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高中数学必修4知识点及其配套习题

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高中数学必修4知识点

2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．
第一象限角的集合为
第二象限角的集合为
第三象限角的集合为
第四象限角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角终边相同的角的集合为
4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．
6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．
7、弧度制与角度制的换算公式：，，．
8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．
9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
Pv
x
y
A
O
M
T
11、三角函数线：，，．
12、同角三角函数的基本关系：
；
．
13、三角函数的诱导公式：
，，．
，，．
，，．
，，．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
，．
，．
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
14．函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。

y＝Asin(ωx＋φ)＋B的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：
①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；
②B的确定：根据图象的最高点和最低点，即B＝；
③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T＝(ω>0)来确定ω；
④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ.
15.三角函数的伸缩变化
先平移后伸缩
　　的图象
得的图象
得的图象
得的图象
得的图象．
先伸缩后平移
的图象
得的图象
得的图象
得的图象得的图象．
16．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：
给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。
17．求三角函数的周期的常用方法：
经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，
y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 .
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函
数
性
质

图象

定义域

值域

最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在

上是减函数．
在上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为的向量．
单位向量：长度等于个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：．

⑷运算性质：①交换律：；②结合律：；③．
⑸坐标运算：设，，则．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设，，则．
设、两点的坐标分别为，，则．
19、向量数乘运算：
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．
①；
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．
⑵运算律：①；②；③．
⑶坐标运算：设，则．
20、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．
设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．
21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．
23、平面向量的数量积：
⑴．零向量与任一向量的数量积为．
⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．
⑶运算律：①；②；③．
⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．
若，则，或．
设，，则．
设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴；⑵；
⑶；⑷；
⑸（）；
⑹（）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
⑵（，）．
⑶．
26、 ，其中．
对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：
y=asinx=bcosx。由于上式中的与的平方和为1，故可记=cosθ，=sinθ，则

由此我们得到结论：asinx+bcosx=，（*）其中θ由来确定。
通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin()+k的形式。

　正弦定理和余弦定理
1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
3．S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则

A为锐角
A为钝角或直角
图形

关系
式
a＜bsin A
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
a≤b
解的
个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解

一条规律
在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.
两类问题
在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．
两种途径
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
双基自测
1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于(　　)．
A．5 B．10
C. D．5
解析　由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，
由正弦定理得：＝，
即＝.∴c＝.答案　C
2．在△ABC中，若＝，则B的值为(　　)．
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析　由正弦定理知：
＝，∴sin B＝cos B，∴B＝45°.答案　B
3．在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于(　　)．
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析　由余弦定理得：cos A＝＝＝，
∵0＜A＜π，∴A＝60°.答案　C
4．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为(　　)．
A．3 B．2 C．4 D.
解析　∵cos C＝，0＜C＜π，∴sin C＝，
∴S△ABC＝absin C＝×3×2×＝4.
答案　C
5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大内角为________．
解析　∵a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝＝－，
故C＝150°为三角形的最大内角．答案　150°
考向一　利用正弦定理解三角形
【例1】►在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A，C和边c.
解　由正弦定理得＝，＝，
∴sin A＝.
∵a＞b，∴A＝60°或A＝120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝＝；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝＝.
(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
【训练1】 在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，则sin A＝______a＝________.
解析　因为△ABC中，tan A＝2，所以A是锐角，
且＝2，sin2A＋cos2A＝1，
联立解得sin A＝，再由正弦定理得＝，
代入数据解得a＝2.答案　　2
考向二　利用余弦定理解三角形
【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．
[审题视点] 由＝－，利用余弦定理转化为边的关系求解．
解　(1)由余弦定理知：cos B＝，
cos C＝.
将上式代入＝－得：
·＝－，
整理得：a2＋c2－b2＝－ac.
∴cos B＝＝＝－.∵B为三角形的内角，∴B＝π.
(2)将b＝，a＋c＝4，
B＝π代入b2＝a2＋c2－2accos B，
得b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，
∴13＝16－2ac，∴ac＝3.∴S△ABC＝acsin B＝.
【训练2】 已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 ＋cos A＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．
解　(1)由2cos2 ＋cos A＝0，
得1＋cos A＋cos A＝0，
即cos A＝－，∵0＜A＜π，∴A＝.
(2)由余弦定理得，
a2＝b2＋c2－2bccos A，A＝，
则a2＝(b＋c)2－bc，
又a＝2，b＋c＝4，
有12＝42－bc，则bc＝4，
故△ABC＝bcsin A＝.
考向三　利用正、余弦定理判断三角形形状
【例3】►在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，试判断△ABC的形状．
[审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．
解　由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，
得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，
即b2sin Acos B＝a2cos Asin B，
即sin2Bsin Acos B＝sin2Acos Bsin B，所以sin 2B＝sin 2A，
由于A，B是三角形的内角．
故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.
故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝.
故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．
【训练3】 在△ABC中，若＝＝；则△ABC是(　　)．
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
解析　由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆半径)．
∴＝＝.
即tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C.
答案　B
考向三　正、余弦定理的综合应用
【例3】►在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．
解　(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4.
又因为△ABC的面积等于，所以absin C＝，得ab＝4，联立方程组解得
(2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A，
即sin Bcos A＝2sin Acos A.
当cos A＝0，即A＝时，B＝，
a＝，b＝；
当cos A≠0时，得sin B＝2sin A，
由正弦定理，得b＝2a.
联立方程组
解得
所以△ABC的面积S＝a bsin C＝.
【训练3】设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B＝，b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
解　(1)因为cos B＝，所以sin B＝.
由正弦定理＝，可得＝，
所以a＝.
(2)因为△ABC的面积S＝ac·sin B，sin B＝，
所以ac＝3，ac＝10.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.
所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.
所以a＋c＝2.　　
【示例】►在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝，b＝，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．
正解　∵在△ABC中，cos(B＋C)＝－cos A，
∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cos A＝0，∴A＝.
在△ABC中，根据正弦定理＝，
∴sin B＝＝.
∵a＞b，∴B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π.
∴sin C＝sin(B＋A)＝sin Bcos A＋cos Bsin A
＝×＋×＝.
∴BC边上的高为bsin C＝×＝.
【试一试】 △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2 A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
　(1)由正弦定理得，
sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即
sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A.故sin B＝sin A，所以＝.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cos B＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.
可得cos2B＝，又cos B＞0，故cos B＝，所以B＝45°.

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