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高中数学等差数列提高题(含答案解析)

精品文档
等差数列提高题
第I卷
徐荣先汇编
一．选择题（共20小题）
1．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．等差数列{an}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{an}的前9项和等于（　　）
A．﹣18 B．9 C．18 D．36
3．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4+a9=10，则S12等于（　　）
A．30 B．45 C．60 D．120
4．等差数列{an}中，a3=5，a4+a8=22，则{an}的前8项的和为（　　）
A．32 B．64 C．108 D．128
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4+a9=24，则S9=（　　）
A．36 B．72 C．144 D．70
6．在等差数列{an}中，a9=a12+3，则数列{an}的前11项和S11=（　　）
A．24 B．48 C．66 D．132
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6=24，S9=63，则a4=（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．一已知等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a3+a4+a5=42，则S7=（　　）
A．98 B．49 C．14 D．147
9．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（　　）
A． B． C． D．2
10．已知等差数列{an}的前n项和Sn，其中且a11=20，则S13=（　　）
A．60 B．130 C．160 D．260
11．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若4S6+3S8=96，则S7=（　　）
A．48 B．24 C．14 D．7
12．等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a4+a10=20，则S13=（　　）
A．6 B．130 C．200 D．260
13．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（　　）
A．60 B．75 C．90 D．105
14．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
15．已知等差数列{an}，a1=50，d=﹣2，Sn=0，则n等于（　　）
A．48 B．49 C．50 D．51
16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（　　）
A．1 B．0 C．﹣2 D．4
17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那么S9=（　　）
A．9 B．81 C．5 D．45
18．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，则公差d等于（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
19．等差数列{an}中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，则数列{an}的前9项的和S9等于（　　）
A．66 B．99 C．144 D．297
20．等差数列{an}中，a2+a3+a4=3，Sn为等差数列{an}的前n项和，则S5=（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．选择题（共10小题）
21．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7=　 　．
22．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=4，S3=3，则公差d=　 　．
23．已知等差数列{an}中，a1=1，a2+a3=8，则数列{an}的前n项和Sn=　 　．
24．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d=2，a5=10，则S10的值是　 　．
25．设{an}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=　 　．
26．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=9﹣a6，则S8=　 　．
27．设数列{an}是首项为1的等差数列，前n项和Sn，S5=20，则公差为　 　．
28．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则d=　 　，S6=　 　．
29．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=4，则S7=　 　．
30．已知等差数列{an}中，a2=2，a12=﹣2，则{an}的前10项和为　 　．

I卷答案　
一．选择题（共20小题）
1．（2017•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，
∴，
解得a1=﹣2，d=4，
∴{an}的公差为4．
故选：C．

2．（2017•于都县模拟）等差数列{an}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{an}的前9项和等于（　　）
A．﹣18 B．9 C．18 D．36
【解答】解：∵等差数列{an}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，
∴a3+a7=4，
∴{an}的前9项和S9===．
故选：C．

3．（2017•江西模拟）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4+a9=10，则S12等于（　　）
A．30 B．45 C．60 D．120
【解答】解：由等差数列的性质可得：．
故选：C．

4．（2017•尖山区校级四模）等差数列{an}中，a3=5，a4+a8=22，则{an}的前8项的和为（　　）
A．32 B．64 C．108 D．128
【解答】解：a4+a8=2a6=22⇒a6=11，a3=5，
∴，
故选：B．

5．（2017•宁德三模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4+a9=24，则S9=（　　）
A．36 B．72 C．144 D．70
【解答】解：在等差数列{an}中，
由a2+a4+a9=24，得：3a1+12d=24，即a1+4d=a5=8．
∴S9=9a5=9×8=72．
故选：B．

6．（2017•湖南一模）在等差数列{an}中，a9=a12+3，则数列{an}的前11项和S11=（　　）
A．24 B．48 C．66 D．132
【解答】解：在等差数列{an}中，a9=a12+3，
∴，
解a1+5d=6，
∴数列{an}的前11项和S11=（a1+a11）=11（a1+5d）=11×6=66．
故选：C．

7．（2017•商丘三模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6=24，S9=63，则a4=（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6=24，S9=63，
∴，
解得a1=﹣1，d=2，
∴a4=﹣1+2×3=5．
故选：B．

8．（2017•葫芦岛一模）一已知等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a3+a4+a5=42，则S7=（　　）
A．98 B．49 C．14 D．147
【解答】解：等差数列{an}中，因为a3+a4+a5=42，
所以3a4=42，解得a4=14，
所以S7==7a4=7×14=98，
故选A．

9．（2017•南关区校级模拟）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（　　）
A． B． C． D．2
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，
∴，
解得，d=．
故选：A．

10．（2017•锦州一模）已知等差数列{an}的前n项和Sn，其中且a11=20，则S13=（　　）
A．60 B．130 C．160 D．260
【解答】解：∵数列{an}为等差数列，
∴2a3=a3，即a3=0
又∵a11=20，
∴d=S13=•（a1+a13）=•（a3+a11）=•20=130
故选B．

11．（2017•龙门县校级模拟）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若4S6+3S8=96，则S7=（　　）
A．48 B．24 C．14 D．7
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵4S6+3S8=96，∴+=96，
化为：a1+3d=2=a4．
则S7==7a4=14．
故选：C．

12．（2017•大连模拟）等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a4+a10=20，则S13=（　　）
A．6 B．130 C．200 D．260
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a4+a10=20，
∴S13=（a1+a13）=（a4+a10）=20=130．
故选：B．

13．（2017•大东区一模）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（　　）
A．60 B．75 C．90 D．105
【解答】解：∵等差数列{an}中，Sn为其前n项和，a3+a4+a8=25，
∴3a1+12d=25，∴，
∴S9==9a5=9×=75．
故选：B．

14．（2017•延边州模拟）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，
∴，
解得a3=﹣2，d=4．
故选：B．

15．（2017•金凤区校级四模）已知等差数列{an}，a1=50，d=﹣2，Sn=0，则n等于（　　）
A．48 B．49 C．50 D．51
【解答】解：由等差数列的求和公式可得，==0
整理可得，n2﹣51n=0
∴n=51
故选D

16．（2017•唐山一模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（　　）
A．1 B．0 C．﹣2 D．4
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S4=﹣4，S6=6，∴d=﹣4，d=6，
解得a1=﹣4，d=2．
则S5=5×（﹣4）+×2=0，
故选：B．

17．（2017•南关区校级模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那么S9=（　　）
A．9 B．81 C．5 D．45
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，
a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那
∴a4+a6=18，
∴S9===81．
故选：B．

18．（2017•宜宾模拟）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，则公差d等于（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，
∴，
解得a1=7，d=﹣2，
∴公差d等于﹣2．
故选：B．

19．（2017•西宁模拟）等差数列{an}中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，则数列{an}的前9项的和S9等于（　　）
A．66 B．99 C．144 D．297
【解答】解：∵等差数列{an}中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，
∴3a3=39，3a7=27，解得a3=13，a7=9，
∴数列{an}的前9项的和：
S9===．
故选：B．

20．（2017•大庆二模）等差数列{an}中，a2+a3+a4=3，Sn为等差数列{an}的前n项和，则S5=（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵等差数列{an}中，a2+a3+a4=3，
Sn为等差数列{an}的前n项和，
∴a2+a3+a4=3a3=3，
解得a3=1，
∴S5==5a3=5．
故选：C．

二．选择题（共10小题）
21．（2017•榆林一模）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7=　49　．
【解答】解：∵a2+a6=a1+a7
∴
故答案是49

22．（2017•宝清县校级一模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=4，S3=3，则公差d=　3　．
【解答】解：由等差数列的性质可得S3===3，
解得a2=1，故公差d=a3﹣a2=4﹣1=3
故答案为：3

23．（2017•费县校级模拟）已知等差数列{an}中，a1=1，a2+a3=8，则数列{an}的前n项和Sn=　n2　．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1=1，a2+a3=8，
∴2×1+3d=8，解得d=2．
则数列{an}的前n项和Sn=n+=n2．
故答案为：n2．

24．（2017•淮安四模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d=2，a5=10，则S10的值是　110　．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d=2，a5=10，
∴a5=a1+4×2=10，
解得a1=2，
∴S10=10×2+=110．
故答案为：110．

25．（2017•盐城一模）设{an}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=　63　．
【解答】解：∵{an}是等差数列，a4+a5+a6=21，
∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，
∴=63．
故答案为：63．

26．（2017•乐山三模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=9﹣a6，则S8=　72　．
【解答】解：由题意可得a3+a6=18，
由等差数列的性质可得a1+a8=18
故S8=（a1+a8）=4×18=72
故答案为：72

27．（2017•凉山州模拟）设数列{an}是首项为1的等差数列，前n项和Sn，S5=20，则公差为　　．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=1，S5=20，
∴5+d=20，解得d=．
故答案为：．

28．（2017•鹿城区校级模拟）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则d=　3　，S6=　48　．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵，∴+d=20，解得d=3．
∴S6==48．
故答案为：3，48．

29．（2017•金凤区校级一模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=4，则S7=　28　．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=4，
∴S7=（a1+a7）=7a4=28．
故答案为：28．

30．（2017•衡阳三模）已知等差数列{an}中，a2=2，a12=﹣2，则{an}的前10项和为　6　．
【解答】解：∵等差数列{an}中，a2=2，a12=﹣2，
∴，
解得a1=2.4，d=﹣0.4，
∴{an}的前10项和为：
=6．
故答案为：6．

第II卷
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝(　　)
A．7 B．15
C．20 D.25
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)
A．1 B．－1
C．2 D.
3．等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n等于(　　)
A．9 B．10
C．11 D.12
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)
A. B.
C．10 D.12
5．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝(　　)
A．15 B．12
C．－12 D.－15
二、填空题
6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________.
7．{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则S10＝________.
8．若数列的前n项和为Sn，且Sn＝，则n＝________.
[能力提升]
1．如图2­2­4所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于(　　)

图2­2­4
A.　　　　　　 B.
C. D.
3．(2015·安徽高考)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
资*源%库WWW4．(2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．
第III卷
1．已知{an}为等差数列，a1＝35，d＝－2，Sn＝0，则n等于(　　)
A．33　　　　　　　　 B．34
C．35 D．36
【答案】　D
【解析】　本题考查等差数列的前n项和公式．由Sn＝na1＋d＝35n＋×(－2)＝0，可以求出n＝36.
2．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则数列前13项的和是(　　)
A．13 B．26
C．52 D．156
【答案】　B
【解析】　3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24⇒6a4＋6a10＝24⇒a4＋a10＝4⇒S13＝＝＝＝26.
3．等差数列的前n项和为Sn，S10＝20，S20＝50.则S30＝________.
【答案】　90
【解析】　等差数列的片断数列和依次成等差数列．
∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列．
∴2(S20－S10)＝(S30－S20)＋S10，解得S30＝90.
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.
【分析】　(1)应用基本量法列出关于a1和d的方程组，解出a1和d，进而求得S28；
(2)因为数列不是常数列，因此Sn是关于n的一元二次函数且常数项为零．设Sn＝an2＋bn，代入条件S12＝84，S20＝460，可得a、b，则可求S28；
(3)由Sn＝n2＋n(a1－)得＝n＋(a1－)，故是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×＝＋，可求得S28.
【解析】　方法一：设{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d.
由已知条件得：
整理得解得
所以Sn＝－15n＋×4＝2n2－17n，
所以S28＝2×282－17×28＝1 092.
方法二：设数列的前n项和为Sn，则Sn＝an2＋bn.
因为S12＝84，S20＝460，
所以
整理得
解之得a＝2，b＝－17，
所以Sn＝2n2－17n，S28＝1 092.
方法三：∵{an}为等差数列，
所以Sn＝na1＋d，
所以＝a1－＋n，所以是等差数列．
因为12,20,28成等差数列，
所以，，成等差数列，
所以2×＝＋，解得S28＝1 092.
【规律方法】　基本量法求出a1和d是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10等于(　　)
A．100　　　　　　　　　　 B．210
C．380 D．400
【答案】　B
【解析】　d＝＝＝4，则a1＝3，所以S10＝210.
2．在等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，则a10＝(　　)
A．27 B．24
C．29 D．48
【答案】　C
【解析】　由已知
解得∴a10＝2＋9×3＝29.
3．数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n－1，则这个数列一定是(　　)
A．等差数列 B．非等差数列
C．常数列 D．等差数列或常数列
【答案】　B
【解析】　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－1－[(n－1)2＋2(n－1)－1]＝2n＋1，当n＝1时a1＝S1＝2.
∴an＝这不是等差数列．
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】　A
【解析】　∴
∴Sn＝na1＋d＝－11n＋n2－n＝n2－12n.
＝(n－6)2－36.
即n＝6时，Sn最小．
5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于(　　)
A．22 B．21
C．19 D．18
【答案】　D
【解析】　∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，
an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146，
∴5(a1＋an)＝180，a1＋an＝36，
Sn＝＝＝234.
∴n＝13，S13＝13a7＝234.∴a7＝18.
6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
【答案】　D
【解析】　S奇＝6a1＋×2d＝30，a1＋5d＝5，S偶＝5a2＋×2d＝5(a1＋5d)＝25，a中＝S奇－S偶＝30－25＝5.
7．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝，则等于(　　)
A．7 B.
C. D.
【答案】　D
【解析】　＝＝＝＝＝.
8．已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于(　　)
A．445 B．765
C．1 080 D．1 305
【答案】　B
【解析】　an＋1－an＝3，∴{an}为等差数列．
∴an＝－60＋(n－1)×3，即an＝3n－63.
∴an＝0时，n＝21，an>0时，n>21，an<0时，n<21.
S′30＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|
＝－a1－a2－a3－…－a21＋a22＋a23＋…＋a30
＝－2(a1＋a2＋…＋a21)＋S30
＝－2S21＋S30
＝765.
二、填空题(每小题10分，共20分)
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则数列的通项公式an＝________.
【答案】　2n
【解析】　设等差数列{an}的公差d，则
，∴，∴an＝2n.
10．等差数列共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于________．
【答案】　10
【解析】　∵等差数列共有2n＋1项，∴S奇－S偶＝an＋1＝.
即132－120＝，求得n＝10.
【规律方法】　利用了等差数列前n项和的性质，比较简捷．
三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．在等差数列{an}中，
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；
(2)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d.
【分析】　在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式和前n项和公式，先求出a1和d，然后再求前n项和或特别的项．
【解析】　(1)∵a6＝10，S5＝5，
∴
解方程组，得a1＝－5，d＝3，
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S8＝＝44.
(2)由Sn＝＝＝－1 022，
解得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，
即－512＝1＋(4－1)d，
解得d＝－171.
【规律方法】　一般地，等差数列的五个基本量a1，an，d，n，Sn，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a1和d，然后再用公式求出其他的量．
12．已知等差数列{an}，且满足an＝40－4n，求前多少项的和最大，最大值为多少？
【解析】　方法一：(二次函数法)∵an＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，
∴Sn＝＝·n＝－2n2＋38n
＝－2[n2－19n＋()2]＋
＝－2(n－)2＋.
令n－＝0，则n＝＝9.5，且n∈N＋，
∴当n＝9或n＝10时，Sn最大，
∴Sn的最大值为S9＝S10＝－2(10－)2＋＝180.
方法二：(图象法)∵an＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，
a2＝40－4×2＝32，∴d＝32－36＝－4，
Sn＝na1＋d＝36n＋·(－4)＝－2n2＋38n，
点(n，Sn)在二次函数y＝－2x2＋38x的图象上，Sn有最大值，其对称轴为x＝－＝＝9.5，
∴当n＝10或9时，Sn最大．
∴Sn的最大值为S9＝S10＝－2×102＋38×10＝180.
方法三：(通项法)∵an＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，
a2＝40－4×2＝32，
∴d＝32－36＝－4<0，数列{an}为递减数列．
令有
∴即9≤n≤10.
当n＝9或n＝10时，Sn最大．
∴Sn的最大值为S9＝S10＝×10＝×10＝180.
【规律方法】　对于方法一，一定要强调n∈N＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n＝9或n＝10，需注意am＝0时，Sm－1＝Sm同为Sn的最值．

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