠B＝40°﹣30°＝10°，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等与三角形外角的性质．
5．（4分）若4＜k＜5，则k的可能值是（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】利用平方法比较数的大小，因为16＜k2＜25，将、、2、分别平方即可求解．
【解答】解：∵4＜k＜5，
∴16＜k2＜25，
∵，，，，
∴满足给定的范围，
故选：D．
【点评】本题考查无理数的估算；熟练掌握利用平方法比较无理数是解题的关键．
6．（4分）点E（m，n）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标（m+1，n﹣1）对应的点可能是（　　）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【分析】由（m，n）移动到（m+1，n﹣1），横坐标向右移动1个单位，纵坐标向下移动1个单位，依此观察图形即可求解．
【解答】解：（m+1）﹣m＝1，
n﹣（n﹣1）＝1，
则点E（m，n）到（m+1，n﹣1）横坐标向右移动1单位，纵坐标向下移动1个单位．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，解题的关键是得到点的坐标移动的规律．
7．（4分）某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（　　）
A．平均数变小，中位数变小
B．平均数变小，中位数变大
C．平均数变大，中位数变小
D．平均数变大，中位数变大
【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数和中位数即可得．
【解答】解：原数据的平均数为×（180+184+188+190+192+194）＝188，中位数为＝189，
新数据的平均数为×（180+184+188+190+186+194）＝187，中位数为＝187，
所以平均数变小，中位数变小，
故选：A．
【点评】本题主要考查中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．
8．（4分）下列直线与过（﹣2，0），（0，3）的直线的交点在第一象限的是（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝3 C．y＝﹣3 D．y＝3
【分析】根据两个点判断满足条件x、y的范围x＞0，y＞3，结合选项即可；
【解答】解：与过（﹣2，0），（0，3）的直线的交点在第一象限，
∴x＞0，y＞3，
因此x＝3满足条件，
故选：B．
【点评】本题考查平面内点坐标的特点，一次函数图象的特点；能够由已知的点确定满足条件的x、y的范围是解题的关键．
9．（4分）如图，AB，AC均为⊙O的切线，切点分别为B，C，点D是优弧BC上一点，则下列关系式中，一定成立的是（　　）

A．∠A+∠D＝180° B．∠A+2∠D＝180°
C．∠B+∠C＝270° D．∠B+2∠C＝270°
【分析】①连接OB，OC，由AB与AC为圆O的切线，根据切线的性质得到AB垂直于OB，AC垂直于OC，利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半得出∠BOC＝2∠D，在四边形ABOC中，∠A+∠BOC＝360°﹣（∠ABO+∠ACO）＝180°，即可判断A、B；
②连接OB、BC，OC，延长BO交圆于E，根据圆周角定理得出∠BDE＝90°，∠E＝∠BCD，则∠DBE+∠E＝90°，进而得出∠ABD+∠ACD＜270°，∠ABD+∠ACD+∠OCB＝270°，即可判断C、D．
【解答】解：①连接OB，OC，如图1所示：

∵AB，AC分别为圆O的切线，
∴AB⊥OB，AC⊥OC，
∴∠ABO＝∠ACO＝90°，
∴∠A+∠BOC＝360°﹣（∠ABO+∠ACO）＝180°，
∵∠BOC＝2∠D，
∴∠A+2∠D＝180°，故A不成立，B成立；

②连接OB、BC，OC，延长BO交圆于E，如图2所示：

∵BE是直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBE+∠E＝90°，
∵∠ABO＝∠ACO＝90°，∠E＝∠BCD，
∴∠ABO+∠DBE+∠BCD＝180°，
∴∠ABO+∠DBE+∠BCD+∠ACO＝270°，
∵∠ACB＜∠ACO，
∴∠ABO+∠DBE+∠BCD+∠ACB＜270°，
即∠ABD+∠ACD＜270°，∠ABD+∠ACD+∠OCB＝270°，
∵∠OCB＜∠ACD，故C、D都不成立．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及四边形的内角和，作出辅助线根据直角三角形是解题的关键．
10．（4分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（　　）

A．4.25分钟 B．4.00分钟 C．3.75分钟 D．3.50分钟
【分析】先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案．
【解答】解：由题意知，函数p＝at2+bt+c经过点（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5），
则，
解得：，
∴p＝at2+bt+c＝﹣0.2t2+1.5t﹣2＝﹣0.2（t﹣3.75）2+0.8125，
∴最佳加工时间为3.75分钟，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分
11．（4分）莆田市政府推出“Youbike微笑自行车”的社会公共服务项目，旨在发展全民健身打造健康莆田，预计2019年年底将建设970个公共自行车租赁站点，投入自行车31000辆．将31000写成科学记数法为　3.1×104　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：31000＝3.1×104，
故答案为：3.1×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（4分）方程组的解是　　．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：3x＝6，即x＝2，
将x＝2代入①得：y＝0，
则方程组的解为．
故答案为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
13．（4分）如图，△ABC中，AB+AC＝6，BC的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则△ACD的周长为　6　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质求出BD＝CD，求出△ACD的周长＝AC+AB，代入求出即可．
【解答】解：∵BC的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，
∴BD＝CD，
∵AB+AC＝6，
∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线的性质求出BD＝CD是解此题的关键．
14．（4分）在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，任意摸出两个球，这两个球中有白球的概率是　　．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个球中有白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：依题意画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，这两个球中有白球的有4种情况，
∴这两个球中有白球的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（4分）尺规作图特有的魅力使无数人沉湎其中．传说拿破仑曾通过下列尺规作图将圆等分：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，两弧相交于点G；
③连接OG，以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆等分．顺次连接这些等分点构成的多边形面积为　2r2　．

【分析】利用作法得到六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，则∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，利用特殊角的三角函数值得到CD＝r，AC＝r，再利用作法得到GO⊥AD，利用勾股定理得到OG＝r，然后判断以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆4等分，顺次连接这些等分点构成的多边形为正方形，再利用正方形的面积公式计算即可．
【解答】解：连接AD、AC、AG，如图，
∵将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点，
∴∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝r，AC＝r，
∵GA＝GD，
∴GO⊥AD，
∴OG＝＝r，
以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆4等分，顺次连接这些等分点构成的多边形为正方形，
∴这个多边形面积＝r•r＝2r2．
故答案为2r2．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了正多边形和圆．
16．（4分）如图，点P为函数y＝（x＞0）图象上一点，过点P作x轴、y轴的平行线，分别与函数y＝（x＞0）的图象交于点A、B，则△AOB的面积为　24　．

【分析】作AD⊥x轴于D，设PB⊥x轴于E，设P（m，），则A（5m，），B（m，），然后根据S△AOB＝S四边形ABOD﹣S△OAD＝S四边形ABOD﹣S△OBE＝S梯形ABED，求得即可．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，设PB⊥x轴于E，
∵点P为函数y＝（x＞0）图象上一点，过点P作x轴、y轴的平行线，
∴设P（m，），则A（5m，），B（m，），
∵点A、B在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△OBE＝S△OAD，
∵S△AOB＝S四边形ABOD﹣S△OAD＝S四边形ABOD﹣S△OBE＝S梯形ABED，
∴S△AOB＝（+）（5m﹣m）＝24，
故答案为24．

【点评】本题考查反比例函数中比例系数k的几何意义，证得S△AOB＝S梯形ABED是解题的关键．
三、解答题：本大题共9小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤.
17．（8分）计算：
【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、开立方3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝1﹣2+＝﹣．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、立方根、特殊角的三角函数值等考点的运算．
18．（8分）求证：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【分析】结合已知条件，根据全等三角形的判定和性质，推出△POE≌△POF即可．
【解答】已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，
求证：PE＝PF
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠POE＝∠POF，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠PEO＝∠PFO，
在△POE和△POF中

∴△POE≌△POF（AAS），
∴PE＝PF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解题的关键在于找到对应角相等、公共边．
19．（8分）化简求值，其中m＝2
【分析】对分式进行化简后再将m＝2代入，进行计算得出分式的值即可．
【解答】解：
＝（）÷
＝×
＝
当m＝2时，上式＝＝
故当m＝2时，原式的值为．
【点评】本题考查的是实数的综合运算以及分式的化简求值，重点是运算过程中不能出现纰漏，按运算顺序正确计算是关键．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，点D，E分别在边AB，AC上，且DA＝DE＝CE．
（1）求作点F，使得四边形BDEF为平行四边形；（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（2）连接CF，写出图中经过旋转可完全重合的两个三角形，并指出旋转中心和旋转角．

【分析】（1）作∠DBF＝∠ADE，截取BF＝DE，则四边形BDEF为平行四边形；
（2）利用平行四边形的性质得到EF＝BD，EF∥BD，则可证明AE＝FE，再利用平行线的性质得到∠FEC＝∠A＝80°，利用等腰三角形的性质得到∠DEA＝∠A＝80°，所以∠AEF＝∠DEC＝100°，然后利用旋转的定义求解．
【解答】解：（1）如图，四边形BDEF为所作；

（2）∵四边形BDEF为平行四边形，
∴EF＝BD，EF∥BD，
∵AB＝AC，AD＝CE，
∴BD＝AE，
∴AE＝FE，
∵EF∥AB，
∴∠FEC＝∠A＝80°，
而∠DEA＝∠A＝80°，
∴∠AEF＝∠DEC＝100°，
∴△EAD绕点E逆时针旋转100°可得到△EFC．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平行四边形的判定与性质．
21．（8分）我市“木兰溪左岸绿道”工程已全部建成并投入使用，10公里的河堤便道铺满了彩色的透水沥青，堤岸旁的各类花草争奇斗艳，与木兰溪河滩上的特色花草相映成趣，吸引着众多市民在此休闲锻炼、散步观光．某小区随机调查了部分居民在一周内前往“木兰溪左岸绿道”锻炼的次数，并制成如图不完整的统计图表：
居民前往“木兰溪左岸绿道”锻炼的次数统计表
锻炼次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a＝　17　，b＝　20　．
（2）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
（3）若该小区共有2000名居民，根据调查结果，估计该小区居民在一周内前往木兰溪左岸绿道”锻炼“4次及以上”的人数．

【分析】（1）先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值；
（2）用360°乘以“3次”对应的百分比即可得；
（3）用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为13÷26%＝50人，
∴a＝50﹣（7+13+10+3）＝17，b%＝×100%＝20%，即b＝20，
故答案为：17、20；

（2）扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为360°×20%＝72°；

（4）估计一周内前往木兰溪左岸绿道”锻炼“4次及以上”的人数2000×＝120人．
【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（10分）如图，在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，连接AB，CD，BC
（1）求证：∠AOB+∠COD＝180°；
（2）若AB＝8，CD＝6，求⊙O的直径．

【分析】（1）延长BO交⊙O 于E，连接DE，AD．想办法证明∠AOE＝∠COD即可．
（2）连接AE，证明AE＝CD，∠BAE＝90°，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：延长BO交⊙O 于E，连接DE，AD．
∵BE是直径，
∴∠BDE＝90°，
∴DE⊥AC，
∵AC⊥BD，
∴AC∥DE，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOE，
∵∠AOB+∠AOE＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝180°．

（2）解：连接AE．
由（1）可知：＝，
∴AE＝CD＝6，
∵BE是直径，
∴∠BAE＝90°，
∴BE＝＝＝10，
∴⊙O的直径为10．

【点评】本题考查勾股定理，弧，弦，圆心角之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
23．（10分）直觉的误差：有一张8cm×8cm的正方形纸片，面积是64cm2．把这些纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个13cm×5cm的长方形，面积是65cm2，面积多了1cm2，这是为什么？
小明给出如下证明：如图2，可知，tan∠CEF＝，tan∠EAB＝，∵tan∠CEF＞tan∠EAB，∴∠CEF＞∠EAB，∵EF∥AB，∴∠EAB+∠AEF＝180°，∴CEF+∠AEF＞180°，因此A、E、C三点不共线．同理A、G、C三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了1cm2
（1）小红给出的证明思路为：以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成她的证明；
（2）将13cmx13cm的正方形按上述方法剪开拼合，是否可以拼合成一个长方形，但面积少了1cm2？如果能，求出剪开的三角形的短边长；如果不能，说明理由．

【分析】（1）在Rt△EFC中，EC＝，在直角梯形ABFE中，AE＝，若A、E、C三点共线，则在Rt△ABC中，AC＝，则≠+，A、E、C三点共线不共线；
（2）设剪开的长方形短边长为xcm，根据题意可列（13﹣x）（13+13﹣x）＝13×13﹣1，即可求解；
【解答】解：（1）以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
在Rt△EFC中，EC＝，
在直角梯形ABFE中，AE＝，
若A、E、C三点共线，则在Rt△ABC中，
AC＝，
∵≠+，
∴A、E、C三点共线不共线，
∴所以拼合的长方形内部有空隙；
（2）设剪开的长方形短边长为xcm，
根据题意可得：
（13﹣x）（13+13﹣x）＝13×13﹣1，
∴x2﹣39x+170＝0，
∴x＝5或x＝34（舍），
∴可以拼成成一个长方形，但面积少了1cm2，剪开的三角形的短边长是5cm；

【点评】本题考查图形的简拼，直角三角形，直角梯形，一元二次方程的综合知识；能够将问题转化为一元二次方程求解是解决问题的关键．
24．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接BD交CE于点F．
（1）如图2，当α＝45°时，求证：CF＝EF；
（2）在旋转过程中，
①问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
②连接CD，当△CDF为等腰直角三角形时，求tan的值．

【分析】（1）首先证明∠FDC＝∠FCD，推出FD＝FC，再证明∠FED＝∠FDE，推出ED＝FD即可解决问题．
（2）①如图1中，结论仍然成立．利用四点共圆证明AF⊥EC即可解决问题．
②分两种情形分别画出图形求解即可．
【解答】（1）证明：如图2中，

∵∠EAC＝∠DAB，AE＝AC，AD＝AB，
∴∠AEC＝∠ACE＝∠ADB＝∠ABD，
∵∠ADB＝∠CDF，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴FD＝FC，
∵∠EDC＝90°，
∴∠DEF+∠ECD＝90°，∠FDE+∠FDC＝90°，
∴∠FED＝∠FDE，
∴FE＝FD，
∴EF＝FC．

（2）①解：如图1中，结论仍然成立．
理由：连接AF．

∵∠FCA＝∠ABF，
∴A，B，C，F四点共圆，
∴∠AFC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠AFC＝90°，
∴AF⊥EC，
∵AE＝AC，
∴EF＝CF．

②如图3﹣1中，当CF＝CD，∠FCD＝90°时，连接AF，作CH⊥BF于H．设CF＝CD＝a．

则DE＝＝a，DF＝a，
∵CF＝CD，CH⊥DF，
∴HF＝HD，
∴CH＝DF＝a，
∴BC＝DE＝a，
∴BH＝＝a，
∵AE＝AC，EF＝CF，
∴AF平分∠EAC，
∵A，B，C，F四点共圆，
∴∠CAF＝∠CBH＝α，
∴tanα＝＝＝．

如图3﹣2中，当DF＝DC，∠CDF＝90°时，作DH⊥CF于H，连接AF．设CD＝DF＝m．

则CF＝EF＝a，DH＝CF＝m，
∴DE＝BC＝＝m，
∴BD＝＝2m，
∴tanα＝＝．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，四点共圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用四点共圆解决问题，属于中考压轴题．
25．（14分）函数y1＝kx2+ax+a的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），函数y2＝kx2+bx+b，的图象与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），其中k≠0，a≠b．
（1）求证：函数y1与y2的图象交点落在一条定直线上；
（2）若AB＝CD，求a，b和k应满足的关系式；
（3）是否存在函数y1和y2，使得B，C为线段AD的三等分点？若存在，求的值，若不存在，说明理由
【分析】（1）使两个函数关系式相等解方程即可；
（2）表示出A、B、C、D坐标，从而表示出AB和CD的线段长，列出方程求解；
（3）方法与（2）相同，利用三等分点条件，AB＝BC＝CD，根据线段关系列出方程求解．
【解答】解：（1）当y1＝y2时
kx2+ax+a＝kx2+bx+b
∵a≠b
∴x＝﹣1
∴函数y1与y2的图象交点落在一条定直线上
（2）若AB＝CD则xB﹣xA＝xD﹣xC
A、B、C、D为抛物线与x轴的交点，可得
xA＝
xB＝
xC＝
xD＝
代入xB﹣xA＝xD﹣xC可得a+b＝4k
（3）因为B、C为线段AD的三等分点
所以xC﹣xD＝xC﹣xB
∴2•xC＝xD+xB
∴2×＝+
整理得
a2+b2+14ab＝0
∴（）2++1＝0
解得
＝或
【点评】本题考查了二次函数图象中的线段关系，主要是利用线段关系建立方程，体现了方程思想，是一道很好的压轴问题．

日期：2019/5/29 9:26:33；用户：孙双芳；邮箱：cqbnzx076@；学号：26508103
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