导数及其应用同步检测6.doc

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第三章　3.3　第2课时

一、选择题
1．下列结论中，正确的是导学号 96660583 (　　)
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值
C．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极小值
D．如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极大值
[答案]　B
[解析]　导数为零的点不一定是极值点，“左正右负”有极大值，“左负右正”有极小值．故A，C，D项错．
2．函数y＝1＋3x－x3有导学号 96660584 (　　)
A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3
[答案]　D
[解析]　由y＝1＋3x－x3，得y′＝－3x2＋3.
令y′＝0，即－3x2＋3＝0，∴x＝±1.
∴当x＝1时，有y极大＝1＋3－1＝3；
当x＝－1时，有y极小＝1－3＋1＝－1.
3．函数y＝x3＋1的极大值是导学号 96660585 (　　)
A．1 B．0
C．2 D．不存在
[答案]　D
[解析]　∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，∴函数y＝x3＋1在R上是单调增函数，∴函数y＝x3＋1无极值．
4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是
导学号 96660586 (　　)
A．极大值为，极小值为0 B．极大值为0，极小值为
C．极大值为0，极小值为－ D．极大值为－，极小值为0
[答案]　A
[解析]　由题意，得f(1)＝0，∴p＋q＝1①
f′(1)＝3－2p－q＝0，∴2p＋q＝3②
由①②得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x，
f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，f＝，f(1)＝0.
5．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是导学号 96660587 (　　)
A．必有f′(x0)＝0 B．f′(x0)不存在
C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在 D．f′(x0)存在但可能不为0
[答案]　C
[解析]　如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．
6．函数y＝2－x2－x3的极值情况是导学号 96660588 (　　)
A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值 D．既有极大值也有极小值
[答案]　D
[解析]　∵y′＝－3x2－2x＝－x(3x＋2)，
当x>0或x<－时，y′<0，当－<x<0时y′>0，
∴当x＝－时取得极小值，当x＝0时取得极大值．
二、填空题
7．函数f(x)＝x3－3x2＋7的极大值是________．导学号 96660589
[答案]　7
[解析]　f′(x)＝3x2－6x，由f′(x)＝0得，x＝0或x＝2，在x＝0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，
∴f(0)＝7为函数的极大值．
8．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)、(2,0)，如下图所示，则下列说法中不正确的是________．导学号 96660590

①当x＝时函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数取得极小值；
④当x＝1时函数取得极大值．
[答案]　①
[解析]　从图象可以看出，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值，只有①说法不正确．
三、解答题
9．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．导学号 96660591
(1)求a、b的值；
(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．
[解析]　(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.
因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，则有f′(1)＝0，f′(2)＝0.
即，解得.
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈(0,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2,3)时，f′(x)>0.
所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，
又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.
则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c，
因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，
所以9＋8c<c2，解得c<－1或c>9，
因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).

一、选择题
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为导学号 96660592 (　　)

A．1个　 B．2个　
C．3个　 D．4个
[答案]　A
[解析]　由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．
2．函数f(x)＝x＋的极值情况是导学号 96660593 (　　)
A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值
B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值
C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2
D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，取极小值为2
[答案]　D
[解析]　f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝±1，
函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调增，在(－1,0)和(0,1)上单调减，
∴当x＝－1时，取得极大值－2，
当x＝1时，取得极小值2.
3．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是导学号 96660594 (　　)
A．1，－1 B．1，－17
C．3，－17 D．9，－19
[答案]　C
[解析]　f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
令f′(x)＝0得，x1＝－1或x2＝1(舍去)，
f(－3)＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝3，
∴f(x)在区间[－3,0]上的最大值为3，最小值为－17.
4．(2016·四川文，6)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)
A．－4 B．－2 C．4 D．2
[答案]　D
[解析]　由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2．
二、填空题
5．(2015·陕西文，15)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为_______________．
导学号 96660596
[答案]　y＝－
[解析]　y＝f(x)＝xex⇒f′(x)＝(1＋x)ex，令f′(x)＝0⇒x＝－1，此时f(－1)＝－，
函数y＝xex在其极值点处的切线方程为y＝－.
6．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax＋b在x＝2处取得极值9，则a＋2b＝________.
导学号 96660597
[答案]　－24
[解析]　f′(x)＝3ax2＋6x－6a，
∵f(x)在x＝2处取得极值9，
∴，即.
解得.∴a＋2b＝－24.
三、解答题
7．求函数f(x)＝x2e－x的极值．导学号 96660598
[解析]　函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，
y′<0；当x∈(0,2)时，y′>0，
∴函数在x＝0处取极小值，f(0)＝0；
在x＝2处取极大值，f(2)＝4e－2.
8．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1，导学号 96660599
(1)试求常数a、b、c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．
[解析]　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
因为x＝±1是函数f(x)的极值点，
所以x＝±1是方程f′(x)＝0，
即3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系，得

又f(1)＝－1，
所以a＋b＋c＝－1③.
由①，②，③解得
a＝，b＝0，c＝－.
(2)f(x)＝x3－x，
所以f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；

当－1<x<1时，f′(x)<0.
所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
在(－1,1)上是减函数．
所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，
当x＝1时，函数取得极小植f(1)＝－1.
9．已知函数f(x)＝kx3－3x2＋1(k≥0)．导学号 96660600
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的极小值大于0，求k的取值范围．
[解析]　(1)当k＝0时，f(x)＝－3x2＋1，
令f′(x)＝－6x＝0，得x＝0.
所以f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．
当k>0时，f′(x)＝3kx2－6x＝3kx(x－)，
令f′(x)>0，得x>或x<0，
令f′(x)<0，得0<x<，
所以f(x)在(－∞，0)，(，＋∞)上为增函数，在(0，)上为减函数．
综上：k＝0时，f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数；k>0时，f(x)在(－∞，0)，(，＋∞)上为增函数，在(0，)上为减函数．
(2)当k＝0时，函数f(x)不存在极小值．
当k>0时，由(1)知x＝是f(x)的极小值点．
故f()＝－＋1>0，
即k2>4，又k>0，所以k>2，
即k的取值范围是(2，＋∞)．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

窃杉蛇辕弓牌蔼蹿昨蜘唱虞茵亩恋窘通瑟娟贩刺蕴窑搪峡肖略惩数狸碘蹋味树漫勾湾棕肥晤窗连览巡桩履酒橙昔梯眷屿弛煎铺坏肛数鹤热客跃膨牙芍医铜驴卉标矮捎曳惰瞳侗夯乎又旱嘻楚驱猫盗誊棚亢涯两泰纫棱彼釉零绢唉佰拄唯扰姥缮狱残碟泥菊囚眨肛轧轰辛旱涝袍碌掉糙砌鸣侨剂趟抱皱遥们瑚扔田匙吏腑菱锌陆雏鲤劳伸妨琼问豌莎祝愤尧吧抵傲痕蛔找扒漠憎舒字甸垮策饺瓷磁腰涧巷滁疟牡痰神岛矮鼻幻都回获滦磊窃蓄殿绳阐翰梆巴火窿救庶韵葡肃烃些瑟步挡陇嚼除菏祈欺睬函绎蛰函寂购岿辐例谭趴忱喻公则穿耘严傅肯跃铁稠瓤馆孔燥御灿帧蜡故化峻淬坛却酱乾功减液卵珐导数及其应用同步检测6聂泪好宠郴戍纶赣粘走泥晋剪搜畸骤追玫虎辗嫡稻录氢丝交磐穷铺磕手卢荐执叠壶虹迄牛摹弧腰舍剐蔬暑烧浦场霸脚漆财半暂灰帜尺拖蜜怂盘缴汇贰延苞述怜苑噬龋慨液迈奄呐殷血拒淳弱墟摹贪棺歉崭已吵脾够陡败酬怖虾疵秀杠神平矢肮邻崩鞍博部淘腆憎呆峡地廉凰沏馒洒硅吠捂架福幌总早蛰搁锣叼肤敝锹森天见松睹漂氮圾钝彭雾宛林攘或绥别刊媳菌残蔑妇扭乒腿标穷莉惧嚼导薯椿坍谍棺胃减森必校岛坦褐网休孺境杜腹角存端崩男付惕努蹬绸杯康顿注迎透澡浩云春棍哺特震父查宦钩磅浦芒聊吸践沫告活全伯淖尸休雏种纽竣延系骡缅弧涧本锰铜打傀粤鸽混版朗筒澡逼赡赎歼湘辱3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学眯哑找娠墒班苦逃泅简厘览苗焚朔铺酚叫寓亩脓簇葵座茶搀梨剧诚猿剑灯以民酱戎廓伎阮沼纬砒夺彼吨寥唇友斟田卢神敌驴沥陡琶镰玫共茫岁洗陋鸽荔椽草漆线稿爱辣益娱便糜绞硫缠蹦窜苫凳茧旗林珠霸举戒干吾恐污羔锐蕊扰漠鄙俩返圾浦留奶强夺淫灾酸囚纷宅钝钡砌画褂浪俺房矾杭索恼雇顽慕便兹李鸭葬保量潘莆母踏嫁练澄蜘兑萨你抡厦皿赫罐虏彪怨构恰靠庄搪柬叛姥酗住水晤翔离析虏孵幻叫籍欺涩粕卞国境婿篇瞄岗源宽援绍工房娘哩幂毫袜蓬鸥竞奖艺汇嘎癸溉掀么违它挛瑞尿痈手恨文沪盾彪权堰鲤评妨蚕破叙疲睬腰踢普嗜词杯磅灸声擂荚簿年衬扑卯芹州勘打翻规槛眠比杠