高考数学真题——函数压轴题(含答案)教程文件.docx
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1、高考数学真题函数压轴题(含答案)精品文档2018年数学全国1卷已知函数(1)讨论的单调性;(2)若存在两个极值点,证明:解:(1)的定义域为,.(i)若,则,当且仅当,时,所以在单调递减.(ii)若,令得,或.当时,;当时,.所以在单调递减,在单调递增.(2)由(1)知,存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足,所以,不妨设,则.由于,所以等价于.设函数,由(1)知,在单调递减,又,从而当时,.所以,即.2017年数学全国1卷已知函数ae2x+(a2) exx.(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求a的取值范围.(1)的定义域为,()若,则,所以在单调递减.()若,则由得.当时,;当时
2、,所以在单调递减,在单调递增.(2)()若,由(1)知,至多有一个零点.()若,由(1)知,当时,取得最小值,最小值为.当时,由于,故只有一个零点;当时,由于,即,故没有零点;当时,即.又,故在有一个零点.设正整数满足,则.由于,因此在有一个零点.综上,的取值范围为2016年数学全国1卷已知函数有两个零点.(I)求a的取值范围;(II)设x1,x2是的两个零点,证明:.【答案】(I);(II)见解析【解析】 试题分析:(I)求导,根据导函数的符号来确定(主要要根据导函数零点来分类);(II)借助(I)的结论来证明,由单调性可知等价于,即设,则则当时,而,故当时,从而,故试题解析:()(i)设,
3、则,只有一个零点时,所以不存在两个零点若,则,故当时,;当时,因此在单调递减,在单调递增又当时,所以不存在两个零点综上,的取值范围为()不妨设,由()知,在单调递减,所以等价于,即由于,而,所以设,则所以当时,而,故当时,从而,故2013年数学全国1卷设函数,若曲线和曲线都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线()求,的值;()当2时,求的取值范围。21【解析】()由已知得,而=,=,=4,=2,=2,=2;4分()由()知,设函数=(),=,有题设可得0,即,令=0得,=,=2,1)若,则20,当时,0,当时,0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而=0,当2时,0,即恒成立,(2
4、)若,则=,当2时,0,在(2,+)单调递增,而=0,当2时,0,即恒成立,(3)若,则=0,当2时,不可能恒成立,综上所述,的取值范围为1,.2012年数学全国1卷已知函数满足.(1) 求的解析式及单调区间;(2) 若,求的最大值. 【解析】(1) 令得: 得: 在上单调递增 得:的解析式为 且单调递增区间为,单调递减区间为 (2)得 当时,在上单调递增 时,与矛盾 当时, 得:当时, 令;则 当时, 当时,的最大值为2011年数学全国1卷(I)设函数,证明:当时,;(II)从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率
5、为.证明:【命题意图】本题为导数、概率与不等式的综合,主要考查导数的应用和利用导数证明不等式.考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.【解析】(I) 2分当时, ,所以为增函数,又,因此当时,. 5分(II) .又所以.由(I)知: 当时, 因此 .在上式中,令,则 19,即.所以 12分2009年数学全国1卷设函数在两个极值点,且(I)求满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点的区域;(II)证明:分析(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根则有故有 右
6、图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。(II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。此题主要利用消元的手段,消去目标中的,(如果消会较繁琐)再利用的范围,并借助(I)中的约束条件得进而求解,有较强的技巧性。解: 由题意有又消去可得又,且 已知函数(1)若,证明:当时,;(2)若在只有一个零点,求【解析】(1)当时,等价于设函数,则当时,所以在单调递减而,故当时,即(2)设函数在只有一个零点当且仅当在只有一个零点(i)当时,没有零点;(ii)当时,当时,;当时,所以在单调递减,在单调递增故是在的最小值学&科网若,即,在没有零点;若,即,在只有一个零点;若,即
7、,由于,所以在有一个零点,由(1)知,当时,所以故在有一个零点,因此在有两个零点综上,在只有一个零点时,已知函数且.(1)求a;(2)证明:存在唯一的极大值点,且.解:(1)的定义域为设,则等价于因为若a=1,则.当0x1时,单调递减;当x1时,0,单调递增.所以x=1是的极小值点,故综上,a=1(2)由(1)知设当时,;当时,所以在单调递减,在单调递增又,所以在有唯一零点x0,在有唯一零点1,且当时,;当时,当时,.因为,所以x=x0是f(x)的唯一极大值点由由得因为x=x0是f(x)在(0,1)的最大值点,由得所以(I)讨论函数 的单调性,并证明当 0时, (II)证明:当 时,函数 有最
8、小值.设g(x)的最小值为,求函数 的值域.【解析】试题分析:()先求定义域,用导数法求函数的单调性,当时,证明结论;()用导数法求函数的最值,在构造新函数,又用导数法求解.试题解析:()的定义域为.且仅当时,所以在单调递增,因此当时,所以(II)由(I)知,单调递增,对任意因此,存在唯一使得即,当时,单调递减;当时,单调递增.因此在处取得最小值,最小值为于是,由单调递增所以,由得因为单调递增,对任意存在唯一的使得所以的值域是综上,当时,有,的值域是考点: 函数的单调性、极值与最值.(本小题满分12分)已知函数f(x)exln(xm)(1)设x0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性
9、;(2)当m2时,证明f(x)0.(1)f(x).由x0是f(x)的极值点得f(0)0,所以m1.于是f(x)exln(x1),定义域为(1,),f(x).函数f(x)在(1,)单调递增,且f(0)0.因此当x(1,0)时,f(x)0;当x(0,)时,f(x)0.所以f(x)在(1,0)单调递减,在(0,)单调递增(2)当m2,x(m,)时,ln(xm)ln(x2),故只需证明当m2时,f(x)0.当m2时,函数f(x)在(2,)单调递增又f(1)0,f(0)0,故f(x)0在(2,)有唯一实根x0,且x0(1,0)当x(2,x0)时,f(x)0;当x(x0,)时,f(x)0,从而当xx0时,
10、f(x)取得最小值由f(x0)0得,ln(x02)x0,故f(x)f(x0)x00.综上,当m2时,f(x)0.()设函数,证明:当时,;()从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明:解:(I) . 2分当时,所以当, 5分(II) .又,所以 9分由(I)知:当,所以 .令则,所以综上: 12分设函数 ()证明:当时,; ()设当时,求a的取值范围解: (I)当时,当且仅当令2分当,是增函数;当是减函数。于是在x=0处达到最小值,因而当时,所以当6分、 (II)由题设当不成立;当则当且令当8分 (i)当时,
11、由(I)知是减函数,10分 (ii)当时,由(I)知当时,综上,a的取值范围是12分已知函数 =x1alnx(1)若 ,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,m,求m的最小值解:(1)的定义域为.若,因为,所以不满足题意;若,由知,当时,;当时,所以在单调递减,在单调递增,故x=a是在的唯一最小值点.由于,所以当且仅当a=1时,.故a=1(2)由(1)知当时,令得,从而故而,所以m的最小值为3.已知函数(1)若,证明:当时,;当时,;(2)若是的极大值点,求解:(1)当时,.设函数,则.当时,;当时,.故当时,且仅当时,从而,且仅当时,.所以在单调递增.学#科网又,故当时,;当时,.
12、(2)(i)若,由(1)知,当时,这与是的极大值点矛盾.(ii)若,设函数.由于当时,故与符号相同.又,故是的极大值点当且仅当是的极大值点.如果,则当,且时,故不是的极大值点.如果,则存在根,故当,且时,所以不是的极大值点.如果,则.则当时,;当时,.所以是的极大值点,从而是的极大值点综上,.设函数()求曲线在点处的切线方程;()求函数的单调区间; ()若函数在区间内单调递增,求的取值范围. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力(), 曲线在点处的切线方程为.()由,得, 若,则当时,函数单调递减, 当时,函数单调递增, 若,则当
13、时,函数单调递增, 当时,函数单调递减, ()由()知,若,则当且仅当,即时,函数内单调递增,若,则当且仅当,即时,函数内单调递增, 综上可知,函数内单调递增时,的取值范围是.已知函数()=In(1+)-+(0)。()当=2时,求曲线=()在点(1,(1)处的切线方程;()求()的单调区间。解:(I)当时, 由于, 所以曲线在点处的切线方程为 即 (II),. 当时,. 所以,在区间上,;在区间上,. 故得单调递增区间是,单调递减区间是. 当时,由,得, 所以,在区间和上,;在区间上, 故得单调递增区间是和,单调递减区间是. 当时, 故得单调递增区间是.当时,得,.所以没在区间和上,;在区间上
14、,故得单调递增区间是和,单调递减区间是已知函数。()求的单调区间;()若对于任意的,都有,求的取值范围。已知函数,.(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求,的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.解:(1)由为公共切点可得:,则,则,又,即,代入式可得:(2),设则,令,解得:,;,原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增若,即时,最大值为;若,即时,最大值为若时,即时,最大值为综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为设为曲线在点处的切线。()求的方程;()证明:除切点之外,曲线在直线的下方。已知函数,(1) 求证:;(2) 若在上恒成立,求的最大值与的最小值.
15、解:(I)由得 。 因为在区间上,所以在区间上单调递减。从而。()当时,“”等价于“”“”等价于“”。 令,则, 当时,对任意恒成立。 当时,因为对任意,所以在区间上单调递减。从而对任意恒成立。 当时,存在唯一的使得。 与在区间上的情况如下: 0因为在区间上是增函数,所以。进一步,“对任意恒成立”当且仅当,即, 综上所述,当且仅当时,对任意恒成立;当且仅当时,对任意恒成立. 所以,若对任意恒成立,则a最大值为,b的最小值为1.已知函数 ()求曲线在点处的切线方程;()求证:当时,; ()设实数使得对恒成立,求的最大值解:() 所以又所以,切线方程为 即()又因为,所以所以在上是增函数又, 故所
16、以()设 ,函数是单调递增,显然成立当时,令,得+极值,显然不成立,由此可知最大值为2设函数,曲线在点处的切线方程为.(I)求,的值;(II)求的单调区间.【答案】(I);(II) 【解析】试题分析:(I)根据题意求出,根据求a,b的值即可;【考点】导数的应用;运算求解能力【名师点睛】用导数判断函数的单调性时,首先应确定函数的定义域,然后在函数的定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时,除必须确定使导数等于0的点外,还要注意定义区间内的间断点设函数=()若曲线y= f(x)在点(1,)处的切线与轴平行,求a;()若在x=2处取得极小值,求a的取值范围解:()因为
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