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高中数学必修五知识点总结

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高中数学必修五知识点总结

解直角三角形...............2

数列.......................5

不等式.....................11

解三角形复习知识点
一、知识点总结
【正弦定理】
1．正弦定理: (R为三角形外接圆的半径).
2.正弦定理的一些变式：
；；
；（4）
3．两类正弦定理解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）

【余弦定理】
1．余弦定理：
2.推论： .
设、、是的角、、的对边，则：
①若，则；
②若，则；
③若，则．
3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.
（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

【面积公式】
已知三角形的三边为a,b,c,
1.（其中为三角形内切圆半径）
2.设,

【三角形中的常见结论】

（1）(2)
,;,
（3）若
若
（大边对大角，小边对小角）
（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
（5）三角形中最大角大于等于，最小角小于等于
(6) 锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.
钝角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值
（7）中，A,B,C成等差数列的充要条件是.
(8) 为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列.
二、题型汇总
题型1【判定三角形形状】
判断三角形的类型
（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
（2）在中，由余弦定理可知:
（注意：）
(3) 若，则A=B或.
例1.在中，，且，试判断形状.

题型2【解三角形及求面积】

一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
例2.在中，，，，求的值
例3.在中，内角对边的边长分别是，已知，．
　　（Ⅰ）若的面积等于，求；
　　（Ⅱ）若，求的面积．

题型3【证明等式成立】
证明等式成立的方法：（1）左右，（2）右左，（3）左右互相推.
例4.已知中，角的对边分别为，求证：.

题型4【解三角形在实际中的应用】
仰角 俯角 方向角 方位角 视角
例5．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

数列知识点
1. 等差数列的定义与性质
定义：（为常数），
等差中项：成等差数列
前项和
性质：是等差数列
（1）若，则
（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；
（3）若三个成等差数列，可设为
（4）若是等差数列，且前项和分别为，则
（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）
的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，
即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.
当，由可得达到最小值时的值.
(6)项数为偶数的等差数列，有

，.

（7）项数为奇数的等差数列，有
，
，.
2. 等比数列的定义与性质
定义：（为常数，），.
等比中项：成等比数列，或.
前项和：（要注意！）
性质：是等比数列
（1）若，则
（2）仍为等比数列,公比为.
注意：由求时应注意什么？
时，；
时，.
3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列，，求
解 时，，∴ ①
时， ②
①—②得：，∴，∴
［练习］数列满足，求
注意到，代入得；又，∴是等比数列，
时，
（2）叠乘法
如：数列中，，求
解 ，∴又，∴.
（3）等差型递推公式
由，求，用迭加法
时，两边相加得
∴
［练习］数列中，，求（）
（4）等比型递推公式
（为常数，）
可转化为等比数列，设
令，∴，∴是首项为为公比的等比数列
∴，∴
（5）倒数法
如：，求
由已知得：，∴
∴为等差数列，，公差为，∴，
∴
(
附：
公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：是公差为的等差数列，求
解：由
∴

［练习］求和：

（2）错位相减法
若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.
如： ①
②
①—②
时，，时，
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
相加
［练习］已知，则

由
∴原式
(附：
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。
d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。
f.用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
g.用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。

不等式知识点归纳
一、两实数大小的比较： ；；．
二、不等式的性质： ①；②；③；
④，；⑤；
⑥；⑦；
⑧．
三、基本不等式定理
1、整式形式：①；②；
③；④
2、根式形式：①（，）②a+b
3、分式形式：+2（a、b同号）
4、倒数形式：a>0a+2 ；a<0a+-2
四、公式：
五、极值定理：设、都为正数，则有
⑴若（和为定值），则当时，积取得最大值．
⑵若（积为定值），则当时，和取得最小值．
六、解不等式
1、一元一次不等式： ax>b（a0）的解：当a>0时，x>；当a<0时，x<；
2、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式．

3、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式

二次函数
的图象

一元二次方程
的根
有两个相异实数根

有两个相等实数根
没有实数根
一元二次不等式的解集

4、解一元二次不等式步骤：一化：化二次项前的系数为整数
二判：判断对应方程的根，三求：求对应方程的根，四画：画出对应函数的图像，五解集：根据图像写出不等式的解集
5、解分式不等式：
>0f(x)g(x)>0 ; 0
6、解高次不等式：(x-)(x-)…（x-）>0
7、解含参数的不等式：解形如a+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：（1）讨论a与0的大小（2）讨论与0的大小（3）讨论两根的大小
七、一元二次方程根的分布问题：
方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解。
1、<<k
2、k <<
3、<k <f(k)<0
4、<<<
5、、<<<
6、<<<<

八、线性规划问题
1、定义：
线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式．
线性目标函数：目标函数为，的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解
2、区域判断
在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点．
①若，，则点在直线的上方．
②若，，则点在直线的下方．
在平面直角坐标系中，已知直线．
①若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域．
②若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域．
3、解线性规划问题的一般步骤
第一步：在平面直角坐标系中做出可行域
第二步：在可行域内找出最优解所对应的点
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值

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