数学物理方法综合试题及答案.doc

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复变函数与积分变换 综合试题（一）
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设，则（　　）
A． B． C． D．
2．复数的三角表示式为（　　）
A． B． C． D．
3．设C为正向圆周|z|=1，则积分等于（　　）
A．0　　　B．2πi 　　　 C．2π　　 D．－2π
4．设函数，则等于（　　）
A． B． C． D．
解答：
5．是函数的（　　）
A． 3阶极点　　　B．4阶极点　　　C．5阶极点　　D．6阶极点
6．下列映射中，把角形域保角映射成单位圆内部|w|<1的为（　　）
A．　 　B．　　 C．　　　　D．
7. 线性变换 ( ）
A.将上半平面>0映射为上半平面Imω>0
B.将上半平面>0映射为单位圆|ω|<1
C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Imω>0
D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1
8.若在Z平面上解析，，则=（ ）
A.) B. C. D.

9.在 的罗朗展开式是（）
A. B. C. D.
10.=（ ）
A.sin9 B.cos9 C.cos9 D.sin9

二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．方程的解为_________________________。
12．幂极数的收敛半径为________________________。
13．设，则Imz＝______________________。
14．设C为正向圆周|z|=1，则=___________________________。
15．设C为正向圆周，，其中，则=___________________。
16．函数在点z=0处的留数为__________________。
三、计算题(本大题共8小题，共52分)
17. 计算积分的值，其中C为正向圆周|z-1|=3。
18. 函数 (n为正整数)在何处求导？并求其导数
19.求的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1.
20.计算积分的值，其中C为正向圆周|z|=2.
21.试求函数f(z)=在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.
22.求出在所有孤立奇点处的留数.
23.求级数的和函数.
24.函数在点为零，用级数展开法指出该零点的级.
四、综合题(下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分)
25．利用留数求积分的值
26．设Z平面上的区域为，试求下列保角映射
（1）把D映射成W1平面上的角形域；
(2) 把D1映射成W2平面上的第一象限;
（3）把D2映射成W平面的上半平面：Imw>0;
（4）把D映射成G。
27．利用拉氏变换解常微分方程初值问题：
综合试题（一）答案
一、 1.A 2.C 3.A 4.D 5.C 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A
二、11．或　　 12．e 13．0　　　
14．4πi　　 15．或 16．6
三、
17．解：因在C内有二阶级点z=I，所以

18. 解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导.
.
19．解1：，
　　　　　由C－R条件，有，
　　　　　。　　　　　　　　　　　再由，
得，于是，
　　　　。　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　由得。　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　故　　　
　　　解2：

以下同解1。
20．解1：　　　　　　　　　 。　　　　　　　
解2：
　　　　　　　　　　　　。　　　　　　
21．解：因为，（2分）
　　　　所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得

22. 解：函数 有孤立奇点0与，而且在内有如下Laurent展开式：

故

23. 解：
故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：

所以

于是有：

24.解：

故z=0为f(z)的15级零点

四、
25. 解：在上半平面内，有一阶极点z=i和z=3i。　

　　　，　
　　　，
　　　，　
。　
26. 解：（1）由 解得交点z1+1,z2=-1。　　　　　　　　　　　
设，则它把D映射成W1平面上的
（2）设，则它把D1映射成　　　　　　　
　　 W2平面上的第一象限。　　　　　　　
（3）设，则它把D2映射成W平面的上半平面G：Imw>0。　　
（4）。　　　　　　　　　　　
(Z)
1
-1
0
-i
i

(W1)

0
(W)
0
(W2)
0

（5) 资金问题

自制性手工艺品。自制饰品其实很简单，工艺一点也不复杂。近两年来，由于手机的普及，自制的手机挂坠特别受欢迎。

上海市劳动和社会保障局所辖的“促进就业基金”，还专门为大学生创业提供担保，贷款最高上限达到５万元。

二、大学生DIY手工艺制品消费分析

（2） 文化优势

上海市劳动和社会保障局所辖的“促进就业基金”，还专门为大学生创业提供担保，贷款最高上限达到５万元。

（3） 年龄优势27.设，对方程两边取拉氏变换，有，
从中解得

“碧芝自制饰品店”拥有丰富的不可替代的异国风采和吸引人的魅力，理由是如此的简单：世界是每一个国家和民族都有自己的饰品文化，将其汇集进行再组合可以无穷繁衍。　　　
　　　再求拉氏逆变换，得

月生活费 人数（频率） 百分比　　　　　=1-et

（二）对“碧芝”自制饰品店的分析或利用卷积定理得到
　　　－＝－1*et
=1- et
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