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第十章 电磁感应
§10-1法拉第电磁感应定律
一、电磁感应现象，感应电动势
电磁感应现象可通过两类实验来说明：
1．实验
1）磁场不变而线圈运动
2）磁场随时变化线圈不动
2．感应电动势
由上两个实验可知：当通过一个闭合导体回路的磁通量变化时，不管这种变化的原因如何（如：线圈运动，变；或不变线圈运动），回路中就有电流产生，这种现象就是电磁感应现象，回路中电流称为感应电流。
3．电动势的数学定义式
定义：把单位正电荷绕闭合回路一周时非静电力做的功定义为该回路的电动势，即
（10-1）
说明：（1）由于非静电力只存在电源内部，电源电动势又可表示为

表明：电源电动势的大小等于把单位正电荷从负极经电源内部移到正极时，非静电力所做的功。
（2）闭合回路上处处有非静电力时，整个回路都是电源，这时电动势用普遍式表示：
（3）电动势是标量，和电势一样，将它规定一个方向，把从负极经电源内部到正极的方向规定为电动势的方向。
二法拉第电磁感应定律
1、定律表述
在一闭合回路上产生的感应电动势与通过回路所围面积的磁通量对时间的变化率成正比。数学表达式：

在SI制中，，（），有
（10-2）
上式中“-”号说明方向。
2、方向的确定
为确定，首先在回路上取一个绕行方向。规定回路绕行方向与回路所围面积的正法向满足右手旋不定关系。在此基础上求出通过回路上所围面积的磁通量，根据计算。

此外，感应电动势的方向也可用楞次定律来判断。楞次定律表述：闭合回路感应电流形成的磁场关系抵抗产生电流的磁通量变化。
说明：（1）实际上，法拉第电磁感应定律中的“-”号是楞次定律的数学表述。
（2）楞次定律是能量守恒定律的反映。
例10-1：设有矩形回路放在匀强磁场中，如图所示，边也可以左右滑动，设以匀速度向右运动，求回路中感应电动势。
解：取回路顺时针绕行，,,
则通过线圈磁通量为

由法拉第电磁感应定律有：

“-”说明：与绕行方向相反，即逆时针方向。由楞次定律也能得知，沿逆时针方向。
讨论：（1）如果回路为匝，则（为单匝线圈磁通量）
（2）设回路电阻为（视为常数），感应电流
在—内通过回路任一横截面的电量为

可知与（）成正比，与时间间隔无关。
例10-1中，只有一个边切割磁力线，回路中电动势即为上述产生的电动势。可见该边就是回路电源。该电源的电动势是如何形成的？或者说产生它的非静电力是什么？从图中可知，运动时，其上自由电子受洛仑兹力作用，从而B端有过剩的正电荷，A端有过剩的负电荷，形成了B端是电源正极，A端为负极，在洛仑兹力作用下，电子从正极移向负极，或等效地说正电荷从负极移向正极。可见，洛仑兹力正是产生动生电动势的非静电力。
§10-2动生电动势
一、产生动生电动势的非静电力
产生动生电动势的非静电力是洛仑兹力。
二．动生电动势公式的导出
一个电子受洛仑兹力为
（10-3）
它是产生动生电动势的非静电力。
单位正电荷受洛仑兹力为：（正电荷e受洛仑兹力为-）
（10-4）
由电动势定义，则动生电动势为：

动生电动势公式 （10-5）
说明：（1）的方向为沿在上分量的方向。
沿方向，即

（2）用可求出运动回路电动势。
用可求出非闭合回路运动的动生电动势。这时，相当一个开路电源，其端电压与在数值上相等，但意义不同：是单位正电荷从移到时静电力作的功，是单位正电荷从移到时非静电力（洛仑兹力）作的功。
三、动生电动势计算举例
例10-2：用 j解例1
解：整个回路的电动势即由运动引起的动生电动势（其他部分
段产生的动生电动势为

(为标量，标量叠加)

可知，（就是中学中常用的公式。）
*如图所示，长为的细导体棒在匀强磁场中，绕过处垂直于纸面的轴以角速度匀速转动。求
解：〈方法一〉：用解（沿方向）段产生的动生电动势为：

已知：与同向。
∴
棒产生的电动势为

，即比点电势高。
（上分量方向）
〈方法二〉：用解
设t=0时，AB位于AB‘位置，t时刻转到实线位置，取AB‘BA为绕行方向（AB‘BA视为回路），则通过此回路所围面积的磁通量为

，∴ 沿方向。
回路中只有产生电动势
∴段电动势值为
沿方向。
注意：
例10-4：如图所示，一无限长载流导线，电流为I，导体细棒CD与共面，并互相垂直，CD长为,C距为a,CD以匀速度沿方向运动，求CD中
解：

垂直指向纸面
指向方向，
即与反向。
大小为。

CD产生的为

例10-5：如图所示，平面线圈面积为S ，共N匝，在匀强磁场中绕轴以 速度匀速转动。轴与垂直。t=0时，线圈平面法线与同向。
（1） 圈中
（2） 线圈电阻为R，求感应电流
解：（1）设t时刻，与夹角为，此时线圈磁通量为：

由法拉第电磁感应定律知：

（2）

§10-3 感生电动势 涡旋电场
一、产生感生电动势的非静电力
导体在磁场中运动时，其内的自由电子也跟随运动，因此受到磁力的作用，我们已经知道，洛仑兹力是动生电动势产生的根源，即是产生动生电动势的非静电力。对于磁场随时间变化而线圈不动的情况，导体中电子不受洛仑兹力作用，但感生电流和感应电流的出现都是实际事实。那么感生电动势对应的非静电力是什么呢？麦克斯韦分析了这种情况以后提出了以下假说：
变化的磁场在它周围空间产生电场，这种电场与导体无关，即使无导体存在，只要磁场变化，就有这种场存在。该场称为感生电场或涡旋电场。涡旋电场对电荷的作用力是产生感生电动势的非静电力。（涡旋电场已被许多事实所证实，如电子感应加速器等。）
说明：涡旋电场与静电场的异同点。
相同点：二者对电荷均有作用力。
不同点：（1）涡旋电场是变化磁场产生的，电力线是闭合的，为非保守场（。
（2）静电场是由电荷产生的，电力线是闭合的，为保守场（。
二、感生电动势计算公式
由电动势定义知：感生电动势为：
（） （10-6）
再根据法拉第电磁感应定律，可有
= （10-7）

说明：法拉第建立的电磁感应定律的原始形式 只适用于导体构成的闭合回路情形；而麦克斯韦关于感应电场的假设所建立的电磁感应定律 =，则闭合回路是否由导体组成的无关紧要，闭合回路是在真空中还是在介质中都适用。这就是说，只要通过某一闭合回路的磁通量发生变化，那么感应电场沿此闭合回路的环流总是满足 =。只不过，对导体回路来说，有电荷定向运动，而形成感应电流；而对于非导体回路虽然无感生电流，但感应电动势还是存在的。
三、涡旋电场强度及感生电动势计算
例10-6：如图所示，均匀磁场被局限在半径为R的圆筒内，与筒轴平行， ，求筒内外
解：根据磁场分布的对称性，可知，变化磁场产生的涡旋电场，其闭合的电力线是一系列同心圆周，圆心在圆筒的轴线处。
1） 筒内P点
取过P点电力线为闭合回路，绕行方向取为顺时针，可知
=
=
=
=

即

方向如上图所示，即电力线与绕向相反（实际上，用楞次定律可方便地直接判出电力线的绕行方向）。
2） 筒外Q点
取过Q点电力线为回路，绕行方向为顺时针。
=
=
=
及
=
=

即

方向如上图所示。
注意：（1）在筒外也存在电场。
（2）磁通量的计算。
（3）方向可用楞次定律判断。
（4）回路无导体时，只要，则
例10-7：如图所示，均匀磁场被限制在半径为R的圆筒内，与筒轴平行，。回路abcda中ad、bc均在半径方向上，ab，dc均为圆弧，半径分别为r 、r’、已知。求该回路感生电动势。
解：根据磁场分布的对称性，可知，变化磁场产生的涡旋电场的电力线示是一系列同心圆，圆心为O.
<方法一>用解
取abcda 为绕行方向，

=+++
在bc、da上，垂直于 。
∴
∴=+
=+
= —
= —
= —
=
∴为逆时针方向。
<方法二>用 解
通过回路的磁通量等于阴影面积磁通量

=BS
=B()

逆时针方向。
讨论：在半径方位上不产生电动势，
强调：一题多解，并学会简单方法。
§10-4自感与互感现象
一、自感现象
1．自感现象
当一回路中有电流时，必然要在自身回路中有磁通量，当磁通量变化时，由法拉第电磁感应定律可知，在回路中要产生感应电动势。由于回路中电流发生变化而在本身回路中引起感应电动势的现象称为自感现象。该电动势称为自感电动势。
（实际上，回路中电流不变，而形状改变，则也引起自感电动势。）
2．自感系数
（1）定义：设通过回路电流为I，由毕—沙定律可知，这电流在空间任意一点产生的其大小与I成正比，所以通过回路本身的磁通量与I成正比，即
(10-6)
式中：L定义为自感系数或自感，L与回路的大小、形状、磁介质有关（当回路无铁磁质时，L与I无关）。在SI单位制中，L单位为亨利，记作H。
（2）自感电动势与L的意义
自感电动势记为，
=
当回路的形状、大小、磁介质不变时，
（10-7）
当线圈有N匝时， ，为一匝线圈磁通量，即自感系数扩大N倍，N称为磁通链匝数。
说明：（1）（10-6）、（10-7）式均可看作L的定义式，它们是等效的。
（2）L的意义：① 由(1)式知，自感系数L在数值上等于回路中电流为1个单位时通过回路的磁通量。
②由(10-7)式知，回路中自感系数在数值上等于电流随时间变化为1个单位时回路中自感电动势的大小。
例10-8：如图所示，长直螺线管长为，横截面积为S，共N匝，介质磁导率为 （均匀介质）。求L=?
解：设线圈电流为I，通过一匝线圈磁通量为

通过N匝线圈磁通链数为

由有

（为螺线管的体积）
说明：（1）由于计算中忽略了边缘效应，所以计算值是近似的，实际测量值比它小些。
（2）只与线圈大小、形状、匝数、磁介质有关。
例10-9：如图所示，同轴电缆半径分别为a、b,电流从内筒端流入，经外筒端流出，筒间充满磁导率为的介质，电流为I。求单位长度同轴电缆的
解：由安培环路定律知，筒间距轴r 处大小为：
（）
取长为h一段电缆来考虑，穿过阴影面积磁通量为（取向里）：

=
=

单位长电缆自感系数为
二 、互感现象
1、互感现象
假设有两个临近的线圈1、2，如图所示，它们通过电流分别为I1、、I2。I1 产生的磁场，其部分磁力线（实线）通过线圈2，磁通量用φ21 表示，当I1 变化时，在线圈2中要激发感应电动势,同理，I2 变化时，它产生的磁场通过线圈1的磁通量φ12 也变化，在回路1中也要激发感应电动势。如上所述，一
个回路的电流发生变化时，在另外一个回路中激发感应电动势的现象称为互感
现象，该电动势称为互感电动势。
2、互感系数
（1）定义：根据毕—沙定律，I1 在空间任一点产生的磁感应强度大小与I1 成正比，所以，I1 产生的磁通量通过线圈2的磁通量φ21 也与I1 成正比，即

同理：
理论和实际都证明M12=M21=M
（10-8）
式中：M定义为互感系数，或互感。M与回路的大小、形状、磁介质及二者相对位置有关。在SI单位制中，M单位为H。
（2）互感电动势与M意义

由法拉第电磁感应定律知，
当回路大小、形状、磁介质、线圈相对位置不变时，
(10-9)
当线圈1、2分别有N1 、N2 匝数，磁通链数分别为
（是一个线圈磁通量）
M意义：①由（3）式知：在数值上等于其中一个线圈通有一个单位电流时在另外一个线圈中通过的磁通量。
②由（10-9）知：在数值上等于其中一个线圈中电流变化率为一个单位时在另一个线圈中产生互感电动势的大小。
例10-10：如图所示，一螺线管长为，横截面积为S，密绕导线N匝，在其中部再绕匝另一导线线圈。管内介质的磁导率为，求此二线圈互感
解：设长螺线管导线中电流为，它在中部产生的大小为

产生的磁场通过第二个线圈磁通链数为：

依互感定义：有

例10-11：如图所示，两圆形线圈共面，半径依次为，，匝数分别为。求互感系数。
解：设大线圈通有电流 ，在其中心处产生磁场大小为

∵ ，∴小线圈可视为处于均匀磁场，为O处值记为，
通过小线圈的磁通链数为

由有, （用 困难。）
§10-5 磁场能量
如图所示，R为电阻，L为自感线圈，为电源电动势。K为电键。K刚关闭（设此时t=0）后，由闭合回路的欧姆定律
R （ ）
上式两边同时乘以 ，并对时间积分，有

在0-t时间内 ∴
电源作功—反抗自感电动势作功=电路R上焦耳热
即电源作功一部分用来产生焦耳热，一部分用来克服自感电动势做功。我们知道，当电路上电流从0I时，电路周围空间建立起来逐渐增强的磁场，磁场与电场类似，是一种特殊形态的物质，具有能量。所以，电源反抗自感电动势作的功，必然转变为线圈的磁场能量。所以，磁场能量为

（10-10）
此公式与电场能量相类似（），下面以螺线管为例，求出磁场能量密度表达式。环行螺线管磁场能量为：

式中为螺线管体积，可得磁场能量密度函数为

（10-11）
此式与电场能量密度 相类似。
说明：（1）对任意线圈均成立。
（2）表达式普遍成立。
（3）任意磁场中，能量可表示为

例10-12：用磁场能量方法解例10-9。
解：由安培环路定律知，。∴除两筒间外无磁场能量。在筒间距轴线为处，为：

在半径为处、宽为、高为的薄圆筒内的能量为

在筒间能量为：

∵
∴ 单位长同轴电缆为：

第十一章 电磁场基本理论
11-1位移电流 全电流定律
法拉第电磁感应定律发现后，麦克斯韦为了解释感生电动势的产生，提出了变化的磁场产生电场的假说，麦克斯韦又认为电场和磁场具有对称性，变化的磁场既然能激发电场，变化的电场也必然能激发磁场。就其产生磁场来说，变化的电场与一电流等效，这个等效电流被称为位移电流。下面介绍有关位移电流的概念。
一、问题的提出
对于稳恒电流，有

对于非稳恒电流，上式是否成立？在讨论此问题之前，先说一下电流的连续性问题。在一个不含电容器的闭合电路中，传导电流是连续的，即在任一时刻，通过导体上某一截面的电流等于通过任何其他截面的电流。但在含电容器的电路中，情况就不同了，无论是电容器充电还是放电，传导电流都不能在电容器的两极间通过，这时电流就不连续了。
如图所示，在电容器充电过程中，电路中I随时间改变，是非平衡的。现在在极板A附近取回路L，并以L为边界形成曲面和，其中与导线相交，过二极板之间，与电场线相交，、构成一闭合曲面。

图11-1
对而言，有，对而言，有 。∵上述积分应相等，∴出现了矛盾。故在非平衡电流下，安培定律不成立，必然要找新的规律。
二、位移电流的假设
如上图所示，设某一时刻A板上有电荷+，面密度为＋，B板上有电荷
电荷面密度为－。充电时，则导线中传导电流为I，
（S为极板面积）
传导电流密度为（大小）
在极板间：（电流不连续）
我们知道，充电中是变化的。∴和（电位移通量）也是随时间变化的，它的变化率为

从上述方程看出，极板间电通量随时间的变化率在数值上等于导线内传导电流；极板间电位移随时间变化等于导线内传导电流密度，并且进一步分析知和同向，∴可设想和分别表示某种电流密度和电流，能把极板A、B间中断的电流接下来，构成电流的连续性。于是，麦克斯韦引进了位移电流假设。
令： （11-1）
（11-2）
式（11-1）和（11-2）中的、分别称为位移电流和位移电流密度（极板间）。
可见，上面出现的矛盾能够解决了，即前面二个积分相等了。
注意：位移电流和传导电流的关系
（1）共同点：都能产生磁场
（2）不同点：位移电流是变化电场产生的（不表示有电荷定向运动，只表示电场变化），不产生焦尔热；传导电流是电荷的宏观定向运动产生的，产生焦尔热。
三、全电流环路定律
如果电流中同时存在传导电流与位移电流，那么安培环路定率可表示为

即 （11-3）
式（11-3）称为全电流环路定律。该式右边第一项为传导电流对磁场贡献，第二项为位移电流（既变化电场）对磁场的贡献。它们产生的磁场都来源于电场。麦克斯韦位移电流假设的根源就是变化的电场激发磁场。
说明：全电流环路定律普遍适用。
11-2麦克斯韦方程组
在一般情况下，电场可能包括静电场和涡旋电场，
∴

同理，在一般情况下，磁场既包括传导电流产生的磁场也包括位移电流产生的磁场，即

一般情况下，电磁规律可由下面四个方程来描述
（11-4）
上面四个方程称为麦克斯韦方程组（积分形式）。
例11-1：如图所示，有平行板电容器，由半径为的两块圆形极板构成，用长直导线电流给它充电，使极板间电场强度增加率为，求距离极板中心连线处的磁场强度。
（1）；
（2）。
解：忽略电容边缘效应，极板间电场可看作局限在半径为内的均匀电场，由对称性可知，变化电场产生的磁场其磁力线是以极板对称轴上点为圆心的一系列圆周。
（1）取半径为的磁力线为绕行回路，绕行方向同磁力线方向。由全电流环流定律

有

可有

（2）
取半径为的磁力线为回路，绕行方向同磁力线方向，由

有

得
例11-2：从公式证明平行板电容器与球形电容器两极板间的位移电流均为，其中为电容，为板间电压。
证：（1）平行板电容器

（2）球形电容器

例11-3：平行板电容器的正方形极板边长为，当放电电流为时，忽略边缘效应，求：
（1） 两极板上电荷面密度随时间变化率；
（2） 通过极板中如图所示的正方形回路abcda区间的位移电流大小；
（3） 环绕此正方形回路的的大小。
解：（1）

（2）
（3）？

１1－3电磁波简介
一、磁波的形成
变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场产生变化的电场。
二、磁波的性质
研究表明，电磁波的性质主要有如下几点：
1、电磁波是横波，也就是电磁波强度与磁场强度的振动方向与电磁波的传播方向（单位矢量）垂直，即： ， 。

2、电场强度与磁场强度垂直，即

3、与随时间的变化是同步的（以后将介绍这种情况称为同位相），并且电磁波的传播方向就是的方向。图　　示意了平面电磁波某一时刻的波形情况。
4、与幅值成比例
令，代表与的幅值，理论计算表明，和的关系位

5、电磁波的传播速度
计算表明，电磁波在介质只传播速度的大小为

如果在真空中传播，，电磁波的速度为

即真空中电磁波的传播速度，正好等于光在真空中的传播首都。麦克斯韦根据这一事实，预言光波就是一种电磁波。

第十二章 机械振动
§12-1简谐振动
1、弹簧振子运动
如图所取坐标，原点O在m平衡位置。现将m略向右移到A，然后放开，此时，由于弹簧伸长而出现指向平衡位置的弹性力。在弹性力作用下，物体向左运动，当通过位置O时，作用在m上弹性力等于0，但是由于惯性作用，m将继续向O左边运动，使弹簧压缩。此时，由于弹簧被压缩，而出现了指向平衡位置的弹性力并将阻止物体向左运动，使m速率减小，直至物体静止于B（瞬时静止），之后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。这样在弹性力作用下物体左右往复运动，即作机械振动。 图12-1
2、简谐振动运动方程
由上分析知，m位移为x（相对平衡点O）时，它受到弹性力为（胡克定律）：
(12-1)
式中： 当即位移沿+x时，F沿-x，即当即位移沿-x时，F沿+x，即
为弹簧的倔强系数，“—”号表示力F与位移x（相对O点）反向。
定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。由定义知，弹簧振子做谐振动。由牛顿第二定律知，加速度为
（为物体质量）
∵ ∴
∵ 、均大于0 ∴ 可令
可有：
(12-2)
式(12-2)是谐振动物体的微分方程。它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为
(12-3)
或 (12-4)

式(12-3)(12-4)是简谐振动的运动方程。因此，我们也可以说位移是时间的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。本书中用余弦形式表示谐振动方程。
3、谐振动的速度和加速度
物体位移：
速度： (12-5)
加速度： (12-6)

可知：

、、曲线如下

图12-2

图12-3
说明：（1）是谐振动的动力学特征；
（2）是谐振动的运动学特征；
（3）做谐振动的物体通常称为谐振子。

§12-2 谐振动的振幅 角频率 位相
上节我们得出了谐振动的运动方程，现在来说明式中各量意义。
1、振幅
做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅，记做。反映了振动的强弱。
2、角频率（圆频率）
为了定义角频率。首先定义周期和频率。
物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用表示；
在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率，用表示。
由上可知： 或
∵为周期，∴
∵从时刻经过1个周期时，物体又首次回到原来时刻状态，∴（余弦函数周期为）

可见：表示在秒内物体所做的完全振动次数，称为角频率（圆频率）
∵
∴

对于给定的弹簧振子，、都是一定的，所以、完全由弹簧振子本身的性质所决定，与其它因素无关。因此，这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。
3、位相
在力学中，物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定，振动中，当、给定后，物体的位置和速度取决于，称为位相（或周相、相位）。
由上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量。是时的位相，称为初相。
4、、的确定
对于给定的系统，已知，初始条件给定后可求出、。
初始条件：时 由、表达式有

即

即
（12-6）

（12-7）
值所在象限：
1），：在第Ⅰ象限
2），：在第Ⅱ象限
3），：在第Ⅲ象限
4），：在第Ⅳ象限
5、两个谐振动物体在同一时刻位相差
设物体1和2的谐振动方程为 图 12-4

任意时刻二者位相差为

：2的位相比1超前
：2、1同位相
：2的位相比1落后
例12-1：如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上，已知，，试求下列情况下的振动方程。
（1）将从平衡位置向右移到处由静止释放；
（2）将从平衡位置向右移到处并给以向左的速率为。
解：（1）的运动方程为

由题意知：
初始条件：时，，
可得：

∵ ∴

2） 初始条件：时，，

∵，，∴

可见：对于给定的系统，如果初始条件不同，则振幅和初相就有相应的改变。
例12-2：如图所示，一根不可以伸长的细绳上端固定，下端系一小球，使小球稍偏离平衡位置释放，小球即在铅直面内平衡位置附近做振动，这一系统称为单摆。
(1)证明：当摆角很小时小球做谐振动；
(2)求小球振动周期。
证：（1）设摆长为，小球质量为，某时刻小球悬线与铅
直线夹角为，选悬线在平衡位置右侧时，角位移为正，由
转动定律：

有
图12-6
即
∵很小。∴

∵这是谐振动的微分方程（或与正比反向）
∴小球在做谐振动。
（2）

（注意做谐振动时条件，即很小）
§12-3 表示谐振动的旋转矢量方法
在中学中，为了更直观更方便地研究三角函数，引进了单位圆的图示法，同样，在此为了更直观更方便地研究简谐振动，来引进旋转矢量的图示法。
一、旋转矢量
自ox轴的原点o作一矢量，其模
为简谐振动的振幅，并使在图面内
绕o点逆时针转动，角速度大小为谐振动
角频率，矢量称为旋转矢量。
二、简谐振动的旋转矢量表示法 图12-7
（1）旋转矢量的矢端M在x轴上投影坐标可表示为x轴上的谐振动，振幅为
（2）旋转矢量以角速度旋转一周，相当于谐振动物体在x轴上作一次完全振动，即旋转矢量旋转一周，所用时间与谐振动的周期相同。
（3）时刻，旋转矢量与x轴夹角为谐振动的初相，时刻旋转矢量与x轴夹角为时刻谐振动的位相。
说明：（1）旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简便方法。
（2）必须注意，旋转矢量本身并不在作谐振动，而是它矢端在x轴上的投影点在x轴上做谐振动。
旋转矢量与谐振动曲线的对应关系（设）

图12-8
三、旋转矢量法应用举例
例12-3： 一物体沿x轴作简谐振动，振幅为，周期为。时，位移为，且向x轴正向运动。
（1）求物体振动方程；
（2）设时刻为物体第一次运动到处，试求物体从时刻运动到平衡位置所用最短时间。
解：（1）设物体谐振动方程为

由题意知

〈方法一〉用数学公式求

∵,
∴
∵
∴
图12-9

〈方法二〉用旋转矢量法求
根据题意，有如左图所示结果
∴

由上可见，〈方法二〉简单
（2）〈方法一〉用数学式子求
由题意有： （∵∴）
或
∵此时
∴

设时刻物体从时刻运动后首次到达平衡位置，
有：
或 （∵∴）
∵
∴

〈方法二〉用旋转矢量法求
由题意知，有左图所示结果，M1为时刻末端位置，M2为时刻 末端位置。从内转角为

显然〈方法二〉简单。 图12-10
例12-4：图为某质点做谐振动的曲线。求振动方程。
解：设质点的振动方程为
由图知：

图12-11

用旋转矢量法（见上页图）可知， （或 ）

例12-5：弹簧振子在光滑的水平面上做谐振动，为振幅，时刻情况如图所示。O 为原点。试求各种情况下初相。

图12-12
§12-4 谐振动的能量
对于弹簧振子，系统的能量=（物体动能）+（弹簧势能）
已知： 物体位移
物体速度

（11-8）

说明：（1）虽然、均随时间变化，但总能量且为常数。原因是系统只有保守力作功，机械能要守恒。
（2）与互相转化。当时，，。在处，，。
例12-6：一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动，振幅为。试求的位置。
解：设弹簧的倔强系数为，系统总能量为

在时，有

∴

例12-7：如图所示系统，弹簧的倔强系数，物块，物块，与间最大静摩擦系数为，与地面间是光滑的。现将物块拉离平衡位置，然后任其自由振动，使在振动中不致从上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。
解：系统的总能量为

（此时）
不致从上滑落时，须有 图12-13

极限情况
即

§12-5 同方向同频率两谐振动合成
一个物体可以同时参与两个或两个以上的振动。如：在有弹簧支撑的车厢中，人坐在车厢的弹簧垫子上，当车厢振动时，人便参与两个振动，一个为人对车厢的振动，另一个为车厢对地的振动。又如：两个声源发出的声波同时传播到空气中某点时，由于每一声波都在该点引起一个振动，所以该质点同时参与两个振动。在此，我们考虑一质点同时参与两个在同一直线的同频率的振动。
取振动所在直线为x轴，平衡位置为原点。振动方程为

、分别表示第一个振动和第二个振动的振幅；、分别表示第一个振动和第二个振动的初相。
是两振动的角频率。由于、表示同一直线上距同一平衡位置的位移，所以合成振动的位移在同一直线上，而且等于上述两分振动位移的代数和，即

为简单起见，用旋转矢量法求分振动。

图12-14 图12-15

如图所示，时，两振动对应的旋转矢量为、，合矢量为。∵、以相同角速度转动，∴转动过程中与间夹角不变，可知大小不变，并且也以转动。任意时刻，矢端在x轴上的投影为：

因此，合矢量即为合振动对应的旋转矢量，为合振动振幅，为合振动初相。合振动方程为：
（仍为谐振动）
由图中三角形知：

（12-9）

由图中三角形知：

（12-10）

讨论：（1） 时（称为位相相同）
（2） 时（称为位相相反）
例12-8：有两个同方向同频率的谐振动，其合成振动的振幅为，位相与第一振动的位相差为，若第一振动的振幅为，用振幅矢量法求第二振动的振幅及第一、第二两振动位相差。
解：（1）

（2）∵ ∴

图12-16
例11-9：一质点同时参与三个同方向同频率的谐振动，他们的振动方程分别为，，，试用振幅矢量方法求合振动方程。
解：如左图，（、、、构成一等腰梯形）

图12-17

第十三章 机械波
§13-1 机械波的产生和传播
一、常见机械波现象
1、水面波。
把一块石头投在静止的水面上，可见到石头落水处水发生振动，此处振动引起附近水的振动，附近水的振动又引起更远处水的振动，这样水的振动就从石头落点处向外传播开了，形成了水面波。
2、绳波。
绳的一端固定，另一端用手拉紧并使之上下振动，这端的振动引起邻近点振动，邻近点的振动又引起更远点的振动，这样振动就由绳的一端向另一端传播，形成了绳波。
3、声波。
当音叉振动时，它的振动引起附近空气的振动，附近空气的振动又引起更远处空气的振动，这样振动就在空气中传播，形成了声波。
二、机械波产生的条件
两个条件 1、波源。如上述水面波波源是石头落水处的水；绳波波源是手拉绳的振动端；声波波源是音叉。
2、传播介质。如：水面波的传播介质是水；绳波的传播介质是绳；声波的传播介质是空气。
说明：波动不是物质的传播而是振动状态的传播。
三、横波与纵波
1、横波：振动方向与波动传播方向垂直。如 绳波。
2、纵波：(1)气体、液体内只能传播纵波，而固体内既能传播纵波又能传播横波。
(2)水面波是一种复杂的波，使振动质点回复到平衡位置的力不是一般弹性力，而是重力和表面张力。
(3）一般复杂的波可以分解成横波和纵波一起研究。
四、关于波动的几个概念
1、波线：沿波传播方向带箭头的线。
2、同相面（波面）：振动位相相同点连成的曲面。同一时刻，同相面有任意多个。
3、波阵面（或波前）：某一时刻，波源最初振动状态传播到的各点连成的面称为波阵面或波前，显然它是同相面的一个特例，它是离波源最远的那个同相面，任一时刻只有一个波阵面。（或：传播在最前面的那个同相面）
4、平面波与球面波
(1)平面波：波阵面为平面。
(2)球面波：波阵面为球面。

图13-1
*：在各向同性的介质中波线与波阵面垂直。
§13-2 波长、波的周期和频率 波速
波长、波的周期、波的频率、波速是波动过程中的重要物理量，分述如下：
一、波长
波长:同一波线上位相差为的二质点间的距离（即一完整波的长度）。
在横波情况下，波长可用相邻波峰或相邻波谷之间的距离表示。如下图。
在纵波情况下，波长可用相邻的密集部分中心或相邻的稀疏部分中心之间的距离表示。
二、波的周期
图13-2
波的周期: 波前进一个波长距离所用的时间（或一个完整波形通过波线上某点所需要的时间）
波动频率：单位时间内前进的距离中包含的完整波形数目。可有
（13-1）
说明：由波的形成过程可知，振源振动时，经过一个振动周期，波沿波线传出一个完整的波形，所以，波的传播周期（或频率）=波源的振动周期（或频率）。由此可知，波在不同的介质中其传播周期（或频率）不变。
三、波速
波速：某一振动状态在单位时间内传播的距离（单位时间内波传播的距离）。可有
（13-2）
对弹性波而言，波的传播速度决定于介质的惯性和弹性，具体地说，就是决定于介质的质量密度和弹性模量，而与波源无关。
横波在固体中传播速度为：
纵波速度为