较好较难的几个立体几何教学教材.doc
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1、较好较难的几个立体几何精品文档49、BFAFDAECM矩形ABCD与矩形ABEF的公共边为AB,且平面ABCD平面ABEF,如图所示,FD, AD=1, EF= ()证明:AE 平面FCB; ()求异面直线BD与AE所成角的余弦值 ()若M是棱AB的中点,在线段FD上是否存在一点N,使得MN平面FCB?证明你的结论解:(1) 平面ABCD平面ABEF,且四边形ABCD与ABEF是矩形,AD平面ABEF,ADAE, BCAD BCAE又FD=2,AD=1,所以AF=EF=,所以四边形ABEF为正方形.AEFB,又BFBF平面BCF,BC平面BCF所以AE平面BCF4分(2)设BFAE=O,取FD
2、的中点为H,连接OH,在 OH/BD,HOF即为异面直线BD与AE所成的角(或补角),在中,OH=1,FH=1,FO=,cosHOF=异面直线BD与AE所成的角的余弦值为.8分(3)当N为FD的中点时, MN平面FCB证明:取CD的中点G,连结NG,MG,MN,则NG/FC,MG/BC, 又NG平面NGM,MG平面NGM且NGMG=G所以平面NGM/平面FBC,MN平面NGMMN/平面FBC12分50、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E是BC的中点。(1)求异面直线AE与A1C所成的角;(2)若G为C1C上一点,且EGA1C,试确定点G的位置;
3、(3)在(2)的条件下,求二面角A1-AG-E的大小(文科求其正切值)。解:(1)取B1C1的中点E1,连A1E1,E1C,则AEA1E1,E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角。设,则中, 。所以异面直线AE与A1C所成的角为。 -4分(2).由(1)知,A1E1B1C1,又因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱BCC1B1,又EGA1C CE1EG. =GEC 即得所以G是CC1的中点 - -8分(3)连结AG,设P是AC的中点,过点P作PQAG于Q,连EP,EQ,则EPAC.又平面ABC平面ACC1A1 EP平面ACC1A1 而PQAG EQAG.PQE是二面角C-AG-E的平面角.
4、 由EP=a,AP=a,PQ=,得所以二面角C-AG-E的平面角是arctan,而所求二面角是二面角C-AG-E的补角,故二面角的平面角是arctan -12分(文)二面角的平面角的正切值为。-12分45、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知梯形ABCD中,ADBC,ABC =BAD =,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EFBC,AE = x,G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD平面EBCF (如图) .(1) 当x=2时,求证:BDEG ;(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x),求f(x)的最大值;(3) 当 f(x)取得最
5、大值时,求二面角D-BF-C的余弦值.解:(1)(法一)平面平面,AEEF,AE面平面,AEEF,AEBE,又BEEF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。 1分则A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,2,0),D(0,2,2),E(0,0,0)2分xyz(2,2,2),(2,2,0)3分H(2,2,2)(2,2,0)0, 4分(法二)作DHEF于H,连BH,GH,1分由平面平面知:DH平面EBCF,而EG平面EBCF,故EGDH。又四边形BGHE为正方形,EGBH,BHDHH,故EG平面DBH, 3分而BD平面DBH, EGBD。 4分(或者直接利用三垂线定理得出结果)(2)AD面BFC
6、,所以 VA-BFC4(4-x)x7分即时有最大值为。8分(3)(法一)设平面DBF的法向量为,AE=2, B(2,0,0),D(0,2,2),H_EMFDBACGF(0,3,0),(2,2,2), 9分则 ,即,取x3,则y2,z1, 面BCF的一个法向量为 12分则cos= 13分由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角,所以此二面角的余弦值为 14分(法二)作DHEF于H,作HMBF,连DM。由三垂线定理知 BFDM,DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。9分由HMFEBF,知,而HF=1,BE=2,HM。又DH2,在RtHMD中,tanDMH=-,因DMH为锐角,cosDMH, 1
7、3分而DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角,故二面角D-BF-C的余弦值为。 14分46、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)如图,在中,斜边可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角是直二面角动点在斜边上。(I)求证:平面平面;(II)当为的中点时,求异面直线与所 成角的大小;(III)(理)求与平面所成角的最大值。(文)当为的中点时,求与平面所成的角。解:(I)由题意,是二面角是直二面角,又二面角是直二面角,又,平面,又平面,平面平面4分(II)解法一:作,垂足为,连结(如图),则,是异面直线与所成的角在中,又在中,异面直线与所成角的大小为8分解法二:建立空间直角坐标系,如图,则,
8、异面直线与所成角的大小为8分(III)(理)由(I)知,平面,是与平面所成的角,且当最小时,最大,这时,垂足为,与平面所成角的最大值为12分(文)由(I)知,平面,是与平面所成的角,且45o。12分47、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)如图,在几何体中,面为矩形,面,(1)求证;当时,平面PBD平面PAC;(2)当时,求二面角的取值范围。以A为坐标原点,射线AP、AB、AD分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的坐标系。设,由已知得(1)当时,4分,又,平面PBD平面PAC;6分解法二:当时,矩形为正方形,面,2分又,BD平面PAC,BD平面PBD,平面PBD平面PAC(2)由
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