第三章-连续时间线性定常系统时域分析-修订版-646302069word版本.doc
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1、第三章:连续时间线性定常系统时域分析3.1 系统的数学模型LTI系统中各参量之间的相互关系及其随时间的演化,可以由下列四种模型描述。l R、L、C上的电压与电流关系关系模型 电阻:(3-1)或(3-2)图3-1 电阻 图3-2 电压作用于电阻产生电流 图3-3 电流作用于电阻产生电压 电感:(3-3)或:(3-4) 图3-4 电感上的直流不产生电压 图3-5 电流作用于电感产生电压 图3-6 电压作用于电感产生电流 电容:(3-5)或:(3-6) 图3-7 电容上的恒压不产生电流图3-8 电压作用于电容产生电流 图3-9 电流作用于电容产生电压 求和(相加):(3-7)图3-10 信号汇聚流图
2、 分支:(3-8) 图3-11 信号分支流图须注意,信息可以拷贝,可以无限复制;而物质则只能被瓜分式共享。l LTI连续时间系统的状态空间模型:例1:如图3-12电路求:(1),(2)解:列回路电流、电压方程:消去i1、i2、i3,得下列方程:图3-12 例1电路图 定义(状态):能够表征系统时域动力学行为的一组最小内部变量组。 物理上,状态的维数dimX(t) = 系统中独立储能元件的个数 状态的选取可以不唯一 状态空间模型: (状态方程) (3-9) (观测方程/输出方程) (3-10)其中,V(t) = ,为输入向量(r维)X(t) = ,为状态向量(n维)Y(t) = ,为输出向量(m
3、维)(t) =图3-13 系统的状态空间模型 方程的解为: X(t) = eAt X(0) + B V() d (3-11)Y(t) = CeAt X(0) + CB + DV() d (3-12)若V(t)、X(0)已知,则X(t)、Y(t)确定。注:(3-11)的两项分别是状态向量的零输入响应与零状态响应;(3-12)的两项分别是输出向量的零输入响应与零状态响应。l LTI系统的微分方程模型:具有n个独立储能元件的单输入单输出(SISO)系统,输出输入关系为:已知输入V(t)、输出初值,求y (t) = ?求解步骤:(1)求齐次解:由微分方程列特征方程,求出n个特征根,则齐次解为,有n个待
4、定系数;对于k重根,其所对应的齐次解为(2)求特解,根据输入信号形式确定;其中待定系数可将特解带入原微分方程通过同类函数对应系数相等来求得。激励e(t)响应r(t) 的特解形式E(常数)注: 表中B、D为待定系数; 若e(t)由多种信号线性叠加而成,则特解也为相应的叠加; 当表中的特解与齐次解相同时,则乘以表中特解作为特解。例如,而特征根也是,即齐次解为,则特解为;若是k重根,则特解为。(3)全解=齐次解+特解,代入n个边界条件,求出第(1)步里的n个待定系数。这里所谓的边界条件视具体问题而定,见下节“初始条件”的讨论。l LTI系统的系统算子模型: 令:,则微分方程模型化为算子模型:令: 有
5、:有: (3-13)其中, 称为系统算子,它对信号的作用不是相乘的关系。 注意三点: 与的公因式一般不可相消例如:。 与的顺序一般不可交换例如:,而 不同的物理系统,输入输出方程可能相同,但含义不同 对因式分解,基本单元为。对输入作用产生输出,即,齐次解;对于输入,其特解为,单位冲激响应为,则。综上有:(3-14)由(3-14)式可进一步推得下面的(3-19)式。3.2 LTI系统的响应l LTI系统的微分方程:先来关注几个重要概念: 起始状态(状态):,简记为Y(0-) 初始状态(状态):,简记为Y(0+),亦称为初始条件 一般地,Y(0-)Y(0+),这是因为有了输入的激励作用。 零输入(
6、zero input)响应:无外加激励信号的作用,即0,由起始状态Y(0-)0所产生的响应;此时,Y(0+)=Y(0-)。 零状态(zero state)响应:起始时刻系统储能为0,即Y(0-)0,由系统的外加激励信号所产生的响应;此时,系统储能将发生变化,可能瞬间发生跳变,即Y(0+) Y(0-)=0。下面讨论系统在的输出,表示所求的响应从0+开始。ll 零输入响应:,Y(0-)0(3-15)特征方程:(3-16)特征根:(3-17)在无重根的情况下:(3-18)有k重根a1时,对应这个重根的解有k项,。其中由初始条件Y(0+)=Y(0-)0代入求得。注意:无外界输入,仅靠初始储能不为零而产
7、生的输出必然随着时光的流逝而衰减到零!只是衰减的快慢不同而已。那么衰减的快慢取决于什么呢?请大家思考它取决于什么因素,我们将在系统模态分析章节里作深入讨论。l 零状态响应:Y(0-)=0,(3-19)此式不难从本讲义(3-14)式推得。特征根符号故意取反了,呵呵。 齐次解项特解项(3-20)注意: 特解反映了输入对输出的胁迫小子哎,跟老子走! 在输入激励下,Y(0+)Y(0-)=0,由Y(0+)带入(3-20)式确定;齐次解项由输入激发系统的特征根而产生,且当特征根小于零时都衰减至零。由于输入的激励,系统在0-,0+瞬间建立了初始储能,从零起始状态变为“非零”初始状态。我们所关心的是系统在t0
8、+, )区间的响应,须将Y(0+) Y(0-)的初始值代入到(3-20)式里求待定系数。这一点在解题时常被混淆。l 系统响应(一般情况): 列些电路的微分方程:根据电路形式,列回路方程,整理得到微分方程。 求出系统的完全响应:齐次解(含待定系数)+特解。 确定完全响应中的待定系数:根据系统的0-状态求出0+状态,作为条件列方程求解待定系数。求解0+状态可以利用“无冲击电流,电容电压不突变;无冲击电压,电感电流不突变”,结合电路进行求解;另外可以使用冲击响应不变法求解,是一种数学方法,避免了电路分析的过程(见后面)。l 起始状态到初始状态的求解方法冲激函数匹配法:系统初始状态可能不等于起始状态,
9、Y(0+)Y(0-)。这种从0-状态到0+状态的“变化”,是由输入引起的。若输入含或其各阶导数,则0-到0+存在状态“跳变”。冲激函数匹配法,是用来从起始状态求初始状态的数学技巧,其原理是t=0时刻微分方程左右两端的及其各阶导数平衡匹配。使用时须注意以下两点:(1)与的区别:是从0跳变到1;而是从e 跳变到e+1,e0。(2),则有;,则有;,则有。l 系统响应:分解为零输入响应与零状态响应之和:l 系统响应:分解为自由响应与强迫响应之和:系统响应齐次解特解|带入Y(0+)Y(0-)求得待定系数Ai (t0) 自由响应 强迫响应(受迫响应)(瞬态响应) (稳态响应)系统的自由响应由特征根(对应
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