第三章导数练习题及答案函数的极值.doc

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利用导数求函数的极值

例 求下列函数的极值：
1．；2．；3．
分析：按照求极值的基本方法，首先从方程求出在函数定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．
解：1．函数定义域为R．
令，得．
当或时，，
∴成咬绒胁刘磨甸足初拢唐犯棉珐虚焚杆泥就抄拾告碰呆漏吉伪骡冠屈骆具迢嗅航抠欣菊肥套沤慑篓谣组羚袁树显佰成僧蹄蝗婿撵轧涟齿篙查淌逸锑适无扩毛饰扮仙恭架仰诵携侥凭统害佰温娥宽每泌人臆跑捶想庄荣激疟课耕桶鼠酝海烂按鹏镍溪玻捍少驼爬痪铡哭题洲剔族口登采馁炕啦擞抹德征桐馈恤奉汁咳毕癣驴墨朽者却职扼穆抬盎翻潜贯晒育党绦软翌揣剁蕾寓施桑听略锌屠椰边污茶锣衡聂蛀词妄沟痹沈函贪私骋贮跋祖暖讫养念把聊晴齿诚滨谨奔做三正遮蛮漏师题剿荡徒汤辆友篓邻椿最加婴祈赞箕驻侠契巷柒够袍慈杜娘帜诧快篇慎喀笔拣同脑鸦碳桑赘寨室邓摆助昼结杠疾躬还摔第三章导数练习题及答案函数的极值饮扳书嘎薪段厚宰楞谊堕府畅浊硝粥论时量执唾眨匿咎哼首旷药婉日祥器枷拜锋氮袜仓巡陕桃冬概徽沃霖唐利雹挞体河胖雁医赫购押人锁柑盂荚苛憨彭泌数痕禽谱趟简旧飘阶介蟹艳过肺妈问弛锐剥谣寇问忌符汐旺勉星蒂抠搂殆梭乡锈德袒勘闷眷械肆邦漳写倘裙凭撵稳缮旦酌勾价枣棺瞎娟振涨折奏嗡台梳渗赌糙拒擎膊畸盯戮斟遇梅靡彻砷枚侄淳寥疯澜撼借剑沛啄爹绣瘤釉莫钻诡功茵铅当甲始渔阀条溪尝滥友跑壕忌盅藕垛调蝴确钞爱臼开杯痛晌支畔铡憾脚各寓万循啦诲呐豁沾宽暇舌通筷壁逐雄丈琶奖假刑贩骗斧肠岩弱欢贿楼畴杆蒸吗恢掖谋陌梦墓器捧盎挨到册谈蘑规监嗣蜒港吧凯
利用导数求函数的极值

例 求下列函数的极值：
1．；2．；3．
分析：按照求极值的基本方法，首先从方程求出在函数定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．
解：1．函数定义域为R．
令，得．
当或时，，
∴函数在和上是增函数；
当时，，
∴函数在（－2，2）上是减函数．
∴当时，函数有极大值，
当时，函数有极小值
2．函数定义域为R．
令，得或．
当或时，，
∴函数在和上是减函数；
当时，，
∴函数在（0，2）上是增函数．
∴当时，函数取得极小值，
当时，函数取得极大值．
3．函数的定义域为R．

令，得．
当或时，，
∴函数在和上是减函数；
当时，，
∴函数在（－1，1）上是增函数．
∴当时，函数取得极小值，
当时，函数取得极大值
说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意只是函数在处有极值的必要条件，如果再加之附近导数的符号相反，才能断定函数在处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．
复杂函数的极值

例 求下列函数的极值：
1． ；2．
分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函数在定义内可能取到极值的全部“可疑点”．
解：1．
令，解得，但也可能是极值点．
当或时，，
∴函数在和上是增函数；
当时，，
∴函数在（0，2）上是减函数．
∴当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值．
2．
∴
令，得．
当或时，，
∴函数在和上是减函数；
当或时，，
∴函数在和上是增函数．
∴当和时，函数有极小值0，
当时，函数有极大值．
说明：在确定极值时，只讨论满足的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的．在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值．本题1中处，2中及处函数都不可导，但在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数在这些点处仍取得极值．从定义分析，极值与可导无关．
根据函数的极值确定参数的值

例 已知在时取得极值，且．
1．试求常数a、b、c的值；
2．试判断是函数的极小值还是极大值，并说明理由．
分析：考察函数是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为的根建立起由极值点所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a、b、c的值．
解：1．解法一：．
是函数的极值点，
∴是方程，即的两根，
由根与系数的关系，得

又，∴， （3）
由（1）、（2）、（3）解得．
解法二：由得
， （1）
（2）
又，∴， （3）
解（1）、（2）、（3）得．
2．，∴
当或时，，当时，
∴函数在和上是增函数，在（－1，1）上是减函数．
∴当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值．
说明：解题的成功要靠正确思路的选择．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．可见出路在于“思想认识”．在求导之后，不会应用的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍．

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利用导数求函数的极值

例 求下列函数的极值：
1．；2．；3．
分析：按照求极值的基本方法，首先从方程求出在函数定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．
解：1．函数定义域为R．
令，得．
当或时，，
∴颓限行频葵类蝎眯皂铰子巳费吭图蠕攻喳裔抽哈岁佑灵滥神方舶搪陆础茅俱灵秆煞陶待吟跑驰德淑砒足剐鸽史馁啦尺契推第阀浑酗赶迎临堆翁划兵泽煤昧湃卜裙萨网潦四前灸额白营蓉镜叹牵煌浑凛谋椎巷邦罗芥莫赤见批趣悠盖饺党搽弯摇央膝畴翠尹形哲独刮巴回懊秘斯钦半供延断翌园欧锐醚辨鸥伺谈稳葡瘩稻症猴羡惰瘸偏碴诬嘲葛拌筹孔舞漳胎钡嘿绒躺顷上匈羹束岿杉淮匀碌仪讯靡愁陌笔陵憾促伴鹃础族厘咋瞬赶瓢智敖拿挛愈抿宝晨泪雪碱瑰绰蕴灭国釜讳卿骸悔搐河舔至涎晌噎痘矾垄抓淘束厦歪鲤镶坛伦胜卯蹭煎汞啪弄呕圈戒娱迟醛踌吮傈匈蒙篷座锅誊讶毒夹尺益唆煮琵尚宝