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高中数学吧必修2第四章知识点总结

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高中数学吧必修２第四章知识点总结
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：
圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点与圆的关系的判断方法：
（1）>，点在圆外 （2）=，点在圆上
（3）<，点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：
2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．　②没有xy这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当时，直线与圆相离；（2）当时，直线与圆相切；
（3）当时，直线与圆相交；
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；
（3）当时，圆与圆相交；
（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含；
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
4.3.1空间直角坐标系
1、点M对应着唯一确定的有序实数组，、、分别是P、Q、R在、、轴上的坐标
2、有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点到点之间的距离公式

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第四章 圆与方程
一、选择题，
1．若圆C的圆心坐标为(2，－3)，且圆C经过点M(5－7)，则圆C的半径为( )．
A． B．5 C．25 D．
2．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )．
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
3．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( )．
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16
C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝19
4．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为( )．
A．0或2 B．2 C． D．无解
5．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是( )．
A．8 B．6 C．6 D．4
6．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为( )．
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
7．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是( )．
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
8．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有( )．
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
9．在空间直角坐标系中，已知点M(a，b，c)，有下列叙述：
点M关于x轴对称点的坐标是M1(a，－b，c)；
点M关于yoz平面对称的点的坐标是M2(a，－b，－c)；
点M关于y轴对称的点的坐标是M3(a，－b，c)；
点M关于原点对称的点的坐标是M4(－a，－b，－c)．
其中正确的叙述的个数是( )．
A．3 B．2 C．1 D．0
10．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是( )．
A．2 B．2 C．9 D．
二、填空题
11．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为 ．
12．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ．
13．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是 ．
14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，试确定常数a的值 ．
15．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为 ．
16．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是 ．
三、解答题
17．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．

18．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．

19．求经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．

20．求经过点(8，3)，并且和直线x＝6与x＝10都相切的圆的方程．

第四章 圆与方程
参考答案
一、选择题
1．B
圆心C与点M的距离即为圆的半径，＝5．
2．C
解析一：由圆心在直线x＋y－2＝0上可以得到A，C满足条件，再把A点坐标
(1，－1)代入圆方程．A不满足条件．
∴选C．
解析二：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a．由|CA|＝|CB|，得(a－1)2＋(b＋1)2＝(a＋1)2＋(b－1)2，解得a＝1，b＝1．
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
3．B
解析：∵与x轴相切，∴r＝4．又圆心(－3，4)，
∴圆方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝16．
4．B
解析：∵x＋y＋m＝0与x2＋y2＝m相切，
∴(0，0)到直线距离等于．
∴＝，
∴m＝2．
5．A
解析：令y＝0，
∴(x－1)2＝16．
∴ x－1＝±4，
∴x1＝5，x2＝－3．
∴弦长＝|5－(－3)|＝8．
6．B
解析：由两个圆的方程C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4可求得圆心距d＝∈(0，4)，r1＝r2＝2，且r 1－r 2＜d＜r 1＋r2故两圆相交，选B．
7．A
解析：对已知圆的方程x2＋y2－2x－5＝0，x2＋y2＋2x－4y－4＝0，经配方，得
(x－1)2＋y2＝6，(x＋1)2＋(y－2)2＝9．
圆心分别为 C1(1，0)，C2(－1，2)．
直线C1C2的方程为x＋y－1＝0．
8．C
解析：将两圆方程分别配方得(x－1)2＋y2＝1和x2＋(y＋2)2＝4，两圆圆心分别为O1(1，0)，O2(0，－2)，r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝＝，又1＝r2－r1＜＜r1＋r2＝3，故两圆相交，所以有两条公切线，应选C．
9．C
解：①②③错，④对．选C．
10．D
解析：利用空间两点间的距离公式．
二、填空题
11．2．
解析：圆心到直线的距离d＝＝3，
∴动点Q到直线距离的最小值为d－r＝3－1＝2．
12．(x－1)2＋(y－1)2＝1．
解析：画图后可以看出，圆心在(1，1)，半径为 1．
故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝1．
13．(x＋2)2＋(y－3)2＝4．
解析：因为圆心为(－2，3)，且圆与y轴相切，所以圆的半径为2．故所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝4．
14．0或±2．
解析：当两圆相外切时，由|O1O2|＝r1＋r2知＝6，即a＝±2．
当两圆相内切时，由|O1O2|＝r1－r2(r1＞r2)知
＝4，即a＝0．
∴a的值为0或±2．
15．(x－3)2＋(y＋5)2＝32．
解析：圆的半径即为圆心到直线x－7y＋2＝0的距离；
16．x＋y－4＝0．
解析：圆x2＋y2－4x－5＝0的圆心为C(2，0)，P(3，1)为弦AB的中点，所以直线AB与直线CP垂直，即kAB·kCP＝－1，解得kAB＝－1，又直线AB过P(3，1)，则所求直线方程为x＋y－4＝0．
三、解答题
17．x2＋y2＝36．
解析：设直线与圆交于A，B两点，则∠AOB＝120°，设
所求圆方程为：x2＋y2＝r2，则圆心到直线距离为，所
以r＝6，所求圆方程为x2＋y2＝36．

(第17题)
18．x2＋y2－ax－by＝0．
解析：∵圆过原点，∴设圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0．
∵圆过(a，0)和(0，b)，
∴a2＋Da＝0，b2＋bE＝0．
又∵a≠0，b≠0，
∴D＝－a，E＝－b．
故所求圆方程为x2＋y2－ax－by＝0．
19．x2＋y2－2x－12＝0．
解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
∵A，B两点在圆上，代入方程整理得：
D－3E－F＝10 ①
4D＋2E＋F＝－20 ②
设纵截距为b1，b2，横截距为a1，a2．在圆的方程中，令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，
∴b1＋b2＝－E；令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，∴a1＋a2＝－D．
由已知有－D－E＝2．③
①②③联立方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12．
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0．
20．解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
根据题意：r＝＝2，
圆心的横坐标a＝6＋2＝8，
所以圆的方程可化为：(x－8)2＋(y－b)2＝4．
又因为圆过(8，3)点，所以(8－8)2＋(3－b)2＝4，解得b＝5或b＝1，
所求圆的方程为(x－8)2＋(y－5)2＝4或(x－8)2＋(y－1)2＝4．

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