高中数学导数与应用知识点汇总知识讲解.doc
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1、高中数学导数与应用知识点汇总精品文档导数知识点归纳及其应用知识点归纳一、相关概念1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量,那么函数y相应地有增量=f(x+)f(x),比值叫做函数y=f(x)在x到x+之间的平均变化率,即=。如果当时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数,记作f(x)或y|。即f(x)=。说明:(1)函数f(x)在点x处可导,是指时,有极限。如果不存在极限,就说函数在点x处不可导,或说无导数。(2)是自变量x在x处的改变量,时,而是函数值的改变量,可以是零。由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x处的导数的步骤:
2、求函数的增量=f(x+)f(x); 求平均变化率=; 取极限,得导数f(x)=。例:设f(x)= x|x|, 则f( 0)= .解析: f( 0)=02导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x)处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x)在点p(x,f(x)处的切线的斜率是f(x)。相应地,切线方程为yy=f/(x)(xx)。例:在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是( )A3B2C1D0解析:切线的斜率为又切线的倾斜角小于,即故解得:故没有坐标为整数的点3.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s(t),那么该物体在时
3、刻t的瞬间速度v=(t)。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v(t),则该物体在时刻t的加速度a=v(t)。例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数,其图像可能是( )stOAstOstOstOBCD答:A。练习:已知质点M按规律做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s)。(1) 当t=2,时,求;(2) 当t=2,时,求;(3) 求质点M在t=2时的瞬时速度。答案:(1)8.02(2)8.002;(3)8二、导数的运算1基本函数的导数公式: (C为常数); ; ; .例1:下列求导运算正确的是 ( )A(x+ B(log2x
4、)= C(3x)=3xlog3e D (x2cosx)=-2xsinx 例2:设f0(x) sinx,f1(x)f0(x),f2(x)f1(x),fn1(x) fn(x),nN,则f2005(x)( )Asinx Bsinx Ccosx Dcosx2导数的运算法则法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即: (法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母
5、的平方:(v0)。例:设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)0的解集是 ( )A (-3,0)(3,+) B (-3,0)(0, 3) C (-,- 3)(3,+) D (-,- 3)(0, 3)解析:当x0时,0 ,即 当x0时,f(x)g(x)为增函数,又g(x)是偶函数且g(3)=0,g(-3)=0,f(-3)g(-3)=0故当时,f(x)g(x)0,又f(x)g(x)是奇函数,当x0时,f(x)g(x)为增函数,且f(3)g(3)=0故当时,f(x)g(x)0故选D3.复合函数的导数形如y=f的函数称为复合函数。复合
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