金融衍生品计算.doc
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1、第6章 金融衍生品计算 金融衍生品定价是金融工程的核心内容,也是金融业中发展最快的领域。本章主要介绍MATLAB自带的金融衍生品工具箱,要求掌握工具箱中常见期权的定价方法,利用利率树对利率类衍生产品定价,掌据价格树、利率树构建格式,掌握奇异期权的定价方法。6.1 金融衍生产品种类 期权(option)是一种合约,它赋予购买方在规定期限内按事先约定的价格(协议价格 Striking Price)购买或出售一定数量某种标的金融资产(underlying Assets)的权利。期权购买方为了获得这个权利,需支付给以售方一定金额的费用,称为期权费(Premium),期权于此后失效的日期叫做到期日(Ma
2、turity Data)。 期权分为基本期权和奇异期权两类。 1 基本期权 基本期权(Vanilla Option)是常见的期权,如欧式期权(看涨、看跌期权)、美式期权(看涨、看跌)等。基本期权比较简单,除了行使方式、有效期和执行价,不再包括其他附加内容。基本期权包括下面几种类型。 (1)欧式期权(Euroupean Option):欧式看涨期权买方(卖方)有权在到期日以事先约出的价格(执行价)买入(或卖出)标的资产,期权买方同时支付期权费来购买这一权利。 (2)美式期权(American Option);美式期权和欧式期权内容相同,不同之处在于欧式期权的执行日是在到期日,而美式期权可以在行续
3、期内任意时刻行权,这样就增加了期权使用者的灵活性,因此美式期权价值不会小于欧式期权。 (3)看涨期权(Call):该期权购买者可以在未来以商定价格购买标的资产。 (4)看跌期权(Put):该期权购买者可以在未来以商定价格卖出标的资产。 下而我们介绍期权内在价值与时间价值。 内在价值(Intrinsic Value):期权内在价值是指如果立即行权获得的收益,看涨期权内在价值是标的资产现价和执行价之差。例如某看涨期权执行价为100元,股票价格为107元,那么内在价值就是7元(107元-100元)。 时间价值(Time Value):期权时间价值就是期权价格高于内在价值的部分,期权时间价值期权价值-
4、内在价值。就前面的例子而言,如果期权价值为8元,那么该期权时间价值为1元(8元-7元)。 2奇异期权(EX的c O吵oM)奇异期权也叫做“第二代期权”,包括亚式期权、障碍期权、复合期权、回望期权、百慕大期权等。大多数奇异期权是金融机构为满足市场需求而专门设汁的,多在场外交易。 (1)亚式期权:亚式期权是一种路径依赖型期权,由于执行价是平均价格,不容易受到操纵,因而受到投资者青睐。亚式看涨期权到期现金流如下:其中,为各个日期标的资产价格,为事先约定行权价。 (2)障碍期权:障碍期权是指期权回报依赖于标的资产价格在一段特定时间内是否达到了某个特定水平,这个特定水平就叫“障碍”水平。障碍期权分为下面
5、4种类型。 (3)上涨入局期权(Up Knock-in):当标的资产价格超过事先规定的某个特定价格B,该项期权就会被激活,而且B高于合同签订时标的资产的价格。 (4) 上涨出局期权(Up Knock-out):当标的资产价格超过事先规定的某个特定价格B,该项期权就会被终止,而且B高于合同签订时标的资产的价格。 (5)下跌入局期权(Down Knock-in):标的资产价格低于事先约定的水平(称之为障碍价格)时期权被激活。(6)下跌出局期权(Down Knock-0ut):标的资产价格低于事先约定的水平(称之为障碍价格)时期权失效。 当障碍期权没有被执行时,期权卖方有时需支付给买方一笔费用,这笔
6、费用叫做返还费(Rebates)。 (7)复合朗权:复合期权是以期权为标的的期权,标的可以是欧式期权,也可以是美式期权。复合期权有下列4种类型。 看涨期权的看涨期权(Call on a call)。 看涨期权的看跌期权(Put on a call)。 看跌期权的看涨期权(Call on a put)。 吞跌期权的看跌期权(Put on a put)。 (8)回望期权:回望期权是一种路径依赖型期权,该期权的到期现金流根据标的资产价格最大值或者最小值是否高于或低于执行价来确定。MATLAB金融工具箱回望期权包括固定式与浮动式两种,固定式期权执行价在合约签定时已经确定。回望期权根据到期现金流不同分为
7、以下4种类型。 固定看涨(Fixed Call):固定看跌(Fixed Put):浮动看涨(Float Call):浮动看跌(Float Put):其中,为标的资产从0时刻至到期日的最大价格;为标的资产从0时刻至到期日的最小价格;K为期权的执行价;S为标的资产价格。 (9)百慕大期权:一般只在固定日期行权,通常为一个月某一天。百幕大期权是美式期权与欧式期权的混合体,与美式期权的区别在于美式期权行权日不固定,而百慕大期权只能在某些固定日期行权。MATLAB中衍生产品定价主要通过衍生品工具箱完成,定价函数分为股票类衍生产品与利率类衍生产品两大类。各类金融产品定价方法如表6.l和表62所示。表6.1
8、 股票类衍生产品在MATLAB中的定价方法股票类衍生产品CRR型二叉树EQP型二叉树亚式期权(Asian option instrument)1通股票期权(Stock option instrument)障碍期权(Barrier instrument)复合期权(Compound instrument)回望期权(Lookback instrument)表6.2利率类衍生产品在MATLAB中的定价方法利率类衍生产品HW模型BK模型BDT模型HJM模型债券工具(Bond instrument)现金流(Cash Flow)债券期权(Bond option)固定收益票据(Fixed Rate note
9、instrument)浮动收益票据(Float Tate note instrument)利率戴帽期权(Cap option)地板期权(Floor instrument)利率掉期(Swap instrument)62 欧式期权计算欧式期权价格可以通过公式精确求解,下面介绍欧式期权定价基本理论。6.2.1 Black-Scholes方程 B1ack-Scho1es方程是金融衍生品最重要的定价公式,下面给出B1ack-Schole方程的推导过程,首先我们介绍ITO引理。ITO引理 假设标的资产满足如下过程 (6.1)其中是一个维纳过程,设是x与t的函数,函数二次连续可微,则遵循如下过程 (6.2)
10、证明:由二元泰勒函数公式 (6.3)因为 (6.4) (6.5)其中服从标准正态分布,因此,因为当时,式(6.5)有 (6.6)由式(6.4)得 (6.7)将式(6.4),(6.6)代入(6.3)得到 (6.8)当,得 (6.9)将代入式(6.9)得到命题得证。下面我们推导出B1ack-Scho1es方程。假设标的资产;价格服从几讨布网运动,即期权价格为,由Ito定理可得下面我们考虑一个组合:卖出一个看跌期权,同时买入数量股票,则 (6.10)如果选择,中没有了随机项,如果我们能够随时间变化及时调整就可以在整个时间段内将资产变成无风险资产,如果资产组合变成了无风险资产,那么其收益率和无风险资产
11、收益率应该相等。即,有式中,为无风险利率。整理得到上式就是Black-Scholes方程,表明金融衍生产品定价可以用偏微分方程表尔,这样各种不同衍生证券对应于到期现金流。欧式看涨期权价格是其中,为股票价格,K是执行价,是正态分布函数,是无风险利率,是期权存续期,是标准差。1976年Black研究出期货期权定价模型,该模型假设期货价格遵循如下几何布朗运动:这里是期货价格预期增长率,是波动率,是维纳过程。设欧式期货看涨期权价格为,看跌期权价格为,则有其中其中,为期货价格,是执行价,是正态分布函数,是无风险利率,是存续期,是标准差。622 欧式期权价格函数MATLAB中计算欧式期权价格的函数是bls
12、price,调用方式Call,Put=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)输入参数Price %标的资产价格Strike %执行价Rate %无风险利率Time %距离到期日的时间,Volatility %标的资产的标淮差Yield %标的资产的红利率输出参数Call %欧式看涨期权价格Put %欧式看跌期权价格例6-1股票价格为l00,股票波动率标准差为0.5,无风险利率为10%,期权执行价为95,存续期为0.25年,试计算该股票欧式期权价格。在MATLAB中执行如下命令:Call,Put=blsprice(100,95,0.1,
13、0.25,0.5)从计算结果看,该股票欧式看涨期权价格为13.6953,欧式看跌期权价格为6.34976.2.3 欧式期权希腊字母几种类型。 (1)德尔塔值(Delta):期权德尔塔是考察期权价格随标的资产价格变化的关系,从数学角度看,Delta是期权价格相对于标的资产价格的偏导数,即其中,是期权价格,是标的资产价格。例如某个看涨期权,表示当股价变化时,期权价格变化为。例如期权价格为10,股票价格为100,某个投资者购买了1份(100股股票期权)该股票看涨期权,投资者可以购买股股票来对冲风险,这样的投资组合为中性策略。假如股票价格下跌l元,投资于股票损失为50元,而期权收益为0.5*l0050
14、元,无论股票价格如何变化,资产组合Delta为o,这种投资策略又称为Delta中性投资策略。(2)伽冯(Gamma):衡量德尔塔与标的资产价格变动的关系,从数学角度看相当于期权价格对于标的资产的二阶偏导数(3)维伽(Vega):衡量期权价格与标的资产波动率之间的关系,从数学角度看相当于期权价格对于波动率的偏导数其中,为标的资产标准差。(4)西塔(Theta):衡量期权价格与时间变换之间的关系,从数学角度看相当于期权价格对于时间的偏导数,即其中,为期权的存续期。单个期权的几乎总为负值,因为越临近到期日,期权不确定性越低,期权越不值钱。 (5)珞(Rho):衡量期权价格与无风险利率之间的关系,从数
15、学角度看相当于期权价格对于无风险利率的偏导数,即其中为无风险利率。1欧式期权Delta值调用方式CallDelta,PutDelta=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)输入参数 同blsprice函数。输出参数 CallDelt %欧式看涨期权Delta PutDelta %欧式看跌期权Delta 例6-2股票价格为50,执行价为50,无风险利率为10,期权存续期为0.25,波动率的标准差为0.3,存续期内股票无红利,计算该期权Delta值。 在MATLAB中执行如下命令:CallDelta,PutDelta=blsdelta(5
16、0,50,0.1,0.25,0.3,0)CallDelta =0.5955PutDelta =-0.40452欧式期权Gamma值调用方式Gamma=blsgamma(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)输入参数同blsprice函数。输出参数 Gamma %欧式期权Gamma值例6-3股票价格为50,执行价为50,无风险收益率为12,存续期为0.25,波动率的标准差为0.3,存续期内股票无红利,计算该期权Gamma值。在MATLAB中执行如下命令:Gamma=blsgamma(50,50,0.12,0.25,0.3,0)Gamma = 0.0512
17、3欧式看涨期权Theta值调用方式CallTheta,PutTheta=blstheta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)输入多数同blsprice函数。输出参数:CallTheta-%欧式看涨期权Theta值,PutTheta-欧式看跌期权Theta值4欧式期权Rho值调用方式:CallRho,PutRho=blsrho(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)输入参数同blsprice函数。输出参数:CallRho-%欧式看涨期权Rho值,PutRho-欧式看跌期权Rho值5欧式期权Vega值调用方式:
18、Vega=blasvega(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)输入参数同blsprice函数。输出参数:Vega-%欧式期权Vega值。例6-4股票价格为50,执行价为50,无风险收益率为12,存续期为0.25,波动率的标准差为0.3,存续期内股票无红利,计算该期权Vega值。在MATLAB中执行如下命令:Vega=blsvega(50,50,0.12,0.25,0.3,0)Vega =9.60356欧式期权隐含波动率已知欧式期权价格,也可以推导出隐含波动率的标服差,然后用隐含波动率与实际波动率相比较,并作为投资决策参考。调用方式Volatilit
19、y=blsimpv(Price,Strike,Rate,Time,Value,Limit,Yield,Tolerance,Type)输入参数,同于blsprice,Value-欧式期权价格Limit-(optional) 欧式期权波动率上限,默认10Yield- (optional)标的资产分红,折合成年收益率。Tolerance (optional)可以忍受的隐含波动率,默认1.0e6 Type (optional)欧式期权种类,如果是欧式看涨期权则输入Type=call,如果是欧式看跌期权,则输入Typeput,默认值为欧式看涨期权。输出参数:Volatility 欧式期权隐含波动率,期权
20、类别的Type确定。6 2 4期货期权定价函数MATLAB中求解期货期权价格的函数是blkprice。调用方式Call,Put=blkprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility)输入参数同blsprice输出参数Call 欧式看涨期权价格Put 欧式看跌期权价格6.3衍生产品定价数值解6.3.1 CRR二叉树模型 CRR二叉树模型(Cox-Ross-Rubinstein模型),简称CRR模型。 对于一些期权,无法像欧式期权一样有解析解,因此就需要用数值解进行近似计算,二叉树方法就是其中一种,该方法由JCox、S.Ross和M.Rubinstein于1979年
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