第一章-1.3.2学习专用.docx

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1．3.2　命题的四种形式
学习目标　1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．
知识点一　四种命题的概念
思考　给出以下四个命题：
(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；
(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？
答案　命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了．命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．
梳理　对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”(否定)后，可以构成四种不同形式的命题：
(1)原命题：如果p，则q；
(2)逆命题：如果q，则p(“换位”)；
(3)否命题：如果綈p，则綈q(“换质”)；
(4)逆否命题：如果綈q，则綈p(“换位”又“换质”)．
知识点二　命题的四种形式之间的关系
思考1　为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“如果p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？
答案　逆命题：如果q，则p.否命题：如果綈p，则綈q.逆否命题：如果綈q，则綈p.
思考2　原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？
答案　互逆、互否、互为逆否．
梳理　四种命题间的相互关系
知识点三　四种命题的真假关系
思考1　知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的？
答案　(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．
思考2　如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？
答案　原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题．
梳理　(1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系．
(1)任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．(　√　)
(2)原命题与逆命题的真假性无关，但原命题与否命题的真假性一定相反．(　×　)
(3)一个命题的否命题和这个命题的逆命题的真假性相同．(　√　)
(4)否命题其实就是命题的否定．(　×　)
类型一　四种命题及其相互关系
命题角度1　四种命题的概念
例1　写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)若x∈A，则x∈A∪B；
(2)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；
(3)在△ABC中，若a>b，则A>B.
考点　四种命题
题点　四种命题概念的理解
解　(1)逆命题：若x∈A∪B，则x∈A.
否命题：若x∉A，则x∉A∪B.
逆否命题：若x∉A∪B，则x∉A.
(2)逆命题：若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．
否命题：a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数．
逆否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数．
(3)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b.
否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B.
逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.
反思与感悟　四种命题的转换方法
(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．
跟踪训练1　命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是(　　)
A．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
考点　四种命题
题点　四种命题概念的理解
答案　B
解析　直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数．
命题角度2　四种命题的相互关系
例2　若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是(　　)
A．互为逆命题
B．互为否命题
C．互为逆否命题
D．同一命题
考点　四种命题的相互关系
题点　四种命题相互关系的应用
答案　B
解析　已知命题p：若x＋y＝0，则x，y互为相反数．
命题p的否命题q为：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，
命题q的逆命题r为：若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，
∴r是p的逆否命题，
∴r是p的逆命题的否命题，故选B.
反思与感悟　判断四种命题之间四种关系的两种方法
(1)利用四种命题的定义判断．
(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．
跟踪训练2　已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________．
考点　四种命题的相互关系
题点　四种命题相互关系的应用
答案　若实数a，b满足a＋b≥4，则a≠1或b≠2
解析　由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得．
类型二　四种命题的真假判断
例3　有以下命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题，其中真命题为(　　)
A．①② B．②③
C．④ D．①②③
考点　四种命题的真假判断
题点　由四种命题的关系判断命题的真假
答案　D
解析　①②③显然正确；对于④，若A∩B＝B，则B⊆A，
所以原命题为假，故它的逆否命题也为假．
反思与感悟　原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，与逆命题或否命题的真假性没有关系．逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．
跟踪训练3　命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)
A．0 B．2 C．3 D．4
考点　四种命题的真假判断
题点　由四种命题的关系判断命题的真假
答案　B
解析　命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”是假命题，
则其逆否命题是假命题．
该命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b(a，b，c∈R)”是真命题，则其否命题是真命题．故选B.
类型三　等价命题的应用
例4　判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
考点　四种命题的相互关系
题点　逆否证法
解　方法一　原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅，判断如下：
二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，
则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0，
即关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题．
方法二　利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．
因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
所以(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥＞1，
所以原命题为真，故其逆否命题为真．
引申探究　
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，则a<”的逆否命题的真假．
解　先判断原命题的真假如下：
因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，
所以a<.
所以原命题是真命题．
因为互为逆否命题的两个命题同真同假，
所以原命题的逆否命题为真命题．
反思与感悟　由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．
跟踪训练4　证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
考点　四种命题的相互关系
题点　逆否证法
证明　“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0，
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确.
1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是(　　)
A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉B
C．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A
考点　四种命题
题点　四种命题概念的理解
答案　B
解析　命题“若p，则q”的否命题是“若非p，则非q”，“∈”与“∉”互为否定形式．
2．命题“如果x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是(　　)
A．如果x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．如果－1<x<1，则x2<1
C．如果x>1或x<－1，则x2>1
D．如果x≥1或x≤－1，则x2≥1
考点　四种命题
题点　四种命题概念的理解
答案　D
解析　原命题结论“－1<x<1”的否定是“x≤－1或x≥1”，原命题条件“x2<1”的否定是“x2≥1”，故逆否命题是如果x≥1或x≤－1，则x2≥1.
3．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是(　　)
A．真命题
B．假命题
C．不一定是真命题
D．不一定是假命题
考点　四种命题的真假判断
题点　由四种命题的关系判断命题的真假
答案　A
解析　由否命题与逆命题互为逆否命题，可知这个命题的逆命题是真命题．
4．下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；
③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．
其中真命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　四种命题的真假判断
题点　由四种命题的关系判断命题的真假
答案　C
解析　①的逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题；
②的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60°”为真命题；
③当k<0时，Δ＝(2k＋1)2－4k＝4k2＋1>0，方程有两相异实根，原命题与其逆否命题均为真命题．
5．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
考点　四种命题的真假判断
题点　由四种命题的真假求参数的范围
答案　[1,2]
解析　命题：“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为“若1<x<2，则m－1<x<m＋1”．
∵该逆命题为真命题，
∴由得1≤m≤2.
1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：
(1)找出命题的条件p和结论q；
(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；
(3)按照四种命题的结构写出所有命题．
2．一个命题都有条件和结论，要分清条件和结论．
3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．
一、选择题
1．“如果x＞y，则x2＞y2”的逆否命题是(　　)
A．如果x≤y，则x2≤y2
B．如果x＞y，则x2＜y2
C．如果x2≤y2，则x≤y
D．如果x＜y，则x2＜y2
考点　四种命题
题点　四种命题概念的理解
答案　C
解析　由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．
2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是(　　)
A．互逆命题 B．互否命题
C．互为逆否命题 D．以上都不正确
考点　四种命题的相互关系
题点　四种命题相互关系的应用
答案　A
解析　设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．
3．命题p：若A∩B＝B，则A⊆B；命题q：若A⊈B，则A∩B≠B，那么命题p与命题q的关系是(　　)
A．互逆命题 B．互否命题
C．互为逆否命题 D．不能确定
考点　四种命题的相互关系
题点　四种命题相互关系的应用
答案　C
解析　由逆否命题的定义可得．
4．下列命题中为真命题的是(　　)
A．命题“若x>2 016，则x>0”的逆命题
B．命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题
C．命题“若x2＋x－2＝0，则x＝1”
D．命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题
考点　四种命题的真假判断
题点　由四种命题的关系判断命题的真假
答案　B
解析　A选项，“若x>2 016，则x>0”的逆命题为“若x>0，则x>2 016”是假命题；
B选项，“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”是真命题；
C选项，由x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，故C是假命题；
D选项，“若x2≥1，则x≥1”是假命题，故其逆否命题是假命题．
5．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点　四种命题的真假判断
题点　由四种命题的关系判断命题的真假
答案　B
解析　命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”是真命题，故其逆否命题是真命题．
该命题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选B.
6．已知命题“如果ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是(　　)
A．真命题，否命题：“如果ab>0，则a>0或b>0”
B．真命题，否命题：“如果ab>0，则a>0且b>0”
C．假命题，否命题：“如果ab>0，则a>0或b>0”
D．假命题，否命题：“如果ab>0，则a>0且b>0”
考点　四种命题
题点　四种命题概念的理解
答案　B
解析　如果ab≤0，则a与b至少有一个小于等于0，
故“如果ab≤0，则a≤0或b≤0”是真命题，
该命题的否命题为“如果ab>0，则a>0且b>0”．
7．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的(　　)
A．逆否命题 B．逆命题
C．否命题 D．原命题
考点　四种命题的相互关系
题点　四种命题相互关系的判断
答案　C
解析　特例：p：△ABC中，若∠A＝∠B，则a＝b；
r：△ABC中，若∠A≠∠B，则a≠b；
s：△ABC中，若a≠b，则∠A≠∠B；
t：△ABC中，若a＝b，则∠A＝∠B.
8．下列说法错误的是(　　)
A．命题“如果x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“如果x≠3，则x2－4x＋3≠0”
B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”
考点　四种命题
题点　四种命题概念的理解
答案　C
解析　C选项中，p且q为假命题，则p与q至少有一个为假命题．
二、填空题
9．下列命题中：
①如果一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②如果一个四边形为正方形，则它的四条边相等；
③如果一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．
考点　四种命题
题点　四种命题概念的理解
答案　②③　①③　①②
10．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的个数是________．
考点　四种命题的真假判断
题点　由四种命题的关系判断命题的真假
答案　1
解析　原命题是真命题，则其逆否命题是真命题，该命题的逆命题是假命题，则其否命题也是假命题，故答案为1.
11．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则
①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；
②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；
③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．
其中正确是________．(填序号)
考点　四种命题的真假判断
题点　由四种命题的关系判断命题的真假
答案　①②
解析　原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．
三、解答题
12．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；
(2)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0.
考点　四种命题
题点　四种命题概念的理解
解　(1)逆命题：当mx2－x＋1＝0无实根时，m>，真命题；
否命题：当m≤时，mx2－x＋1＝0有实根，真命题；
逆否命题：当mx2－x＋1＝0有实根时，m≤，真命题．
(2)逆命题：当a＝0或b＝0或c＝0时，abc＝0，真命题；
否命题：当abc≠0时，a≠0且b≠0且c≠0，真命题；
逆否命题：当a≠0且b≠0且c≠0时，abc≠0，真命题．
13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
考点　四种命题的真假判断
题点　由四种命题的关系判断命题的真假
解　方法一　(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，
因为b≤－1，所以Δ≥4>0，
故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．
方法二　(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，
因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．
四、探究与拓展
14．已知A表示点，a，b，c表示直线，α，β表示平面，给出下列命题：
①a⊥α，b⊄α，如果b∥α，则b⊥a；
②a⊥α，如果a⊥β，则α∥β；
③a⊂α，b∩α＝A，c为b在α上的射影，如果a⊥c，则a⊥b；
④a⊥α，如果b∥α，c∥a，则a⊥b，c⊥b.
其中逆命题为真的是________．
考点　四种命题的真假判断
题点　由四种命题的关系判断命题的真假
答案　①②③
解析　④的逆命题：“a⊥α，如果a⊥b，c⊥b，则b∥α，c∥a”，而b，c均可以在α内，故不正确．

教案的教学反思怎么写15．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“如果a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”

景山学校通州校区施工情况(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；

昆虫记阅读题及答案(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
考点　四种命题的真假判断

探索发现生命尔雅答案题点　由四种命题的关系判断命题的真假

政治经济学04任务答案解　(1)逆命题：如果f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，为真命题．

教学科研由于逆命题与否命题具有相同的真假性，因此可转化为证明其否命题为真，即证明“如果a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)”为真命题．
因为a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，
则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，

智慧树材料与社会答案所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
因此否命题为真命题，即逆命题为真命题．
(2)逆否命题：如果f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0，为真命题．

推进一带一路建设既要因为逆否命题与原命题具有相同的真假性，所以先证原命题成立．
证明：因为a＋b≥0，所以a≥－b，

新军事变革全面发展始于。所以f(a)≥f(－b)，

教学质量综合测评同理f(b)≥f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题成立．
所以逆否命题是真命题．
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