高中数学必修2知识点总结第四章-圆与方程资料.doc

高中数学必修2知识点总结第四章-圆与方程

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第四章 圆与方程 知识点与习题
1. ★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M（x,y）为⊙A上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }

★2、圆的方程
（1）标准方程，圆心，半径为r；
点与圆的位置关系：
当>，点在圆外; 当=，点在圆上
当<，点在圆内;
（2）一般方程
（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 （）
当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为
当时，表示一个点；
当时，方程不表示任何图形。

（3）求圆的方程的方法：
待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
‚直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线，圆，圆心到l的距离为 ，则有；；

（2） 过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，
①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；
②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）
(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2
两圆的位置关系
判断条件
公切线条数
外离
ｄ＞ｒ1+ｒ2
4条
外切
ｄ＝ｒ1+ｒ2
3条
相交
|ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ2
2条
内切
ｄ＝|ｒ1-ｒ2|
1条
内含
ｄ＜|ｒ1-ｒ2|
0条

★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的绝对值），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。（即几何法）
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
★5、.圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0
联立圆C1的方程与圆C2的方程得到一个二元一次方程
① 若两圆相交，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2公共弦所在的直线方程；
② 若两圆相切，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2的公切线的方程；
③ 若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线， 得到的切线长相等（反之，亦成立）
★6、已知一直线与圆相交，求弦的长度
①代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长
②几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）

★7、已知两圆相交，求公共弦的长度
①代数法：联立两圆的方程求出交点坐标；利用两点间的距离公式求弦长　　　　　　　　　　　　　　　　　
③几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）
★8、圆系与圆系方程
(1) 圆系:具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。
(2) 圆系方程：
圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0
圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 （Ⅰ）
①若圆 C1与圆C2交于P1、P2点，那么，方程（Ⅰ）代表过P1、P2两点的圆的方程。
②若圆 C1与圆C2交于P点（一个点），则方程（Ⅰ）代表过P点的圆的方程。
★9、直线与圆的方程的应用
用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；　　　
第二步：通过代数运算，解决代数问题；　　　
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论
★10、空间直角坐标系
1、点M对应着唯一确定的有序实数组，、、分别是P、Q、R在、、轴上的坐标
2、有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。
★11、空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点到点之间的距离公式

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是(　　)
A．相离　　　　　　　　　 B．相交
C．外切 D．内切
解析：将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，
化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16.
∴两圆的圆心距＝5，
又r1＋r2＝5，∴两圆外切．
答案：C
2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为(　　)
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0
解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程得＝，即3x－y－5＝0.
答案：A
3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为(　　)
A．1，－1 B．2，－2
C．1 D．－1
解析：圆x2＋y2－2x＝0的圆心C(1,0)，半径为1，依题意得＝1，即|a＋2|＝，平方整理得a＝－1.
答案：D
4．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，)的切线方程是(　　)
A．x＋y－10＝0 B.x－2y＋10＝0
C．x－y＋10＝0 D．2x＋y－10＝0
解析：∵点M(2，)在圆x2＋y2＝10上，kOM＝，
∴过点M的切线的斜率为k＝－，
故切线方程为y－＝－(x－2)，
即2x＋y－10＝0.
答案：D
5．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是(　　)
A．(－3,3，－1) B．(－3，－3，－1)
C．(3，－3，－1) D．(3,3,1)
解析：点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是(3,3,1)．
答案：D
6．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝(　　)
A．5 B.
C．10 D.
解析：依题意得点A(1，－2，－3)，C(－2，－2，－5)．
∴|AC|＝＝.
答案：B
7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为(　　)
A. B.
C.或－ D.和－
解析：由题意知，圆心O(0,0)到直线y＝kx＋1的距离为，
∴＝，∴k＝±.
答案：C
8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：两圆的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，
O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，
圆心O1(－2,2)，O2(2,5)，半径r1＝1，r2＝4，
∴|O1O2|＝＝5，r1＋r2＝5.
∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．
答案：B
9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是(　　)
A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0
解析：依题意知，直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，
∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
答案：A
10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为(　　)
A．9π B．π
C．2π D．由m的值而定
解析：∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，
∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2.
∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|.
依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.
∴圆的面积S＝π×12＝π.
答案：B
11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1
解析：设P(x1，y1)，Q(3,0)，设线段PQ中点M的坐标为(x，y)，
则x＝，y＝，∴x1＝2x－3，y1＝2y.
又点P(x1，y1)在圆x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋4y2＝1.
故线段PQ中点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
答案：C
12．曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(，] D．(，]
解析：如图所示，曲线y＝1＋

变形为x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，
直线y＝k(x－2)＋4过定点(2,4)，
当直线l与半圆相切时，有
＝2，解得k＝.
当直线l过点(－2,1)时，k＝.
因此，k的取值范围是<k≤.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上)
13．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离最小值为____________．
解析：圆心(0,0)到直线3x＋4y－25＝0的距离为5，
∴所求的最小值为4.
答案：4
14．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是________．
解析：r＝＝，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2
15．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，①关于直线y＝x对称；②关于直线x＋y＝0对称；③其圆心在x轴上，且过原点；④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．
解析：已知方程配方得，(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)，圆心坐标为(－a，a)，它在直线x＋y＝0上，∴已知圆关于直线x＋y＝0对称．故②正确．
答案：②
16．直线x＋2y＝0被曲线x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于__________．
解析：由x2＋y2－6x－2y－15＝0，
得(x－3)2＋(y－1)2＝25.
圆心(3,1)到直线x＋2y＝0的距离d＝＝.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中，由勾股定理得，弦长＝2×＝4.
答案：4
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．
解：解法1：连接OP，则OP⊥BC，设P(x，y)，当x≠0时，kOP·kAP＝－1，即·＝－1，
即x2＋y2－4x＝0①
当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，
∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．
解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝|OA|＝2，由圆的定义知，P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆．
故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内)．
18．(12分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．
解：由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)．
两圆的方程相减得直线AB的方程为
2(m＋1)x－2y－m2－1＝0.
∵A，B两点平分圆N的圆周，
∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)，
∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0，
解得m＝－1.
故圆M的圆心M(－1，－2)．
19．(12分)已知圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．
解：设两圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点的坐标是方程组的解，两方程相减得：x＋y－3＝0，
∵A、B两点的坐标都满足该方程，
∴x＋y－3＝0为所求．
将圆C2的方程化为标准形式，
(x－1)2＋(y－1)2＝2，
∴圆心C2(1,1)，半径r＝.
圆心C2到直线AB的距离d＝＝，
|AB|＝2＝2＝.
即两圆的公共弦长为.
20．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．
解：如图：PM为圆C的切线，则CM⊥PM，∴△PMC为直角三角形，∴|PM|2＝|PC|2－|MC|2.

设P(x，y)，C(－1,2)，|MC|＝.
∵|PM|＝|PO|，
∴x2＋y2＝(x＋1)2＋(y－2)2－2，
化简得点P的轨迹方程为：2x－4y＋3＝0.
求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点O到直线2x－4y＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM|最小值为.
21．(12分)已知⊙C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P是圆上动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标．
解：设点P的坐标为(x0，y0)，则
d＝(x0＋1)2＋y02＋(x0－1)2＋y02＝2(x02＋y02)＋2.
欲求d的最大、最小值，只需求u＝x02＋y02的最大、最小值，即求⊙C上的点到原点距离的平方的最大、最小值．
作直线OC，设其交⊙C于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
如图所示．

则u最小值＝|OP1|2＝(|OC|－|P1C|)2＝(5－1)2＝16.
此时，＝＝，
∴x1＝，y1＝.
∴d的最小值为34，对应点P1的坐标为.
同理可得d的最大值为74，对应点P2的坐标为.
22．(12分)已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.
(1)求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；
(2)证明曲线C过定点；
(3)若曲线C与x轴相切，求k的值．
解：(1)证明：原方程可化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2
∵k≠－1，∴5(k＋1)2>0.
故方程表示圆心为(－k，－2k－5)，半径为|k＋1|的圆．
设圆心的坐标为(x，y)，则
消去k，得2x－y－5＝0.
∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上．
(2)证明：将原方程变形为
(2x＋4y＋10)k＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0，
∵上式对于任意k≠－1恒成立，
∴
解得
∴曲线C过定点(1，－3)．
(3)∵圆C与x轴相切，
∴圆心(－k，－2k－5)到x轴的距离等于半径，
即|－2k－5|＝|k＋1|.
两边平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2，
∴k＝5±3.

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