最小二乘法市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx
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1、最小二乘法线性拟合最小二乘法线性拟合朱刚强朱刚强.03.0121第1页n 在处理数据时,常要把试验取得一系列数据点描成曲线表反应物物理理量量间间关关系系。为了使曲线能代替数据点分布规律,则要求所描曲线是平滑,既要尽可能使各数据点对称且均匀分布在曲线两侧。因为目测有误差,所以,同一组数据点不一样试验者可能描成几条不一样曲线(或直线),而且似乎都满足上述平滑条件。那么,终究哪一条是最曲线呢?这一问题就是“曲线拟合”问题。普通来说,“曲线拟合”任务有两个:2第2页n一一 是物理量y与x间函数关系已已经经确确定定,只有其中常数未定(及详细形式未定)时,依据数据点拟合出各常数最正确值。n二二 是在物理量
2、y与x间函数关系未未知知时时,从函数点拟合出y与x函数关系经验公式以及求出各个常数最正确值。3第3页处理问题方法n寻找变量之间直线关系方法很多。于是,再接下来则是从众多方法中,寻找一个优良方法,利用方法去求出线性模型y=a+bx+u中截距a=?;直线斜率b=?正是是本章介绍最小二乘法。n所得直线可靠吗?怎样衡量所得直线可靠性?n最终才是怎样利用所得规律变量线性关系?4第4页最小二乘法产生历史n最小二乘法最早称为回归分析法。由著名英国生物学家、统计学家道尔顿(F.Gallton)达尔文表弟所创。n早年,道尔顿致力于化学和遗传学领域研究。n他研究父亲们身高与儿子们身高之间关系时,建立了回归分析法。
3、5第5页父亲身高与儿子身高之间关系研究n1889年F.Gallton和他朋友K.Pearson搜集了上千个家庭身高、臂长和腿长统计n企图寻找出儿子们身高与父亲们身高之间关系详细表现形式n下列图是依据1078个家庭调查所作散点图(略图)6第6页n从图上虽可看出,个子高父亲确有生出个子高儿子倾向,一样地,个子低父亲确有生出个子低儿子倾向。得到详细规律以下:n如此以来,高伸进了天,低缩入了地。他百思不得其解,同时又发觉某人种平均身高是相当稳定。最终得到结论:儿子们身高回复于全体男子平均身高,即“回归”见1889年F.Gallton论文普用回归定律。n后人将此种方法普遍用于寻找变量之间规律 7第7页最
4、小二乘法地位与作用n现在回归分析法已远非道尔顿本意,已经成为探索变量之间关系最主要方法,用以找出变量之间关系详细表现形式。n以后,回归分析法从其方法数学原理误差平方和最小出发,改称为最小二乘法最小二乘法。8第8页最小二乘法思绪n1为了准确地描述Y与X之间关系,必须使用这两个变量每一对观察值,才不至于以点概面。n2Y与X之间是否是直线关系(协方差或相关系数)?若是,将用一条直线描述它们之间关系。n3什么是最好?找出判断“最好”标准。最好指是找一条直线使得这些点到该直线纵向距离和(平方和)最小。9第9页第一节第一节 一元线性拟合一元线性拟合10第10页n1.已知函数为线性关系,其形式为:n y=a
5、+bx (1)n式中a,b为要用试验数据确定常数。这类方程叫线性回归方程,方程中待定常数a,b叫线性回归系数。n由试验测得数据是n x=x1,x2,.xn 时,n 对应y值是y=y1,y2,.yn1.函数形式已知数学推证过程11第11页n因为试验数据总是存在着误差,所以,把各组数据代入(1)式中,两边并不相等。对应作图时,数据点也并不能准确地落在公式对应直线上,如图所表示。由图一还能够看出第i个数据点与直线偏差为:(1)n假如测量时,使x较之y偏差很小,以致能够忽略(即xi很小)时,我们能够认为x测量是准确,而数据偏差,主要是y偏差,因而有:12第12页n我们目标是依据数据点确定回归常数a和b
6、,而且希望确定a和b能使数据点尽可能靠近直线能使v尽可能小。因为偏差v大小不一,有正有负,所以实际上只能希望总偏差()最小。n所谓最小二乘法就是这么一个法则,按照这个法则,最好地拟合于各数据点最正确曲线应使各数据点与曲线偏差平方和为最小。13第13页n首先,求偏差平方和,将式两边平方后相加,得:n显然,是a,b函数。按最小二乘法,当a,b选择适当,能使为最小时y=a+bx才是最正确曲线。由最小二乘法确定a和b 14第14页n依据二元函数求极值法二元函数求极值法,把式对a和b分别求出偏导数。得:15第15页n令等于零,得:n解方程,得:n n 16第16页n公式式中:n从不难求出对a,b二阶偏导
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