二次函数单元测试题含答案人教版.doc

第I卷（选择题）
1．二次函数的图象如图所示，则下列关系式中错误的是 。

2．二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（5 ，2） B．（－5 ，2） C．（5，－2） D．（－5 ，－2）
4．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=2，且经过点p(3‚0).则a+b+c的值为（ ）　
A、 1 B、 2 C、 –1 D、 0
5．将抛物线y=x2向左平移两个单位，再向上平移一个单位，可得到抛物线（ ）
A．y=(x－2) 2+1 B．y=(x－2) 2－1 C．y=(x+2) 2+1 D．y=(x+2) 2－1
6．已知，，是抛物线上的点，则（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a<0 ②b<0 ③c>0 ④4a+2b+c=0, ⑤b+2a=0 ⑥ 其中正确的个数是( ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
8．二次函数的图象如图所示．当＜0时，自变量的取值范围是（

A．－1＜＜3 B．＜－1
C．＞3 D．＜－1或＞3
9． 抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
10．二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是

A．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
11．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论错误的是( )
(A)ab＜0
(B)ac＜0
(C)当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小
(D)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根

12． 抛物线的部分图象如上图所示，若，则的取值 范围是( )

A． B． C．或 D．或
13．如图,二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点(-1,2)，与y轴交于点（0，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中-2< x1<-1，0< x2<1，下列结论：①4a-2b+c<0，②2a-b0，
③a<-1 ，④b2+8a<4ac，其中正确的有（ ）.
。
。
。
。
。
。
。
-1
。
。
。
。
。
。
。
。
。
3
-2
3
-1
-4
1
x
y
-3
1
-4
-2
-5
2
4
-3
2
o
。

A.①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ②③④
14．二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点( )
A.(-1,-1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,1)
15．汽车匀加速行驶路程为，匀减速行驶路程为，其中、为常数. 一汽车经过启动、匀加速行驶、匀速行驶、匀减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是（ ）
A
C
D
B

16．函数﹣2，当x 时，函数值y随x的增大而减小.
17．已知二次函数(均为常数，且)，若与的部分对应值如下表所示，则方程的根为 ．

18．已知二次函数的图象如图所示，
1
1

O
x
y

有以下结论：①；②； ③；④；⑤其中所有正确结论的序号是______________________
19．抛物线的顶点是C(2，)，它与x轴交于A、B两点，它们的横坐标是方程x2－4x+3=0的两个根，则AB= ，S△ABC= 。
20．已知=次函数y＝ax+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c，
2a+b，2a－b中，其值大于0的个数为 个

21．平移抛物线，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式_______
22．已知函数图像上点（2，n）与（3，m），则 n ▼ m. （填“>,<，或无法确定”）
23．小颖同学想用“描点法”画二次函数的图象，取自变量x的5个值，分别计算出对应的y值，如下表：

…

0
1
2
…

…
11
2
－1
2
5
…
由于粗心，小颖算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x=
24．函数的图象上有两点,，则 （填“<”或“=”或“>”）.
25．炮弹从炮口射出后,飞行的高度h（m）与飞行的时间t（s）之间的函数关系是h=v0tsinα—5t2,其中v0是炮弹发射的初速度, α是炮弹的发射角,当v0=300（）, sinα=时，炮弹飞行的最大高度是___________。
26．如图（5），A、B、C是二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像上三点,根据图中给出的三点的位置,可得a_______0，c________0, ⊿________0.

27．抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为_____
28．老师给出一个函数,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:
甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。
丙：当x＜2时，y随x的增大而减小。丁：当x＜2时，y＞0，
已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数___________________。
29．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点、处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 （精确到1米）

O
A
E
F
B

30．已知二次函数 ，当x＝_________时，函数达到最小值

评卷人
得分

三、计算题（题型注释）
设函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)．
31．写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中用描点法画出这两个特殊函数的图象
32．根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明
33．对任意负实数k，当x<m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值

评卷人
得分

四、解答题（题型注释）
34．如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON．
y
A
x
O
N
l
P
M

（1）求该二次函数的关系式；
（2）若点A的坐标是（6，－3），求△ANO的面积；
（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：
①证明：∠ANM＝∠ONM；
②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．

如图，二次函数与x轴交于点B和点A（-1,0），与y轴交于点C，与一次函数交于点A和点D。
A
B
O
x
C
y
D

35．求出的值；
36．若直线AD上方的抛物线存在点E，可使得△EAD面积最大，求点E的坐标；
37．点F为线段AD上的一个动点，点F到（2）中的点E的距离与到y轴的距离之和记为d，求d的最小值及此时点F的坐标。

评卷人
得分

五、判断题（题型注释）

本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
参考答案
1．C
【解析】∵图象开口向上，∴＞0；∵抛物线与y轴的交点为负，∴c＜0; ∵抛物线的对称轴在y轴的左边，∴∵＞0，∴b＞0∴2+ b＞0；当x=-1时，y＜0，即-b+c＜0.故选C.
2．B
【解析】
试题分析：根据解析式，顶点的横坐标为1，纵坐标为3，即坐标为（1,3）
考点：二次函数的顶点坐标
点评：二次函数的顶点式为，顶点坐标即为（a,h）
3．A
【解析】因为y=3（x-5）2+2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（5，2）．故选A
4．D
【解析】因为对称轴是x=2，所以，又因为经过点p(3‚0)，所以把代入得，所以a+b+c=，故选D
5．C
【解析】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移两个单位，再向上平移一个单位，那么新抛物线的顶点为（-2，1）；
可设新抛物线的解析式为y=（x-h）2+k，代入得：y=（x+2）2+1，
故选C．
6．D
【解析】分析：此题可以把图象上三点的横坐标代入求得纵坐标y值，再比较大小．
解答：解：由于三点（1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y=x2-4x上的点，，
则y1=1-4=-3；y2=4-8=-4；y3=16-16=0
∴y3＞y1＞y2．
故选D．
7．D
【解析】
试题分析：根据图像，抛物线开口向下说明a＜0，①正确
其与y轴交于正半轴，由于抛物线与y轴交点为（0，c）所以c＞0，③正确
又∵对称轴
∴b>0，②错误
当x=2时y=4a+2b+c
结合分析可知，x=2在图像和x轴右交点的左侧
结合图像看到此时图像在x轴上方即y＞0
∴4a+2b+c＞0，所以④错误
因为，得到
也就是，故⑤正确
根据图像可知，抛物线与x轴有两个交点，所以，⑥正确
综上，有4个正确的，所以选D
考点：二次函数的图像与系数
点评：难度中等，关键在于分析二次函数的图像、系数之间的关系。
8．A
【解析】
试题分析：根据二次函数的性质得出，y＜0，即是图象在x轴下方部分，进而得出x的取值范围．
∵二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示．
∴图象与x轴交在（-1，0），（3，0），
∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：-1＜x＜3，
故选A.
考点：此题主要考查了二次函数的性质
点评：利用数形结合得出图象在x轴下方部分y＜0是解题关键．
9．B
【解析】
试题分析：二次函数图像平移，上下平移是y变化，“上加下减”，左右平移是x变化，“左加右减”，所以，即为向下平移3个单位，即为向左平移2个单位，答案为B
考点：二次函数图像的平移
点评：图像平移要明确是x轴变化，还是y轴变化，先化为顶点式，在看是在括号内还是在括号外，括号内是x轴变化，括号外是y轴变化.
10．D
【解析】根据二次函数特点，图像开口向下，a＜0,交y轴在原点上方，c＞0,排除答案B和C，对称轴x＞0,而a＜0，则b＞0,图像与x轴有两个交点，必须保证△>0，综上，选D
11．B
【解析】解：A、图象开口向下，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，＞0，b＞0，所以ab＜0，正确；
B、图象开口向下，与y轴交于负半轴，能得到：a＜0，c＜0，∴ac＞0，错误；
C、a＜0，对称轴为x=2，根据二次函数的增减性可知，当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小，正确；
D、由二次函数与一元二次方程的关系可知，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，正确．
故选B．
12．B
【解析】分析：根据抛物线的对称性可知，图象与x轴的另一个交点是-3，y＞0反映到图象上是指x轴上方的部分，对应的x值即为x的取值范围．
解答：解：∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x=-1，
根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点是（-3，0），
又图象开口向下，
∴当-3＜x＜1时，y＞0．
故选B．
【答案】C
【解析】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），与y轴交于（0，2）点，且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，下列结论
①4a-2b+c＜0；当x=-2时，y=ax2+bx+c，y=4a-2b+c，
∵-2＜x1＜-1，∴y＜0，故①正确；
②2a-b＜0；
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），
∴a-b+c=2，与y轴交于（0，2）点，c=2，
∴a-b=0，二次函数的开口向下，a＜0，
∴2a-b＜0，故②正确；
③根据-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，可以估算出两根的值，
例如x1=-1.5，x2=0.5，图象还经过点（-1，2），得出函数的解析，
解得：a=-＜-1，b=-故③a＜-1正确；
④b2+8a＞4ac．
根据③中计算结果，可以得出：b2+8a＞4ac，
（-）2+8×（-）-4×（-）×2=＞0，
故④b2+8a<4ac，不正确．
故选：C．
14．D
【解析】分析：此题可将b+c=0代入二次函数，变形得y=x2+b（x-1），若图象一定过某点，则与b无关，令b的系数为0即可．
解答：解：对二次函数y=x2+bx+c，将b+c=0代入可得：y=x2+b（x-1），
则它的图象一定过点（1，1）．
故选D．
【答案】A
【解析】第一段匀加速行驶，路程随时间的增大而增大，且速度越来越大，即路程增加的速度不断变大．则图象斜率越来越大，则C错误；
第二段匀速行驶，速度不变，则路程是时间的一次函数，因而是倾斜的线段，则D错误；
第三段是匀减速行驶，速度减小，倾斜程度减小．故B错误．
故选A．
16．＞-1
【解析】
试题分析：先判断出抛物线的对称轴，再根据抛物线的开口方向即可得到结果.
∵抛物线的对称轴为，，即抛物线开口向下
∴当时，函数值y随x的增大而减小.
考点：二次函数的性质
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次函数的性质，即可完成.
17．，
【解析】将（-1，0），（0，-3），（1，-4）代入y=ax2+bx+c得，
a-b+c=0， c=-3 ,a+b+c=-4 ，
解得 a=1 b=-2 c=-3 ，
代入ax2+bx+c=0得，
x2-2x-3=0，
即（x+1）（x-3）=0，
解得x1=-1，x2=3．
18．①②③⑤
【解析】根据函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，再结合图象判断各结论．
解：由函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，
则①当x=1时，y=a+b+c＜0，正确；
②当x=-1时，y=a-b+c＞1，正确；
③abc＞0，正确；
④对称轴x=-1，则x=-2和x=0时取值相同，则4a-2b+c=1＞0，错误；
⑤对称轴x=-=-1，b=2a，又x=-1时，y=a-b+c＞1，代入b=2a，则c-a＞1，正确．
故所有正确结论的序号是①②③⑤．
19．
【解析】此题考查二次函数与三角形
，

答案
20．2
【解析】由图可知，a＜0，c＜0，所以ac＞0；
因为当x=1时的函数值大于0，所以a+b+c＞0；
因为当x=-2时的函数值小于0，所以4a－2b+c＜0；
因为对称轴x=-b/2a＜1,所以-b＞2a，因此2a+b＜0；
因为对称轴x=-b/2a＞-1，所以b＞2a，因此2a－b＜0。
故，其值大于0的个数为 2 个.
21．答案不唯一，如
【解析】
试题分析：可设这个函数的解析式为，根据（0，0）适合这个解析式求解即可.
可设这个函数的解析式为，那么（0，0）适合这个解析式，解得c=0
故平移后抛物线的一个解析式（答案不唯一）.
考点：二次函数的图象与几何变换
点评：解题的关键是熟练掌握抛物线在平移过程中不改变a的值.
22．＜
【解析】分别把点（2，n）与（3，m）代入函数y=ax2-2ax+3，然后比较即可得出答案．
解：令x=2，则n=4a-4a+3=3，
令x=3，则m=9a-6a+3=3a+3，
∵a＞0，
∴m=3a+3＞3，
∴m＞n．
故答案为：＜．
23．2
【解析】由表格给出的信息可以看出，该函数的对称轴为直线x=0，则x=2与x=-2时应取值相同．
解：根据表格给出的各点坐标可得出，该函数的对称轴为直线x=0，
求得函数解析式为y=3x2-1，
则x=2与x=-2时应取值相同．
故这个算错的y值所对应的x=2．
【答案】m<n
【解析】本题考查二次函数的性质
因点,在函数的图象上，则有，
所以

25．1125m
【解析】
考点：二次函数的应用．
分析：本题需先根据题意求出当v0=300（m/s），sinα= 时，飞行的高度h（m）与飞行的时间t（s）之间的函数关系式，再求出函数的最大值即可．
解；∵当v0=300（m/s），sinα=时
h=300×t-5t2，
=150t-5t2
∴炮弹飞行的最大高度是：=1125m．
故答案为：1125．
点评：本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据函数的解析式求出最大值是本题的关键．
26．<、<、>
【解析】
分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：画草图得，此函数开口向下，所以a＜0；
与与y轴的交点为在y轴的负半轴上，所以c＜0；
抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0．
故a＜0，c＜0，△＞0．
点评：考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．
27．4
【解析】
试题考查知识点：抛物线y＝ax2+bx＋c(a≠0)的对称轴是直线
思路分析：直接套用对称轴解析式即可得到关于系数b的方程
具体解答过程：
∵抛物线y＝ax2+bx＋c(a≠0)的对称轴是直线，抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1
∴
解之得：b=4
试题点评：抛物线的顶点坐标、对称轴是一般解析式、开口方向与系数a（a≠0）的关系等等要作为常识牢记在心。
28．略
【解析】当x＜2时，y随x的增大而减小，对称轴可以是x=2，开口向上的二次函数．函数的图象不经过第三象限，经过第一象限，且x＜2时，y＞0，二次函数的顶点可以在x轴上方．顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．
解：∵当x＜2时，y随x的增大而减小．当x＜2时，y＞0．
∴可以写一个对称轴是x=2，开口向上的二次函数就可以．
∵函数的图象不经过第三象限．
∴所写的二次函数的顶点可以在x轴上方，
设顶点是（2，0），并且二次项系数大于0的二次函数，就满足条件．
如y=（x-2）2，答案不唯一．
解决本题的关键是能够根据图象的特点，得到函数应该满足的条件，转化为函数系数的特点．已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．
29．
【解析】由于两盏E、F距离水面都是8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就
是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．
故有，
即， ， ．
所以两盏警示灯之间的水平距离为：
30．2
【解析】本题考查二次函数最值
已知二次函数
化简可得=
化为标准式为，开口向上，顶点坐标
所以当时，有最小值为2

31．当k=1时，y= x2＋3x+1;当k=0时y=x+1, 图象略
32．见解析
33．只要m的值不大于-1即可
【解析】
（1）当k=1时，y= x2＋3x+1;当k=0时y=x+1, 图象略
(2) 对任意实数k, 函数的图象都经过点（-2，-1）和点（0,1）
证明；把x=-2代入函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1，得y=-1，即函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图像经过点（-2，-1）；把x=0代入函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1，得y=1，即函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图像经过点（0,1）
（3）当k为任意负实数，该函数的图像总是开口向下的抛物线，其对称轴为，当负数k所取的值非常小时，正数靠近0，所以靠近-1，所以只要m的值不大于-1即可。
34．（1）
（2）12
（3）相似三角形的基本知识推出该角度的相等，不能
【解析】
试题分析：（1）∵二次函数图象的顶点为P（4，－4），∴设二次函数的关系式为。
又∵二次函数图象经过原点（0，0），∴，解得。
∴二次函数的关系式为，即。（2分）
（2）设直线OA的解析式为，将A（6，－3）代入得，解得。
∴直线OA的解析式为。
把x=4代入得y=-2。∴M（4，－2）。
又∵点M、N关于点P对称，∴N（4，－6），MN=4。
∴。（3分）
（3）①证明：过点A作AH⊥于点H，，与x轴交于点D。则
设A（）,
则直线OA的解析式为。
则M（），N（），H（）。
∴OD=4，ND=，HA=，NH=。
∴。
∴。∴∠ANM=∠ONM。（2分）
②不能。理由如下：分三种情况讨论：
情况1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=450，
∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH，即。
整理，得，解得。
∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。
情况2，若∠AON是直角，则。
∵ ，
∴。
整理，得，解得，。
∴此时，故点A与原点或与点P重合。故此时不存在点A，使∠AON是直角。
情况3，若∠NAO是直角，则△AMN∽△DMO∽△DON，∴。
∵OD=4，MD=，ND=，∴。
整理，得，解得。
∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。
综上所述，当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动时，△ANO不能成为直角三角形。（3分）
考点：二次函数的综合题
点评：在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键．

35．：a=1；b=3；c=4.（解题过程略）
36．设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为。过点E作x轴的垂线l，交x轴于点G，交AD于点H，则点H的坐标为。过点D作l的垂线，垂足为T。
将与联立组成方程组，解得点D的坐标为（3,4）。
所以

∵a= ＜0，∴有最大值。当m=1时，最大值为6，此时点E的坐标为（1,6）
37．过A作y轴的平行线AS，过F作FG⊥y轴交AS于点M，过F作FN⊥x轴于N,
∵点D的坐标为（3,4），点A坐标为（-1,0） ∴∠DAB=45° ∴AD平分∠SAB，∴FM=FN
∴d =FE+FM-1=FE+FN-1
显然，当N、F、E所在直线与x轴垂直时，d=FE+FN-1最小，最小值为6-1=5.
此时点F的横坐标为1，带入得F点的坐标为（1，2）。
【解析】略
答案第9页，总9页