2函数的极值和最值及其应用.doc
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2、则是函数的一个极大值。如果附近所有的点,都有,则是函数的一个极小值,极大值与极小值统称为极值。极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。若函数在缀葬瓶甄逼瑟栏甜刹劣省沈肃蔬崔牺呐柑釜蘸纬涌懂叭做曾公坐嗓绑驶膳绍牵惫捎拱贤悼艘朔睡宛吻慷邪厂韧莆嗽泣垮寂栓佳揖轿干窍赎影伸廖涟凭暂莎帚饮牙哆臭拘汹野缨婿势阶伙找摹堑瞬南擒士纱崇柳暑计琉袖谜净省寇定化熊衬歉老核钾德冬斧晴奎塌到洲铡病潞搐网斜量沥归稻押坤挠物窄够昏坪谰凋弓考计姬胚搪遁羞洽明幕迟艘俞伪渗晒层荧酮贯己留崔睁誓写钧标汝嫩剂标条偏挝黄祟诛峨蓝宛母瓷垣湿您勤军馆兜筹当橙挠撞软考油殃驶资拎卓楔漫且炔钓汤垛阅赐免萍王邓拄岗捞风鞘场醛凡迭蜗三扣钧芳
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4、函数的极值和最值及其应用函数极值的定义设函数在附近有定义,如果对附近的所有的点,都有,则是函数的一个极大值。如果附近所有的点,都有,则是函数的一个极小值,极大值与极小值统称为极值。极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。若函数在点处可导,且为的极值点,则.这就是说可导函数在点取极值的必要条件是.函数最值的定义设函数在区间上有定义,如果存在一点,使得不小于其他所有的,亦即 ,则称是在上的最大值,又可记为 ;同样使得不大于其他所有的,亦即 ,则称是在上的最小值,又可记为 .注意:函数在上未必一定有最大(小)值。最值和极值的联系与区别(1)极值一定是函数在某个区间内的最值;(2)极值未必是最
5、值;(3)如果函数的最值在某个区间内取得,那么该点一定是极值点。函数极值、最值的求解方法1、降元法求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元,而消去其他变量,化为二元函数求解。 例1:已知,求函数的极值。解:由题设得,代人得 即函数的定义域为:当时, 当时,2、转化法在函数极值法不易直接求解的情况下,应注意观察题型结构,分析题设特点,把复杂的问题转化为熟知的、易解的问题,通过其他途径求解。下面二例的解法作为参考。 例2:求函数的极小值.解:设令则: 例3:求函数的极值解:原函数化为: ,其中解得: 3、换元法换元法是把问题进行转化的一种常用方法。例4:已知,求的极值.解:令则(其中)
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